Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Наконец, найдем вероятность дУе' того, что электрон пройдет без столкновений путь х и испытает столкновение в замыкающем этот путь интервале дх. Она, очевидно, равна б)Р" =е — «Р (79.2) Л С помощью последнего выражения можно подсчитать среднюю длину свободного пробега электрона. По общему правилу нахождения средних напишем (х) =~ хднф"=~ хе «д — ". Л о о Вычисление интеграла приводит к следующему результату: (х) =Л, (79.3) так что введенная выше величина Л имеет смысл среднего расстоя- ния от произвольной точки до точки очередного столкновения.
Ес- ли принять, что движение электрона начали рассматривать сейчас же после столкновения, то окажется, что Л есть среднее расстояние между двумя последовательными столкновения. Это позволяет ин- терпретировать Л как среднюю длину свободного про- б е г а. Возвращаясь к формуле (77.9) для времени релаксации, видим, что ее можно представить в виде т= — = —, 1 Л (79.4) поооь1 ео т. е. время релаксации имеет смысл промежутка времени от какого-то произвольного момента до момента ближайшего столкновения. Оно же может интерпретироваться как среднее время между двумя последовательными столкновениями. Остановимся, наконец, на вопросе о длине свободного пробега при наличии центров рассеяния различных типов.
Если имеются молекулы различных типов (1, 2, 3) с различными сечениями рассеяния зы, з,з, зьз, то вероятность столкновения электрона в слое дх оказывается равной б Р =Йз!80!дх+Йззззздх 1 Йзззззбх> или с1%' + + ~ + + ) с1х л, Поскольку выражение (79.1) можно рассматривать как определе-- ние длины свободного пробега, то + + (79.5) Л Лз Лз Лз Таким образом, при наличии многих центров рассеяния обратная величина средней длины свободного пробега равич сумме обратных величин длин свободного пробега при рассеянии на центрах каждого вида в отдельности. Из (79.4) вытекает, что аналогичное правило имеет место и для времени релаксации: — = — + — +— 1 1 1, 1 (79.6) тз тз 5 80.
Разогрев электронного газа Рассмотренная в 5 77 форма для члена столкновений была получена при использовании предположения, обладающего принципиальным недостатком. Речь идет о допущении, что масса молекулы практически бесконечна по сравнению с массой электрона. Сделав. его, невозможно объяснить, каким образом в стационарных условиях сохраняется постоянная средняя энергия электронов, находящихся во внешнем электрическом поле.
Особенно легко в этом убедиться, если считать молекулы неподвижными. При каждом ударе. электрон отскакивает, сохраняя величину своей скорости. Поскольку при наличии внешнего поля в системе идет ток, то это означает,. что электрическое поле совершает работу, увеличивая энергию системы электронов. Следует выяснить, как поддерживается стационарное состояние. Хорошо известно, что при прохождении тока по. проводнику в нем имеет место выделение тепла, т.
е. передача энергии термостату. Ясно, что для объяснения этого явления необходимо учесть передачу энергии от электронов к молекулам при столкновениях, т. е. конечную величину отношения массы молекулы к массе электрона. Поскольку при равновесии передача энергии: от электронов молекулам компенсируется ее обратным поступлением от молекул к электронам, то решающую роль играет неравно- 23$ весный характер функции распределения электронов.
Следует, однако, учесть, что поправка к функции распределения, найденная выше, не может дать объяснения этому эффекту. Скорее наоборот, поскольку этой поправкой определяется ток, то она способна объяснить, каким образом электроны получают энергию или, иначе, как они «разогреваютсяж Из дальнейшего будет видно, что это действительно так, Таким образом, напрашивается вывод, что в неравновесной функции распределения (77.3) функция (аь которая считалась равновесной, в действительности таковой быть не может и в лучшем случае близка к равновесной.
Так, например, если предположить, что она максвелловская, то ей должна соответствовать другая, более высокая температура, но возможно, что она и не является максвелловской. Изложению решения этого важного вопроса и посвящен настоягций параграф. Мы начнем с предположенвя, что искомая функция распределения имеет аид гг= тег+атг (80.1) и отличается от той, которая использовалась ранее, только тем, что (с~ не совпадает теперь с равновесной функцией распределения, но также зависит от модуля импульса или от энергии электронов. Задача состоит в том, чтобы найти эту, как принято говорить, нзотропную часть функции распределения. Естественно, что при этом нужно исходить из уравнения Больцмана (7б.!0). Если подставить функцию распределения в предполагаемом виде (80.1) в уравнение Больцмана, то результат можно записать следующим образом: дт е~ дбг г рг рг + = — — йгадгДог — — йгадг Ь|, + д! дг тг ' тг ! дУег ) ! даУг 1 +еЕдгадрУо,+еЕпгадрЬУг+( ) +( ) .
(80.2) )ст ~ дт )ст Ограничимся относительно простым случаем, а именно стационарной задачей в постоянном и однородном электрическом поле. Поскольку поле от времени ие зависит, то стационарное решение следует искать, положив в (80.2) члены с производными по времени равными нулю. В других условиях, например в случае, когда электронный газ находится в переменном электрическом поле достаточно высокой частоты, эти члены необходимо учитывать. Однородность в пространстве означает, что функпия распределения не зависит от координат, поэтому первые два члена в правой части уравнения (80.2) тоже равны нулю. Уравнение принимает вид ! дгог 1 ! дагг 1 — е Е йгабруог — е Ейгадр Ьуг =( ) + 11 — ) .
(80.3) д! )с с (с дг )ст ! дгег '1 Если изотропная часть функции распределения равновесна, то член ~ ст даУг 1 равен нулю и член столкновений сводится к ( . В приближении аре/ст мена релаксации для последнего использовалось представление (69.2) и полагалось (см. (732), где Г= — еЕ), что сЧа а ! г = теЕ ага бр лог = те Е— дргх 232 (80.4) (ось х выбрана в направлении электрического поля).
Если сохранить эти соотношения, хотя оня и не вполне точны, то окажется, что еще два члена в уравнении (80.3) взаимно уничтожаются, и тогда получается уравнение (80.5г нлн, если вспользовать (80.4) и интегральное представление для члена столкно- вений, д / дгог) еЕ ~ теŠ— /1 = ~ (/сь/и — /а1/т) ) ч1 — чз ) дводйз. (80.6у др„~ др„) Левая часть этого уравнения не изотропна, т. е. включает поправку и к не.
изотропной части функции распределения б/ь Этой поправкой мы пренебрежехг и для получения уравнения, определяющего изотропную функцию /ч1, усредниы правую и левую части по всем возможным направлениям импульса рь Для этого следует умножать обе части равенства иа д(), и проинтегрировать в простран. стае импульсов электрона по шаровому слою, для которого величина импульса больше рь но меньше, чем р,+дрь пли, если говорить об энергии электрона, по. слою, для которого энергия меняется от е, до е! Ч-деь Интегрирование по такому слою эквивалентно усредненвю по углам, характеризующим направление импульса, и умножению на (см. 5 )9) д()1= 4ир! др! =4 (х' 2 итз~~ ф' гг бег= я(аг) двг.
Правая часть (80.6) изотропна и поэтому просто умножается ва д(е~)де1. Для преобразования левой части следует ат производных по р1 переати к производным по энергии. Так, д / дрог ! д / дрог дч! / = еŠ— (теŠ— ) = езЕз / др1х ! дрг.т ) др1х ! да1 др1х / Поскольку ды ! д / З З З р1х ((Р1, + Р1„+ Р1,) =— дргх 2т! дрг (, х 1д !» — ьтг то далее пслучаем Снова переходим к производной по энергии и получаем, наконец, для левой части следующее выражение: т1 ! да! т1 да1 Усреднение его по углам при учете того, что (р~ т>/(2л11) =е|/3, дает Следовательно, левая часть, проинтегрироваииая по шаровому слою в простран- стве импульсов, приводит к е1Ет 2 д / з д/ог '1 — — г1 т.
— К ($1) бе1, гл! у'е 3 да1 дег Таким образом, уравнение для изотропной части функции распределения прини- мает следующий вид; е2Е2 2 д ( 212 Гду01 '! в! 'а я (аг) да!в ш )г~ 3 двг ' да! = ~ (20122 Уо! 22) ! "1 ч2 ! бзо быЖ(в1) бвг. (80.8) ва а2Е2 2 д / зп ду01'1 — — — — я(аг) б в! = ш )гв 3 да! '! ' даг) 0 = 4 )г 2 ят гз — аз!я ч — е2Е2, 2 дго! 3 дв! (80.9) яде использовано представление л(а,)де, по (80.7). Правая часть, учитывающая изменение вследствие столкновений, записывается следующим образом; в, ) (УО!У2 Уо! У2) ! я1 ч2 ! бзо был(в1) бв1 а вв =~ ~ус!Уз(21 — чз(бзоб028(аг)даг — ~ ~ус!уя(ч! — чз(бзоб028(вг)бвг.
й (80.10) Пусть прямой переход состоит в том, что частицы с импульсами р~ и рв мосле столкновения получают импульсы р,' и р,' и при этом первоначальная энергия электрона е, изменяется и становится равной е, — беь Если во втором .интеграле в правой части (80.10) перейти к штрихованным переменным, т. е. импульсам после удара, то он примет следующую форму: а, вв — 661 ) 20! 22! ч! — ч2(дзобм2К(в1)дв1= ) /0! Уз(Ч! — Чз (бзз бмзк(в!) б 1, о где (а,— бе,) — энергия электрона после удара, соответствующая тому значению, которое она получает при новых значениях переменных. Последнее выраже«ие отличается от первого члена в правой части (80.10) лишь обозначением «еременных интегрирования и значением верхнего предела.
Обозначение пере- 234 Правая часть этого уравнения определяет число электронов, убывающих из шарового слоя бе, вследствие столкновений с молекулами, т. е. эффект передачи энергии от электронов молекулам. Левая часть зависит от поля и показывает, что под действием поля нензотропная часть функции распределения, которая сама пропорцноналы!а электрическому полю, слегка изменяется и дает прн этом добавок к нзотропной части, т. е. описывает эффект разогрева электронного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
