Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найдем, в частности, выражение для среднего числа частиц в состоянии !. По общему правилу (54.10) имеем дп,*. '-:,!" — '>!!гт> 1~~>>>!гт> 1,— юнгт> .1+е е ' +1 Формула (61.4), определяющая среднее число частиц в состоянил с энергией еь носит название р а с п р е д е л е н и я Ф е р м и — Д ира ка. Химический потенциал» может быть найден из условия, что полное среднее число частиц в системе равно сумме средних в отдельных состояниях; ~~ о-'и!гт> ! (61.
5) Последняя формула следует н непосредственно из (61.3), если написать "д>>* д % 1 %~ 1 (~) „~~ ~! ~~4 — а гт ! Для внутренней энергии по (54.11) можно получить (У=Я' — Т д +р д = — АТХ1п(1+с'" '!'""»вЂ” дт дн ! — т~ ~~~,!~~. "-'"'"'>— ! — ~т ~ ° " ""'"' (' " )~ >- л 1+е (61. 6) где использовано условие (61.5). После приведения подобных членов из (61.6) следует В и=~о„„„„ (61.
7) 176 Формула (61.2) отличается от соответствующей формулы (56.5), справедливой для бозонов, знаком перед экспонентой. Омега-потенциал всей системы получается суммированием омега-потенциалов всех подсистем, т. е. суммированием по всем возможным состояниям: 5 62. Электронный газ в потенциальном ящике Важным в практическом отношении примером служит электронный газ в потенциальном ящике, так как в определенном приближении таким путем можно рассматривать металлы и полупроводники.
Поскольку состояние электрона в потенциальном ящике задается по (46.7) компонентами его импульса, а связь энергии с импульсом определяется формулой рД2тз) = з,, (62. 1) то в принципе можно применять соотношения, полученные в предыдущем параграфе. Удобно, однако, перейти от суммирования по дискретным состояниям к интегрированию, так как хотя состояния дискретны, но расположены они так часто, что с практической точки зрения во многих случаях их распределение можно считать непрерывным. Переход осугцествляется точно так же, как это делалось в случае газа бозонов.
На одно состояние в пространстве импульсов приходится объем 2яа 2яа 2аа (2яа)з дя=др лр„др,= —— а ь с и где )7=абс — объем в обычном пространстве. энергия которых заключена в интервале от е до если разделить объем Л(2, соответствуюший Йе, ло состояний 66 равно Число состояний, ея бз, определится, на Лй.
Точнее, чис- <И=2— аа (62. 3) так как в каждом состоянии с данным импульсом может быть два электрона, отличающихся друг от друга направлением своего спина. Величина озз — это объем импульсного пространства, заключенный между р и р+Йр, так что бо =4прЧр. Если принять во внимание (62.1), то с1(2=4п (2лз )з1з — зПЧз. 2 (62. 4) Подставляя (62.2) и (62.4) в (62.3), найдем 4л (2тз)л~зз~~ае (2па)з (62. 5) 7 — 434 )77 Важная формула (61.7) определяет внутреннюю энергию идеального газа частиц Ферми и имеет смысл произведений энергий частиц на среднее их число в каждом из возможных состояний, т. е.
(У=~~ з; (и,). (61. 8) з илн (62. 7) 178 где плотность состояний д„определяющая число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии, по (62.5) равна ол (2то)з>зе>т> (62. 6) (2ло)з Зная плотность состояний, легко перейти от сумм к интегралам. Пусть /(е) — функция энергии, которая практически не меняется на интервалах йг порядка йТ.
Суммирование по всем состояниям можно тогда выполнить в два этапа. Для этого разобьем все возможные значения энергии на интервалы величины йе н просуммнруем сначала по состояниям внутри каждого интервала ог, а затем сло. жим полученные результаты. Внутри одного интервала по предположению /(з) практически постоянна, поэтому результат первого суммирования есть просто значение /(е) в этом интервале, умноженное на число относицихся к нему состояний йб. Таким образом, в результате суммирования по интервалу йг получаем / (е) Ю = / (е) д,де. Теперь очевидно, что суммирование по различным интервалам сводится к вычислению интеграла ),/ (е) Кебе Окончательно правило перехода от сумм к интегралу может быть записано в следующем виде: ;: У(е>) - ~ У(е) М' > Для омега-потенциала идеального газа электронов с энергией, заключенной в интервале от е до в+йг, таким путем получается йТ (п (1+ е>о-~>де>.>) у,йе )з>з пз = — ЬТ)п(1+е(е .>>(ет>) ( о ' )тйе (2ло)з а для полного олега-потенциала всех электронов Яе= ') б(2е= — ) />Т 1п(+е(>' — '»(ет>)у,бе.
о Введем новую переменную интегрирования $=е/(/зТ), тогда (> (~т)м ы(~~о)м Ф( ) 62 8) (2лл)з где Цо= >е/(/зТ), а функция Ф(Цо) равна Ф($о)=) !и(1+е(з — 1>)(ч*б1. о Эту функцию нельзя свести к элементарным для всех значений аргумента, но можно получить простые формулы, справедливые для больших и малых значений переменной $о.
Если $(> — малая величина Д,« — 1), то экспонента тоже мала и тогда 1п11+ е(ы-О) е(\о — (> Для Ф(Ео) получается (р (Ео) = е(' е — (~(/ей~= с(о е тсл 2 О !62. 10) так как е — (е яйся= ~ е — "'хсзр (х') = ~ е — "йх=)/ л(2. о й о В противоположном предельном случае, когда $(> — большая величина Де»1), основной вклад в интеграл дают значения подынтегральной функции при $<$(>, так как при 9>$(> 1а (1+ е — (( — ы>) е — (( — ы> (( ] На этом основании можно оборвать интегрирование при 9=9(> и пренебречь единицей по сравнению с экспонентой под знаком логарифма.
При этом получается ы ФЯ,)= 1!п(ен — (>)1>('М= — $о . 15 о (62. 11) $63. Неаырои(денный апентронный газ 179 Дальнейшее исследование свойств идеального газа электронов удобно провести отдельно для двух отмеченных выше предельных случаев. Идеальный газ фермионов, для которого кз« вЂ” 1, т. е. химический потенциал )( много меньше — яТ, получил название не- вырожденного. Рассмотрим его более подробно, Легко видеть, что невырожденный газ — это газ, подчиняющийся классической статистике.
Проще всего убедиться в этом, если проанализировать его функцию распределения. Найдем для этого среднее число электронов, энергия которых заключена в интервале йе. По общему правилу из (62.7) получаем д(зп") 1 4л(2те)~~ д е(' — е>/(4г> + 1 12ла)з Если $з«9, то >(«е и, следовательно, с хорошим приближением 1 е(,.и >((гт> ер/(аг>е — !(аг> е(' — ен("т> + 1 т.
е. распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Вольцмана, отличающееся характерной экспоненциальной зависимостью от энергии состояния. Таким образом, би ез((згзе — цсзг! а з1!2бз(/ 4л(2т )з!з (2ла)з (63. 1) Формула (63.1) может быть применена и к небольшой части дГ всего объема Р, тогда для среднего числа частиц, находящихся в интервале дз и объеме г('г', получится би еа(Рг)е М<зг! ( а) зпзбзб$, 4л г2т зз!з (63. 2) (2ла)з Сопоставляя последнее выражение с функциеи распределения Максвелла по энергиям, для чего формулу (19.4) нужно умножить на концентрацию электронов и, получим связь химического потенциала )з с концентрацией электронов в случае невырожденного газа: адзг! 4л(2та)зи 2л (2лй)з (гзу) Ю (л)аз (63.3) или 9= — йТ!и ( л ) " =(зТ1п1Г2ийз( ) ~.
(63. 4) (п [Р Юзи ~ л ) ~1(( — 1, ( лт) ((( т,зт )3!з ! т. е. или в другой форме з3 6 !80 Конечно, этот результат можно было получить и не обращаясь к (19.4), а просто написав, что полное среднее число частиц в а(*г', равное пд 1', определяется следующим интегралом: 4л,2т,з!з иб1, б(г ~ ездзгзе иРп ' а) зцгбз (2лз) з а Вычисление последнего снова привело бы к равенству, эквивалентному (63.3) или (63.4).
Таким образом, невырожденный газ действительно подчиняется классической статистике. Когда же можно считать электронный газ невырожденным? Из условия )з« вЂ” йТ при учете (63.4) следует Соотноизение (63.5) является критерием невозрожденности электронного газа. Оно показывает, что классическая статистика применима тогда, когда концентрация частиц низка, а их температура достаточно высока.
Чем больше масса частицы, тем оправданнее применение распределения 5(аксвслла — Вольцмана. Примеры использования критерия (63.5) включены в качестве задач к настоящей главе. Поскольку в случае отсутствия вырождения газ электронов подчиняется классической статистике, то ясно, что его свойства не отличаются от свойств идеально~о одноатомного газа. В частности, внутренняя энергия и уравнение состояния определяются соответственно формулами (38.3) и (36,2).
$64. Вырожденный электронный гаэ Обратимся теперь к противоположному предельному случаю, когда 5О»1 или, иначе, химический потенциал )3 много больше )ОТ. Электронный газ, удовлетворяющий условию )з»нТ, носит название вырожденного. В соответствии с формулами (62.8) и (62.11) омега-потенциал вырожденного газа имеет вид оз (2лз )3~2 )/)„3!2 (2лй)з !5 (64. 1) По общему правилу (54.13) для уравнения состояния получаем 2т 322 2 (2то) (64. 2) пзаЗ ( хг ) О 1, 3~2 газ 12т )3!2 ДН 5язаз таким образом, О 3/2 М (2то)322 5пзаз и, следовательно, Для внутренней энергии, используя (54.11) и учитывая, что в (64.1) температура не входит, найдем (у сзз дй* 5 12* (2то) )у~з (64 3) ДН 2 5я2аз Чтобы получить явную зависимость давления и внутренней энергии от температуры, необходимо в (64.2) н (64.3) подставить химический потенциал, выраженный через среднее число частиц, температуру и объем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
