Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть он подключен на вход усилителя, который пропускает полосу частот от 100 до !О 000 Гц. Какова величина шума, воздействующего на усилитель? По формуле (85.9) получим ~1гт(Ы3'„) =)т2е(Гс'Ц= 2.1,6 10 " 10 '10 '9900мкВ= =0,45 мкВ. Необходимо, однако, проверить, выполнены ли условия, при которых справедлива формула (85.8), а следовательно, и (85.9).
Рассчитаем поэтому полосу частот, в которой действует дробовой шум. Для этого следует воспользоваться (85.7), определив предварительно время пролета. Плотность тока в кремнии равна 1 А/сма и по- 256 этому с помощью (85.1) при учете известной концентрации электронов легко найти среднюю скорость дрейфа электронов. Имеем (о) = — = =5 10' см!с. ! ел цо.
ю-1о 1о1о Следовательно, при длине образца 1 мм время пролета равно 1,6 10-о с, т. е. полоса частот дробового шума по (85.7) равна 80.кГц. Это перекрывает полосу частот усилителя, и, следовательно, формула (85.9) применима. Предположим теперь, что об- ок„ разец изготовлен из кремния с удельным сопротивлением 1 Ом.см (концентрация электронов 10'о смо), а его длина равна 1О мм, тогда сопротивление образца останется прежним, но напряжение дробового шума не будет равно 0,45 мкВ. Действительно, в этом случае скорость Рис.
14.3 дрейфа электронов в 10 раз мень. ше, чем в предыдущем случае, а время пролета в 100 раз больше, так как в 1О раз увеличилась длина пути. Полоса частот дробового шума укладывается в диапазон 0 — ЗО Гц, а эти частоты усилителем не воспринимаются. Перейдем теперь к тепловому шуму. Дисперсия тока теплового шума по (85.4) равна (а7т) = (Д7) (аоак) ° Поскольку (оо„>=йТ(тд, а среднее число частиц (й7>=лг', то (ат',) = — Ь'и —. (85.10) 12 рдо Предположим, что от столкновения до столкновения электроны движутся одно и то же время т независимо от их скорости. Проекция тепловой скорости отдельного электрона на оси х, как функция времени, имеет тогда вид, показанный на рис.
14.3, т. е. ток, обусловленный данным электроном, представляет собой последовательность импульсов одинаковой длительности, но разной амплитуды. В рассматриваемой модели подвижность электронов оказывается равной 71 = ет!(2то). (85.11) Действительно, в поле Е электрон движется с ускорением а= — еЕ/то. Он увеличивает свою скорость от нулевой после столкновения до и =ат = — еЕт/лзо 257 перед следующим столкновением, после которого он снова теряет направленную скорость движения. Средняя скорость дрейфа равна, таким образом, а+О а еЕя (о) — — — ЧЕ, 2 2 2«га откуда и вытекает формула (85.11). Если (85.10) умножить и разделить на т, то можно написать ег«1Г«та ея 'е' «т 1е «т (Ьг',) = — = 2 — еа — — = 2регг — —. 1г ага а 2 ага 1г я 1г е Вводя проводимость о=г)еп, найдем (Ы,) = 2а — 1" — = 2 «т 1 «т 1г а 1г1(е11) Поскольку сопротивление проводника равно 1 1г ел еге то полученную формулу можно также записать в виде (Ы,) =2 — —.
г «т 1 11 Случайные импульсы теплового тока предполагаются имеюшими одинаковую длительность, поэтому переход к спектральному представлению осуществляется точно так же, как и в случае дрейфового тока. В результате получается (Ы,) =4 — Ь~'„ где Ь1,=1/2т — полоса частот теплового шума. Поскольку т очень мало (порядка 10 'г с при комнатных температурах), то спектр теплового шума практически равномерен от нулевой частоты до очень высоких частот порядка 1/т. Эти частоты соответствуют миллиметровому диапазону длин волн. Учитывая точно так же, как и раньше, роль полосы пропускания прибора, найдем для величины теплового шума, воздействующего на прибор с полосой пропускании Л1, ( Ы~) =4 — Ь 1'. Для среднего значения квадрата напряжения тепловых шумов получим ( п(У, ) = Ч ТК Ь |, (85.12) а для мощности теплового шума Р=4йТь г.
288 Последние три формулы, определяющие величину тепловых шумов в электрической цепи, носят название ф о р м у л Н а й к в и с т а. В виде примера оценим напряжение теплового шума для рассмотренного выше проводника и усилителя, считая температуру комнатной (ЗОО К). Так как в обоих случаях сопротивление равно 100 Ом, то по (85.13) получим У ~442,2 = В 482 Дь~= 4 1, 8 10 ' 00 100 8000 = 0,12 8. н, следовательно, "оГ2 2 Ф(хо)= 1 — — е.
у2и хо с ошибкой порядка 'о у~2 п хзо При хе)2 эта формула обеспечивает точность, достаточную в большинстве прак- тических расчетов. 2. Вычисление мекоторых часто встречающихся интегралов Вычисление интеграла 1(р)= ) е "дрх имеет смысл рассмотреть подробно, так как он н целый ряд других близких к нему интегралов часто встречаются в статистике. Оказывается более ухабным вычислять не 1(6), а квадрат этого интеграла. Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любым способом, то 12(я) — ~ е — Вх'дх ~ е — Ри'ду Произведение интегралов может быть представлено в виде одного двойного интеграла, который берется по всей плоскости (х, у): + + 12(6)= ) ) е Р( "Одхду.
Дальнейшие вычисления упрощаются, если перейти к полярным координатам на плоскости. Так как х2+ у2= р2, где р — расстояние точки с координатамн х, у, от начала координат, а элемент площади дЯ в полярной системе имеет вид д~= р,'дрду (~р — полярный угол). то 2ч 12(р)=~~е РР'рдрдр. Поскольку интегрирование ведется по всей плоскости, то р меняется от О до со, а угол ф — от 0 до 2н.
Интеграл по ф дает 2н и тогда 12(р)= 2н ') е Рг рбр = н)6, о т. е. 10)= Ф %1. 261 По вычисленному интегралу легко находятся значения целого ряда других интегралов, встречающихся в статистике. Так, например, если продифференцировать тождество ио 3, то получится + 2 Яг — 3/2 ' Р е бР..
Тгм г 2 Дифференцируя последнее соотношение по 3 еще раз, найдем + — Умй = ~ и е — рв„бр 4 и т. д. Этим способом легко получаются значения следующих интегралов: — йл, ° / м 1 3 5...(2п — 1) +~" з ° / 2л 3. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы Рассмотрим доказательство теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Пусть положение системы в пространстве определяется ЗМ координатами. Поскольку такими координатами могут служить не только расстояния, отсчитанные по осям декартовой системы координат, но и какие-то другие величины, как, например, угол поворота при вращении твердого тела, то будем называть их обобщеннымн координатами и обозначать дь Если минимальное число обобщенных координат дь дь -., дзя, необходимых для полного определения положения системы в пространстве, равно ЗЗГ, то говорят, что число степеней свободы системы равно ЗМ.
Так, положение твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может вращаться, определяется всего одной координатой, за которую удобно принять угол поворота ~р. Если ось вращения выбрать за ось з, то угол поворота ф может отсчитываться от некоторого направления, принятого за ось к, так, как это показано на рис. П.З. Угол ф является обошенной координатой данной системы, которая, таким образом, обладает одной степенью свободы. Производная от обобщенной координаты по времени носит название о бо бщенн ой скор ости, и в приведенном примере обобщенная скорость совпадает с угловой скоростью вращения си Декартовы координаты любой точки системы однозначно определяются обобщеннымн координатами, н поэтому ее скорость есть линейная функция 262 т рг,= т ог,= ( )=— (П3.7) По аналогии с (П37), обобщенным импульсом Р, называют прожзводную от кинетической энергии системы по обобщенной скорости: — ПЧУ.
др'к чв а дп; у (П3.8) Из (П3.8) видно, что обобщенный импульс есть линейная функция обобщенных скоростей, поэтому, наоборот, обобщенная скорость может быть представлена как линейная фуикпия обобщенных импульсов. Так, для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси обобщенный импульс есть д~„д 7 Туг 1 Р= . = . ( — )=г'у=ум, дуД=й ду '1 2 ) (П3.9) т. е, это момент количества движения. Если выразить обобщенные скорости через импульсы с помощью уравнежий (П3.8) дг.
=- ~~ри Агтрк (П3.10) и подставить получившиеся выражсиия в (П3.5), то кинетическая энергии окажется однородной функцией второй степени от обобщенных импульсов, т. е. будет иметь вид Ик =,т ЭПР'Р) (П3.11) г,/ Дли рассматриваемого примера из (П3.9) у= =ру а по (П3.6) / рт рт К = — — =— 2 !з 27 (П3.12) хак что единственный коэффициент Ьп равен Ьы = 1/(27). Поскольку кинетическая энергия — однородная функция второй степени, то по теореме Эйлера имеет место следующее тождество: 1 %"( дрк 2,~,а~ ' .
др; (П3.13) Это соотношение классической механики лежит в основе вывода теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Кинетическая энергия, приходящаяся иа бю степень свободы, дается слагаемым выражения (П3.13), имеющим индекс й 1 д~к У = — р 2 ' др; (П3.14) Импульс материальной точки, входящей в состав системы, может быть представлен следующим образом: дк'=?ду!. дуз<чдр! дрзэ<. д (х<У!«! ' ' ' «<ту>тк>< Рк<рэ<рк! ' ' Р~<грот<р~т<) (П3.16» где д (Ч! Чач ° Р! Уел<) дх! дх! дх! дх! ду! дуз ч '.
:др! дрз ч д«, дх,„ 1 дг дх>ч ду! дуз<т ! др! дрз<т д,ок! д,ок! дрк! д,ок! ду! "' дузе дР! "' дрз>т др, дрм ду! дуз>т др ! др д< др! дрзэ< — детерминант, носящий название я к о бвана. Поскольку декартовы координаты по (П3.1) зависят только от обобщенных координат, то все производные по обобщенным импульсам, стоящие в правом верхнем углу и отделенные пунктиром, равны нулю. В связи с этим якобнав разбивается на пр оизведение двух детер дх! дх! дд! " ' дузФ минантов! дры дрк! др! дрз<ч дк>т дх,ч дд! ." дух<к др, др др, "' д„„ Для среднего значения кинетической энергии, приходящейся на !сю степень свободы, следует в соответствии с распределением Гиббса написать < ек! > = ~ як< дго =~ — р! — 'е дГ. (Пд.!5» Г 1 дтк <Р— к><<ат> 2 др< Полная энергия гистемы М' есть сумма кинетической и потенциальной, но поскольку потенциальная энергия не зависит от скоростей, а следовательно, н оз.
импульсов, то д~„д(рх+ Ж,) дв др; др! др! Это позволяет переписать (ПЗ.!5) в виде 1 д$ <Р— у>?<ат> <3.„.> = ~ — р,— е дГ, 2 др! где дà — элемент объема фазового пространства: д В= дх! ду! дх! дхт д уздав... дх>у дудг дк>у Х Х д Рк! д РЭ! д РЮ бр«! драв д Р т " ° д Ркгт д РЭ<Г д Ркэ<. Интегрирование легче выполнить, если от декартовых координат и импульсов перейти к обобщенным. Как известно из математики, этот переход осуществляется по правилу ,рассмотрим кинетическую энергию как функцию декартовых переменных: дух докг дик докж долг до Рг= . ) ' '+ .
=Ркг . + ° ° ° +Ркм до~ доку до; длг ддг 'Из полученного сотношення видно, что док! дрг' долж др~ длг дркг д~у~ драм С другой стороны, из (П3.2) и анзлогичных ему сотношений после нифференцирования по д~ следует док дх д" ч др, дВ "' др, дВ и поэтому др; дх дрг дхм дркг длг др м д~уц Таким образом, первый детерминант можно представить следующим образомг дрг дРт дркг дрк! д о1 дршт др ж др Переставив в нем строки и столбцы, что не меняет значения детерминанта, за- пишем якобиаи в виде дркг дркг др1 дрзгг др, др, дрк1 ' др ж дрзгг дрзгг дркг др гг ддРкзг др гг ддр1 дрзгг Если теперь провести умножение по правилу «строка на столбец», то дрг дрг дрг др, дрз др м дР дранг дРзгг дрг дрз дрзгг Можно показать, что это произведение равно единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
