Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(77.9) Если теперь выразить Л!', через 11 и 1ь1 с помощью (77.4), то видно, что (77.8) эквивалентно выражению для члена столкновений с временем релаксации (69.2). Итак, если рассматриваются упругие столкновения и можно приближенно пренебречь массой электронов по сравнению с массой молекул, то больцмановский член для столкновений приводится к форме с временем релаксации, причем под временем релаксации следует понимать величину, определяемую соотношением (77.9). Следует также отметить, что в этом приближении форма члена столкновений с временем релаксации не меняет своего вида и тогда, когда электронный газ оказывается вырожденным.
Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать выражение, стоящее в фигурных скобках под знаком интеграла в (76.!1), раскрыть скобки и привести подобные члены. Действительно, поскольку функция распре- делениЯ 1з Равна 1з' (энеРгиЯ молекУл не менЯетсЯ пРн столкновениях с электронами), то оказывается, что у., [! (2яй)зЯ у. у-', [1 (2яй)з (,] 7з' =Ы1 — И=1.тз — И. $ 78.
Эффективные сечения рассеяния Для определения времени релаксации необходимо знать эффективное сечение рассеяния эь. Точный расчет обычно оказывается довольно сложной задачей, однако легко получить оценку порядка этой величины, применяя формулу (75.13) для упругого шара, если надлежащим образом выбрать его радиус аз. При кулоновских силах отталкивания разумно отождествить эффективный радиус с расстоянием, на которое сближаются электрон и рассеивающий центр при лобовом ударе. Для пояснения рассмотрим сечение рассеяния электрона на отрицательном ионе. Эта задача представляет интерес в применении как к плазме, так и к примесным полупроводникам.
Пусть заряд иона равен — Ле. Если кинетическая энергия электрона на большом удалении от иона равна рР/(2гп~), то при лобовом ударе электрон сможет приблизиться к иону на расстояние аз, которое определится из условия, что на этом расстоянии вся кинетическая энергия перешла в потенциаль- ьую. Поскольку потенциальная энергия кулоновского взаимодействия с ионом равна Лет((4пеоао), то из условия Рг Лез 2т1 4паоас для эффективного радиуса получается Хетт, по= 2иеорз Если выразить импульс через энергию налетающего электрона, то после подстановки в (75.13) для сечения рассеяния на ионе находим зо 2 2 (78.1) ш"'о '1 Таким образом, сечение рассеяния зависит от энергии электрона.
В данном случае чем больше энергия, тем меньше сечение, т. е. тем меньше рассеиваются электроны, Интересно отметить, что такая грубая оценка сечения находится в довольно хорошем согласии с более строгим расчетом "'. Подставляя (78.1) в формулу, определяющую время релаксации, и выражая скорость электрона через его энергию еь придем к следующему результату: 1 Рйл»о) т, за ! (78.2) пззо1ч! лзХзеч г'2 Эта формула находится в соответствии с введенным ранее предположительно соотношением т= — аа; 1см. (72.17)1, причем г=з/з. С помощью (78.2) легко установить те м п е р а ту р н у ю з а в ис и м о с т ь п р овод и мо от и для случая, когда доминирующую роль играет рассеяние на заряженных центрах, Температурная зависимость проводимости при постоянной концентрации электронов определяется температурной зависимостью подвижности или, если иметь в виду соотношение Эйнштейна, коэффициента диффузии Р.
Поскольку Р= (п„т) — ат(а) — аг+', з энергия невырожденного электронного газа пропорциональна температуре, то и т™ о — 1» =7т, г Т * Случай рассеяния прн кулоновском взаимодействии особый, и для получения конечного результата при «строгом» расчете приходится вводить некоторые дополнительные ограничения, приводящие к появлению логарифмического множителя, численное значение которого обычно не превосходит нескольких единиц. 227 т. е. в данном случае проводимость растет с повышением температуры пропорционально Т '~ . При рассеянии электронов на нейтральных молекулах в плазме или на нейтральных дефектах в кристаллической решетке твердого тела разумной аппроксимацией радиуса рассеивающего шара служит «радиус» молекулы или дефекта.
В этом случае 2 з,=яао ~1 з 1/2 г «зказ ь азнаоУ'2 т. е, показатель степени а равен — Чь Такая зависимость времени релаксации от энергии приводит к температурной зависимости проводимости вида ч — Ъ)Ъ~Т. Важным случаем является рассеяние электронов на тепловых колебаниях кристаллической решетки. Когда электрон движется вдоль правильного ряда атомов кристаллической решетки, тепловым движением которых мы пренебрегаем, то представление о последовательных столкновениях лучше заменить картиной движения электрона в периодическом поле потенциальных сил. Наглядной моделью такого движения может служить движение шарика по идеальной гофрированной поверхности (наподобие листа шифера) под действием силы тяжести (рис.
13.7). Ясно, что шарик движется с ускорением, замедляя свое движение на вершинах и ускоряя его во впадинах, но средняя скорость такого движении при отсутствии снл трения постоянна. Это означает, что никакого рассеянна нет и время релаксации равно беконечности. Время релаксации конечно только тогда, когда имеются нарушения идеальной периодичности.
В реальных кристаллах такие нарушения связаны либо с дефектами кристаллической структуры, например наличием незанятых узлов (вакансии), атомов в междоузлиях, присутствием атомов другого сорта (сплавы), либо с тепловым движением, приводящим к беспорядочному отклонению атомов решетки от положения устойчивого равновесия в узле. Рассеяние электрона состоит в этой модели в том, что после взаимодействия с рассеивающим центром он меняет направление и величину своей средней скорости. Рассмотрим роль тепловых колебаний атомов.
В не строгой, но зато наглядной трактовке можно принять, что тепловое смещение атома нз положения равновесия приводит к появлению центра рассеяния с радиусом, равным среднему смещению атома из положения равновесия. При малых отклонениях взаимодействие атома 228 с соседними почти упругое. Если обозначить коэффициент жесткости упругой силы через (1, то отклонение на расстояние г приведет к увеличению потенциальной энергии атома на йг92, Поскольку по принципу равнораспределення энергии по степеням свободы средняя потенциальная энергия упругой силы равна '/,ЙТ, то для радиуса нейтрального рассеивающего центра получается а, = )Т ( (гз ) =- ) Т8ИТ)З, Определив сечение рассеяния, для времени релаксации найдем с = —,~ ,'(п,пЬхТи). Отличие от предыдущего случая состоит в том, что сам коэффициент а при энергии в формуле для времени релаксации зависит от температуры. Из-за этого проводимость пропорциональна температуре в степени — '/ь а не — Ъ как при рассеянии на нейтральных дефектах кристаллической решетки.
В случае вырожденного электронно~о газа (металлы) средняя энергия электронов практически не зависит от температуры, поэтому проводимость обратно пропорциональна температуре при рассеянии на тепловых колебаниях решетки и не зависит от температуры при рассеянии на нейтральных дефектах. 5 79. Длина свободного пробега В модели парных столкновений электрон движется по инерции или под действием внешних сил и время от времени сталкивается с другими частицами, представляющими собой термостат (столкновение электронов друг с другом мы не рассматриваем, ограничиваясь случаями, в которых они не играют существенной роли). Какова вероятность того, что электрон испытает столкновение на участке своего пути длиной бх? Этот вопрос можно решить, если рассмотреть элементарный параллелепипед, изображенный па рис. !3.8. Грань, перпендикулярная направлению полета электрона, имеет площадь Л5, а высота параллелепипеда равна дх.
Пусть концентрация моле- гй кул и,, тогда в параллелепипеде имеется в среднем лзЯБг)х молекул. Г!ри сечении рассеяния зз общая Ряс 1ЗВ площадь для столкновения электрона, пролетающего через выбранный объем в направлении оси х, с какой-либо нэ молекул равна з,п,б5бх. Г)редполагается, что высота параллелепипеда дх очень мала, поэтому вероятностью того, что одна молекула «прикроет» собой другую, можно пренебречь. При этих условиях вероятность столкновения а)Р' определяется отношением общей площади молекул ко всей плошади передней грани параллелепипеда, т, е.
г)) из 0 с)х. зопззя дх Л5 229 ;Величина 1/(ново) имеет размерность длины. Если обозначить ее Л, то д 17т = бх/Л. (79.1) Рассмотрим теперь интервал длины х н определим вероятность того, что в этом интервале электрон не испытает ни одного столкновения. Если весь интервал х разбить на интервалы длиной дх каж.дый, так чтобы общее число интервалов было равно х/бх, то искомая вероятность может быть представлена как произведение вероятностей ряда независимых событий. Вероятность того, что электрон не испытает столкновения в интервале дх, равна 1 — о(х/Л, поэтому вероятность отсутствия столкновений на длине х есть ( % ( х ) Поскольку х/дх — большая величина (в пределе бесконечно боль- шая), то, используя известный из математики предел — ь 11шн „(1 — — ) =е — ', л~) получим В',=в †«д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
