Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5 71. Уравнение диффузии (72.1) Поскольку концентрация частиц определяется соотношением и(г, г)=) ~'(г, р, г) гИ, где интеграл берется по всему импульсному пространству, то попробуем проинтегрировать (72.1) по импульсам. Меняя порядок интегрирования по импульсам и дифференцирования по времени, легко показать, что — И= — ~ 7'И=— дУ д о до дг дг дг 201 В неравновесном случае нельзя сразу написать функцию, определяющую зависимость концентрации частиц от координат, но можно получить уравнение, носящее название уравнения диффузии, решение которого определяет эту зависимость.
При выводе уравнения диффузии следует исходить из уравнения Больцмана — = — — йтаг(, Г' — Г„„йтас1 у— дг р .г †.го мо о Рассмотрим теперь результат интегрирования члена, содержащего время релаксации (т. е. описывающего столкновения). Имеем (если т не зависит от энергии частиц) 1 (У УО) ба= — 1 (1 Уда — РФ а) =О, Здесь учтено, что оба интеграла равны одной и той же величине, а именно локальной концентрации частиц в области около точки г.
Следует заметить, что нулевой результат получается и при гораздо более общих предположениях о члене, учитывающем столкновения. Действительно, достаточно, чтобы взаимодействие носило такой характер, что общее число частиц в данной области пространства (интеграл по всем импульсам) оставалось неизменным, т. е.
не было уничтожения или рождения частиц. Таким образом, равенство 1( ~~ ) ЛЯ=О можно считать выполненным независимо от более частных предположений о характере взаимодействия с термостатом. Обратимся к вычислению интеграла. ~ Г„„ргали„~ Ы. Более подробно его можно записать следующим образом: Г,„итал г'по — гт, — брхбр др + г ду Рх +Р,„а ( — ~бр„бр„бр, +Р„,, ~ — др„др„Ы,„ так как проекции силы Р,„„Р„„, г,„, по предположению не зависят от скоростей и поэтому могут быть вынесены за знак интеграла.
Вычисление каждого из трех интегралов проводится аналогично, и поэтому достаточно рассмотреть один из них. Имеем, например, + + + + ) бд ) бр (У У ) Поскольку число частиц с бесконечно большим значением проекции импульса равно нулю, то ~Р» ~Рк и, следовательно, ') Г.„гад, г'дую=О. 202 Оставшийся невычисленным интеграл ~ — (ргта) ягаб, 7 с12 заменой порядка дифференцирования по координатам и интегриро- вания по импульсам преобразуем к следующему виду: д г р„ д г ра — — йгаб,.~бР= — — Р" у б(д — —" Р" 7" бй— та дх д та да д Ггр — — — '.7б2.
дх д та (72.2) Каждый из приведенных выше интегралов относится к определенной области пространства, в которой концентрация почти постоянна, так что для функции распределения можно использовать формулу (71.2). Выбрав для начала первый из них, можем написать — ~' бя= — г1 Р" 7'абй — ( Р— в йтас(, 7ас12— а д та та та — ( Р' т Р,„дгаб р Уа (И.
а (72.3) Рассмотрим теперь последовательно интегралы, стоящие в правой части последнего равенства. Имеем ) (рх!гпа) Уабм=О г — — рас1, у а с1 12 = ~ —, — с1 2+ рх хр Г Рхх дГа та та д та Рхрах дта ~Р+ ( Ркр~х ~ЧО та ду а та (72.4) Из трех интегралов, стоящих в правой части, два последних равны нулю, так как подынтегральная функция нечетна, например, по р . Остается следующий интеграл: 2, ~Чо б та дх 2 Поскольку р ~/та'=п,а и зависимость от координаты входит через концентрацию и, функцией которой является 7а, то можно написать 203 так как этот интеграл имеет смысл среднего значения х компоненты скорости в равновесном состоянии, описываемом функцией распределения Га. Формально равенство нулю вытекает из нечетности подынтегральной функции по р .
Займемся преобразованием второго интеграла, который можно представить в следующей форме: Поскольку Гь и «зависят только от модуля импульса, то легко ви- деть, что дп д Г дп + Ч и~нн.к1 дг дх 1 дх ду ~ ду ' (72.9) или, используя сокращенные обозначения векторного анализа, — = — с1)н [ — Од«ад и+Ч'и Г,„), (72.10) В тех случаях, когда рассматривают газ заряженных частиц (электроны), на которые действует внешнее электрическое поле Е с силой Р„„=в Е (е — заряд частицы), вместо введенного выше коэффициента дрейфа Ч' применяют понятие коэффициента подвижности Подвижность Ч равна Ч=-т1'е Обычно используемая форма записи уравнения диффузии для электронов имеет следующий вид: — = — б(н( — О ассад и+ Чи Е).
[72. 11) дг Рассмотрим значение входящих в уравнение диффузии коэффициентов 0 и Ч. Если газ невырожденный, т. е. подчиняющийся статистике Максвелла, то коэффициент диффузии 2 е — р нгт гкг) д О (2птьЬТ)' г 1 е — Рп(г ""1 с1й= ", =(сх«) срх«) 2 (2ппгьИТ) г ть не зависит от концентрации. Как было выяснено выше, ( -'«>=( '.«>=( *«> поэтому, учитывая, что ( г«)=(( '+о!+ ')«>=-( ~«>+( ~«)+( '«) 205 Ч=Ч =Ч так как эти интегралы переобозначеннем переменных интегрирования переводятся один в другой.
В дальнейшем коэффициент диффузии будет обозначаться О, а коэффициент дрейфа Ч'. Таким образом, уравнение диффузии можно записать в виде можем выражение для коэффициента диффузии записать в таком виде: О=.— (огт). 1 'з В невырожденном электронном газе подвижность тоже не зависит от концентрации: е ~ РЛ Ч рзо — Р'/(гтззт) (1 ьз = д дР (2лтоМТ)зр 1 е — рч(гтозт) ((я д (2лто))Т)з)г дРз (" = — е~— )ло (72.12) После выполнения операции дифференцирования экспоненты под знаком интеграла получается следующее выражение: Ч вЂ” — ' — р )(г,зт) л(2 ыо (2лтоьт)з)г Сравнение с (72.12) показывает, что е т) = — й.
ьт (72.13) г 1 Если использовать условие (о„т) = — ' (ю'т), то 3 — огтУ 4лрг др 1 д 3 дл 206 Соотношение (72.13), связывающее между собой коэффициент диф- фузии и подвижность частиц, подчиняющихся классической стати- стике, носит название уравнения Эйнштейна. Для частиц, подчиняющихся квантовой статистике, написанные выше уравнения несправедливы и само понятие о коэффициентах диффузии и подвижности теряет смысл. Поясним это утверждение на примере сильно вырожденного газа Ферми. В случае сильного вырождения функция распределения соглас- но ф 64 имеет вид (см.
рис. 10.1), 2 при з(т), 7" (2лп)з (72.14) О при з) г), где уровень Ферми )( определяется уравнением (64.4) (з . пг)з(5лг йз)г)з/(2то) (72.15) Таким образом, для коэффициента диффузии можно написать д р Рхг) Л д "~ = ) 'рр тУо ((~. дл,~ где учтено, что при подынтегральной функции, зависящей от модуля импульса, г)зз=4лрзбр. Целесообразно перейти к интегралу по энергиям. Поскольку р2 т оз 2то 2 то, учитывая специфический вид функции распределения (72.14), для коэффициента диффузии получим следующее выражение: 7)= — — ~ — т 4л )'2лзо з бз.
(72.16) 1 д Г 2з 2 — зд ~т 3 дл .1 то (2лй)з о Как показано в гл. 13, время релаксации обычно есть степенная функция энергии электрона т=аз", (72.17) где а и г — некоторые постоянные. После подстановки (72.17) в (72.16) интеграл просто вычисляется: д 7 2)'2 )гто дл 1 Злейз г+5)2 / (72.18) Поскольку уровень Ферми зависит от концентрации, то д ( 21' 2 )'то н~+~)з 1 дн 21' 2 )гто +з~з дн дн з, зло1тз г+ 5/2 7 дл Злзйз да~ 207 Подставляя )з из (72.16), найдем, что коэффициент диффузии зависит от концентрации по формуле г) Слз< -огцз где С вЂ” постоянная, равная 2)Г2 )гто 2 (5лзйз)з/3 2)г2 5з~з а Вместо того чтобы говорить о коэффициенте диффузии, зависящем от концентрации, лучше вообще не вводить такого понятия, а просто рассматривать нелинейное уравнение переноса, так же как в задачах электротехники, когда сопротивление цепи зависит от тока, лучше говорить не о сопротивлении, а о нелинейной вольт-амперной характеристике.
Аналогичным образом в случае сильного вырождения после интегрирования по частям (причем учитывается, что при рз= оо, р,= †функция распределения обращается в ноль) найдем для подвижности Если использовать аппроксимацию (72.14) и перейти к интегралу по энергии, то згг е гl т 2 дз ) ) ~л(2то) Пг ° е бз л ) (, то 3 дз его ) (2лй)з о и после подстановки (72.17) получается е 2 г'2 Ъ тз,.„з~, л 3 лгйз Сравнение этого выражения с выражением для коэффициента диф- фузии показывает, что соотношение Эйнштейна не выполняется, а вместо него имеет место равенство 3 еВ з) = — —, 2 т. е. отношение коэффициента диффузии к подвижности зависит от концентрации (через )з).
Поскольку подвижность оказывается зависяшей от концентрации, то, по-видимому, лучше не вводить такой характеристики для сильно вырожденного газа. Диффузионное уравнение (72.11) при постоянной температуре определяет концентрацию частиц в различных точках пространства, однако для получения единственного решения необходимо допол.
нить это уравнение граничными и начальными условиями, т. е. указать значения концентрации на границе той области, в которой она определяется, а также ее значения в начальный момент времени. 5 УЗ.Функция распределения а диффузионном приближении е-р Пьз,зг> . о= (2лтеЗТ) Р По (71.2) имеем У = Уо — т — Кгас1,уз — с Г,„дгас1р то (73.1) (73.2) Поскольку сто л дре (2лтоаТ)згг е — р Лгт~зг) ( Рк 1 Рктз 'ззт / тзлт 208 Предположим, что путем решения уравнения диффузии удалось найти концентрацию как функцию координат, тогда можно получить окончательное выражение для неравновесной функции распределения. Рассмотрим более подробно классический случай, когда Тз — максвелловская функция распределения: то нгаб Го= —— Р Го то от и, следовательно, тр,„вагаб Го= — т Р "" у'о.
толт (73.3) Далее, кгаб, Го= — ягаб, и. дуо дп Поскольку из (73.1) дно Уо дп и (73.4) то т — йтад, Го = — — (рйтаб,п). Р го то и то (73.5) где го — функция распределения Максвелла. Используем формулу (73.6) для расчета плотности потока частиц. В соответствии с формулой (21.9) плотность потока определяется равенством — ' бВ. то Поскольку по определению функции распределения Г=пчв„, то 3= ) (Р/гпо) у 62. (73.7) В равновесном случае плотность потока обращалась в ноль, так как подынтегральное выражение оказывалось нечетной функцией компонент импульса ()о — четная функция р, р„, р,).
В неравновесном случае это уже не так и плотность потока отлична от нуля. Если в (73.7) подставить выражение для функции распределения по (73.6), то получится ,1 = ~ — 7'о б 2 — '~ — — (р ига г1 п) д 14— Г Р Р туо то то ото 8 — 434 воз Таким образом, для классической неравновесной функции распределения в диффузионном приближении справедливо следующее выражение: ~=~,— ~~' рдгаб,п+ Р "" ~'„ (73.6) пто тооТ Первый интеграл равен нулю из-за нечетности подынтегральной функции. В оставшихся двух следует записать произведение векторов в координатной форме, отбросить члены подынтегральной функции, нечетные по компонентам импульса, и вынести за знак интеграла функции координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
