Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Так, например, при рассеянии на нейтральных молекулах, когда можно считать, что длина свободного пробега не зависит от энергии, получается так называемое распределение Др ю вестей на — Зетгптдт,)ме'Е*1 72 =СЕ сильно отличающееся от максвелловского. Другой пример приведен в задачах к настоящей главе. На этом мы закончим изложение вопроса о неравновесных функциях распределения, хотя рассмотренный пример далеко не исчерпывает всех тех случаев, с которыми приходится сталкиваться на практике. Поведение электронов в высокочастотном электрическом поле, влияние магнитного поля, учет неупругих ударов— вот примеры задач, которые разрабатывались в течение ряда лет и продолжают разрабатываться в настоящее время. Их рассмотрение, однако, выходит за рамки настоящей книги.
Задачи к главе 23 1. Показать, что из принципа детального равновесия и формы члена столкновений (76.1!), учитывающего приняип Паули, вытекает распределение Ферми — Дарана. Р е га е н и е. Из принципа детального равновесия вытекает, что в равновесии подынтегральное выражение в (76.11) должно быть равно нулю. Отсюда уз [1 — (2нп)з У1] Уз = Уг [1 — (2нй)2 уг] 12 или Уг У1 Уз= 12. (2к[1)з г, 1 (2лтз)з с,' Здесь Гз — функция распределения Максвелла, т. е. Уз= 1 еЬ=ее У (ат) (2л[2)з Если (2л[))з У, <~н) аг) 1 — (2яй)' Л где е, — энергия электрона до столкновения, то детальное равновесие выполняется при условии, что чг+ е2ет е1+ ез.
Находя й из предыдущего уравнения. получим 1 1 у (2пк)з е(ь-юдзт) 1 т. е. то, что требовалось показать. 2, При какой зависимости времени релаксации от энергии неравновесном функция распределения )м остается,чаксвелловской? Какова эффективная температура этого распределениями Решение.
Из (8022) видно, что при т=сопз1 получается максвелловское распределение с эффективной температурой тзйзз= т + тпзтзезез)(зт1 и), ГЛАВА 14 ФЛУКТУАЦИИ $84. Значение флуктуаций Рассматриваемые в статистической физике характеристики, такие, например, как внутренняя энергия или давление, получаются в результате усреднения соответствующих механических величин, относящихся к изучаемой системе частиц. Поскольку число частиц в системе обычно очень велико, то измеряемые на опыте значения близки к их математическим ожиданиям (средним значениям).
Все же в некоторых случаях становятся существенными беспорядочные отклонения от средних значений, которые носят название ф л у к ту а ц и й. Величину флуктуаций принято характеризовать дисперсией, т. е. средним значением квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Так, например, если рассматривается энергия системы частиц, то ее флуктуация характеризуется величиной ( дз) ((у у)з) где () — внутренняя энергия, т. е. математическое ожидание энергии системы. Выше уже приводились примеры флуктуаций.
Так, и $ 13 исследовались случайные отклонения числа частиц в объеме от их среднего значения, а в 5 34 — случайные колебания указателя пружинных весов, а также напряжения на конденсаторе, включенном в колебательный контур. Обычно, и это отмечалось в $ 13 и 34, флуктуации малы, так что с ними можно не считаться, однако имеется очень важная для физики и техники область, в которой они играют определяющую роль. Речь идет о точных измерениях и технике связи. Повышение чувствительности измерительных приборов и приемных устройств привело к тому, что в целом ряде случаев реализуются предельные возможности, которые определяются флуктуациями.
Поясним сказанное конкретным примером. 240 Для измерения мощности излучения в видимой и инфракрасной областях спектра иногда применяют так называемые тепловые приемники излучения. Принцип их действия состоит в том, что подлежащее измерению излучение направляется на небольшую зачерненную площадку, на которой оно поглощается, вызывая ее нагрев. Повышение температуры, пропорциональное величине падающей мощности, измеряется с помощью подсоединенной к площадке чувствительной термопары илн каким-либо другим способом, Предельная чувствительность таких приемников определяется флуктуациями выходного напряжения прибора, так как принимаемый сигнал, величина которого меньше, чем величина флуктуаций, не может быть обнаружен на фоне беспорядочных всплесков выходного нагряжения. Можно указать различные причины, вызывающие флуктуации напряжения, или, как говорят иначе, шум. Прежде всего, если для измерения перегрева используется термопара, то она обладает определенным сопротивлением и в электрической цепи термопары с измерительным прибором возникает случайный сигнал, обусловленный тепловым движением электронов и флуктуацией их числа.
Этот тип шума рассмотрен в 9 85. Кроме электрического шума следует учитывать, что приемная площадка, которая для повышения чувствительности делается очень маленькой и легкой, непрерывно обменивается энергией с окружающей ее средой. Это приводит к случайным колебаниям температуры площадки, которые термопара превращает в случайный электрический сигнал.
Флуктуации температуры наряду с флуктуациями целого ряда других термодинамических величин рассмотрены в 9 83, 84. Наконец следует принять во внимание, что на приемную площадку попадает регистрируемое излучение вместе с фоном, обусловленным излучением находящихся в поле видимости приемника излучакпцих предметов.
Фон дает излучение, мощность которого непрерывно флуктуирует, и этим вносит свой вклад в шумовое напряжение. Флуктуации можно условно разделить на такие, которые имеют место в равновесных системах, и другие, которые проявляются при отклонениях системы от равновесия. Как правило, основную роль играют первые, поскольку отклонения от равновесия, с которыми обычно приходится иметь дело, малы. При изучении флуктуаций в равновесных системах можно использовать распределение Гиббса, н это позволяет дать полную теорию явления. Примером флуктуаций, проявляющихся в неравновесной системе, могут служить дробовые шумы, возникающие при прохождении электрического тока. Они рассмотрены в 9 85.
9 82. Флуктуации числа частиц и объема Применим распределение Гиббса к вычислению флуктуации числа частиц, находящихся в определенном объеме. При этом получится общее соотношение, из которого, в частности для классического идеального газа, следует результат, приведенный в 5 13, но 9 — 434 241 <а — и 4р>т>>>ат> ( — +Ж) е "л> =О. (82.1) Для того чтобы получить математическое ожидание квадрата чис- ла частиц, продифференцируем его по тому же параметру еще раз. При этом получится Раскрывая внутренние скобки, найдем а 1г днг ат (, ди / «т дн ат 1 ">а или дгца %~ (а — в +а>г>дат> > т дна гг Ч.
»а' — Ж 4а>а>>>ат> — Д е + дег .2~ аТ дв ">ч ,гь.в "м дна %~ (а — У +а>т>пат> > % > (а — 'д +атт>цат> + — — Д Ме гт + — ') №е ">т =О. АТ ди аТ ч>> ьа Использование условия нормировки и определения средних <а* — и +а>ап>ат> ;>; е "л' = 1 ">ч >а* — и +а>аи>ат> ~г>ге "и =(>ч'), лтг >~' — ж„4ам>л"т> (уг) позволяет приведенное соотношение переписать в виде Поскольиу дяа — = — (М), да (82.3) 242 которое зато справедливо и для других систем (таких, например, как газ Бозе или газ Ферми). В $54 дифференцированием условия нормировки для большого канонического распределения Гиббса по >4 было получено условие (54.10), определяющее среднее число частиц в системе.
Это условие может быть записано в виде то полученный результат сводится к ~(у>г 2(лт>г+ ( хтг>1 0 дег АТ 'с или после приведения подобных членов и умножения на яТ йт д ди +((Л > — (М> )=0. дзг дгя' (Ь№) = — йТ— двг (82 4) или, если принять во внимание (82.3), д<Ф> ди (82.5) Таким образом, из распределения Гиббса для величины флуктуаций среднего числа частиц получаются формулы (82.4) и (82.5). Подставляя в (82.4) то или иное выражение для омега-потенциала, можно находить дисперсию числа частиц в системе. Для классического идеального газа по (62.8) и (62.10) имеем яе 4п (ат)з(г (2пг )г(г 1т еж(гт> (2пй)4 т.
е. 4п(И)г(г (Ю) = — — = ( (2пго)г/г (т еадгт> ди (2пй)г (а№) =яТ = — (М>. д(ЛГ> ди (82.6) Этот результат более прямым способом был получен в ~ 13. Из (82.6) видно, что относительная величина флуктуации, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
