Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(67. 3) Разница между выражениями (67.2) и (67.3) состоит в том, что значения плотности и скорости потока у левой грани у в общем 1Ж случае не равны значениям скорости и плотности у право1 у+бу. За время й увеличение массы равно превышению втекающей массы над вытекающей, т. е. разности 9(у) ъу(у) йбхбх — 9(у+с1у) ъ„(у+бу) йбхдг. Поскольку у и у+ду отличаются на бесконечно малую величину ду, то эту же разность можно представить в виде — — [9(у) п„(у)1буйбхс(е= — — йбт.
(67. 4) д д(епу) ду ду По закону сохранения массы, приравнивая (67,)З) и (67.4), можно написать — = — — (впу). де д д( ду Если поток газа имеет составляющие скорости по всем трем осям, то рассуждения, аналогичные приведенным выше, покажут, что уравнение непрерывности принимает вид дп ( д(епп) д(япу) +д(чп,) д~ ~ дх ду дг Разделив обе части уравнения (67.5) на массу одной молекулы гпсп найдем, что оно может быть записано в виде закона сохранения числа частиц (67. 5) дп д (ппх) д (псу) д(ппп) (67. 6) + + дг дх ду дп Уравнение непрерывности в форме (67.6) или (67.7) показывает, что изменение числа частиц в некотором объеме равно превышению числа втекающих в него частиц над числом вытекающих. $68. Кинетическое уравнение ооньцмана Больцман предложил находить функцию распределения из уравнения, по смыслу аналогичного уравнению непрерывности, но написанного в фазовом пространстве.
Вспомним, что в статистической физике идеального газа состояние частицы описывается заданием трех ее координат (х, у, в) и трех компонент импул.са (р„ р„, р,), т. е. шести координат фазового пространства ()х-пространства по 9 ЗО). Функция распределения должна в соответствии с ее смыслом рассматриваться как концентрация частиц в и-пространстве, поскольку выражение бп= г'(г, р)ду 192 В обозначениях, принятых в векторном анализе, имеем — = — б(ч (пч). (67. 7) д( определяет среднее число частиц в элементе объема о)у шестимерного 1к-пространства. Изменение числа частиц в г)у обусловлено тем, что некоторые нз них меняют свои координаты или значения импульса и выходят из Йу, а другие, наоборот, прибывают в него.
Таким образом, для функции распределения имеет место уравнение, аналогичное уравнению непрерывности, но написанное в фазовом пространстве. Если положение частицы в фазовом пространстве задается шестимерным вектором гф с компонентами г,=-(х, у, я, р„, р„, р ), то скоростью движения в фазовом пространстве следует назвать шестимерный вектор с компонентами ч, =(х, у, я, р, р„, р,), где точкой обозначена производная по времени. Поскольку по смыслу импульса х= р„)то, у= р„)то, а = р,)то и поскольку, по второму закону Ньютона, (68. 1) (68. 2) или при силах, не зависящих от скорости движения частицы, дУ рк дУ Ро др р» дУ ° дУ р дУ р. дУ дг мо дх то ду био дк дрк дро дрк (68.3) Уравнение (68.3) представляется в более сжатой форме, если использовать понятие о г р а д и е н т е функции.
Градиентом функции 1 в обычном пространстве называется вектор, проекции которого равны Лналогично, градиентом в импульсном пространстве называютвек- ор рк=р„, ру=ру, р,=р„ (68. 1') где Р„, Ро, р, — компоненты вектора равнодействующей всех сил, действующих на частицу, то кинетическое уравнение Больцмана можно записать в следующем виде: дУ Г1 д 1 д 1 д (Ур )+ (Ур )+ (Ур.)+ до (~ио дх " то ду " то дк + — '(1р.)+ — '(Г,)+ — ' урЬ,. дрк дро дрк Легко видеть, что уравнение (68.3) эквивалентно следующему: ду р —.= — — пгаб, 7 — Г Вгас(,7. (68. 4) мо р Уравнение (68.4) называется кинетическим и было предложено Больцманом для нахождения функции распределения ). Из уравнения (68.3) просто получается так называемая теорема Лиувилля, точнее говоря, частный случай этой теоремы, относящийся к шестимерному 14-пространству. Полная производная по времени от функции распределения, т.е.
производная, вычисленная с учетом изменения координат х, у, г частицы и ее импульса р„р„, р, в соответствии с законом движения, равна дУ дУ дУ дУ др дУ др . дУ вЂ” = — + — х+ — у+ — х+ — р + — ре+ — р,. И дг дх ду де дрк дра " др, Если учесть уравнения (68.1) и (68.1'), то из (68.3) следует, что полная производная равна нулю: ~ =О. дг Предположим, что М частиц равномерно распределены по некоторому объему фазового пространства Лу, тогда функция распределения отлична от нуля только в Ау и равна там ЛГ У= —. ау Поскольку й1Я(=0, то это значение сохранится и в области Лу', в которую частицы из Лу перейдут за время й Тогда из условия Ф Ф ьт ьт' следует, что т.
е. при перемещении фазового объема его величина сохраняется. Это утверждение и составляет содержание теоремы Лиувилл. $6Р. Взаимодействие с термостатом Практически оказывается более удобным пользоваться не точной формой кинетического уравнения (68.3), а другой — приближенной.
Для того чтобы пояснить характер используемых упрощений, рассмотрим, например, поведение электронов в плазме газового разряда. Считая электронный газ классическим и идеальным, мы пренебрегаем взаимодействием электронов между собой, но учитыва. ем воздействие внешних электрических полей, а также взаимодействие с ионами и нейтральными молекулами. Когда внешних полей нет и когда ионы и молекулы находятся в равновесном состоя- 194 нии, электроны тоже пребывают в равновесии.
Более того, если электроны каким-либо путем были выведены из равновесного состояния, то за счет столкновений с ионами и молекулами они вновь к нему возвращаются. Таким образом, ионы и молекулы следует рассматривать как некоторый термостат, за счет взаимодействия с которым исследуемая система (электронный газ) приходит к равновесию, характеризуемому температурой термостата. Выделим из последнего слагаемого уравнения (68.4) ту часть, которая описывает взаимодействие с термостатом, и напишем Г дгабр у =Е дгабр )'+ ( ~ 1 (69. 1) ( дг )сг В (69.1) Р,„— внешние силы (например,— еЕ для электронов, находящихся в электрическом поле с напряженностью Е), а (д)/дг) о, — условное обозначение для результата взаимодействия системы с термостатом (для столкновений электронов с нейтральными молекулами и ионами).
Вообще говоря, член (д)/д))„имеет различный вид в зависимости от того, какие столкновения учитываются, однако в некотором классе случаев его можно представить следующим образом: (д,Г) У вЂ” Уо (69. 2) где à — неравновесиая функция распределения, Го — равновесная функция распределения, т — параметр, носящий название времени релаксации. Какие соображения подсказывают такое выражение? Во-первых, столкновения не должны нарушать равновесное распределение, так как именно благодаря им оно устанавливается. /дг ~ Легко видеть, что если )=)о, то ~ — ) = О.
Равенство нулю имеет (,д~~„ место для частиц любых импульсов, так что соотношение (69.2) удовлетворяет принципу детального равновесия. Во-вторых, если отступления от равновесия малы, то следует ожидать, что скорость возвращения к равновесию должна быть пропорциональна отклонению от равновесного состояния, т. е. (' —,',) -(.у-л) Параметр т считается известной, например из опыта, величиной. Его смысл легко выяснить на следующем частном случае.
Пусть распределение частиц в пространстве однородно, а по импульсам неравновесно, и внешних сил нет. Так, например, если под действием однородного внешнего электрического поля через газ протекает электрический ток, то функция распределения неравновесна, но однородна в пространстве, т. е. не зависит от координат. Предположим, что в момент времени г=О поле выключается и, следовательно, после этого внешние силы равны нулю. Поскольку до включения поля функция распределения была неравновесна, то ясно, 195 что и в дальнейшем в течение некоторого времени она будет отлична от [р. Для моментов времени после 1=0 уравнение Больцмана имеет внд дУ У вЂ” Уо (69.
3) д1 поскольку член (р/т,)ассад„[ равен нулю, так как дифференцирование по координатам дает ноль (функция распределения однородна), а слагаемое Г„,дгадр[ обращается в ноль из-за того, что внешние силы равны нулю. Решение уравнения (69.3) легко находится и имеет вид 7(1)=Л+и(0)-Л[.-и, где )(О) — значение неравновесной функции распределения в начальный момент времени. Видно, что величина ду = [у'(О) — у,] е-и, 169. 5) ду и, у — 1о — = — — йтаб, у' — Г„„йгаб р у— д1 тэ (69.
6) Широкое использование такой формы уравнения объясняется ее относительной простотой, позволяющей представить решение в приближенной, но не сложной и ясной по физическому содержанию форме. В дальнейшем будет рассматриваться только этот случай. в 70. Уравнение оольцмана в квантовом случае При строгом кватновомеханическом подходе метод кинетического уравнения Больцмана оказывается неприменимым, так как неприменимо само представление о функции распределения как о функции координат и импульсов отдельных частиц.
Причина этого обстоятельства очень глубока и связана с так называемым п р и н- 196 определяющая отклонение функции распределения от равновесной, экспонснциально уменьшается с постоянной времени т, которую по этой причине называют временем релаксации. Итак, система, отключенная от внешних воздействий, нарушающих равновесие, из-за взаимодействия с термостагом приходит в равновесие ва время, характеризующееся временем релаксации т. Следует иметь в виду, что включение в уравнение члена вида (69.2) было проведено не последовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
