Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Таким образом, ор,=бр,', а отсюда уже вытекает равенство (76.5). Итак, оказывается, что <Я, д'м',= о м, д Я,. (76.6) Выражение (76.3) дает число электронов с импульсом рь которые вследствие столкновения с молекулами, обладавшими импульсом р,, приобрели импульс р~', т. е. в элементе объема бт за время г(1 число электронов с импульсом р, уменьшилось на ЙМ, а число электронов с импульсом р~' увеличилось на ту же величину.
Однако для учета полного изменения числа рассматриваемых электронов необходимо принять во внимание, что в силу отмеченного в предыдущем параграфе свойства взаимности электроны с импульсами р~', сталкиваясь с молекулами, обладающими импульсами рг', после столкновения приобретут соответственно импульсы р, и рг.
Эти переходы играют обратную роль по отношению к предыдущим. Их число бМ' может быть подсчитано по той же формуле (76.1), в которой необходимо, очевидно, заменить все нештрихованные переменные на штрихованные: 6~У = У!У2 дыг быг па дзь (И бг. Таким образом, полное число переходов, в которых уменьшение числа электронов с импульсом р, и молекул с импульсом рг сопровождается соответствующим увеличением числа электронов с импульсом р~' и молекул с импульсом рг', оказывается равным дйà — бМ'.
Учитывая равенство (76.7), а также то, что относительные скорости до и после столкновения равны и что при том же прицельном расстоянии дифференциальные эффективные сечения одинаковы, получим дУ~У дУгУ =(У~Ух — У~Уг) дЯ, дЯгпь дзо бт й. (76.8) Для уравнения Больцмана, относящегося к электронам, представляет интерес выражение, определяющее убыль числа электронов с импульсом рь При этом безразлично, с какими именно молекулами происходит столкновение, а также каково конечное состояние электронов. Другими словами, равенство (76.8) следует проинтегрировать по всем возможным значениям импульсов молекул, а также по всем конечным состояниям электронов, совместимым с начальными.
Последнее означает, что нужно проинтегрировать это выражение по всем возможным углам рассеяния, В уравнении Больцмана изменение числа электронов подсчитывается для единичного фазового объема исходных электронов оьмг(т и для единичного промежутка времени ог, так что ( ) = ~ (УгУг У~Уг) ) ч~ — чг ) й зо Ыг. (769) дУ Выражение (76.9) представляет собой больцмановский член, учигвсвающий взаимодействие в приближении парных столкновений. Полное уравнение Больцмана должно быть записано в виде — = — — Клад, Л вЂ” Г,„угад, У, — ~(У,Уг — У~ У ) ! ч, — чг ! с1 з, сйм д~~ р (76.10) 221 где предполагается, что функция распределения молекул /2 известна.
Если система находится в равновесии, то столкновения не меняют равновесного состояния и член столкновений оказывается равным нулю. Действительно, подставляя вместо /) и /2 равновесные функции распределения Максвелла — Больцмана (29.6), найдем — [оп)(г)-> р /(2то М(П Т) - ~[оп2(г) +/Р2/(2то о))/(пг) 7>у; — 7',72=Сь( е Сазе ,2 ,2 — )(г>+р( д2т щмт) — [о 2(г)+р2 /(2тм>[/(Йт) — Ср/) е "' ' С,чг е — [о ((г)+ 3~~/(~тд()+~п2(г)+р дзт22)шпТ) =С/2( Слгзе .2 ,2 — [ „)(г)+ р' /(2тз))-)оп2(г> ) р' /(ъп,о>у(пт> Разность двух экспонент в скобке равна нулю, так как полные энергии до и после столкновения одинаковы.
Равенство нулю подынтегрального выражения в члене столкновений выражает собой принпип детального равновесия, по которому прямые переходы должны в равновесии компенсироваться обратными. При выводе (76.9) электроны рассматривались классически, т. е. электронный газ считался невырожденным. Если концентрация электронов высока и необходимо учесть принцип неразличимости и принцип Паули, то результат оказывается несколько другим. При подсчете вероятности рассеяния эффективной частицы в телесный угол необходимо учесть, что конечные состояния, в которые совершается переход, должны быть свободны, т. е.
вероятность отклонения в телесный угол б(п необходимо умножить на вероятность того, что конечное состояние свободно. Последняя равна 1 — [[т", где %' — вероятность того, что состояние занято. Поскольку возможное число частиц Ферми в конечном состоянии равно нулю или единице, то среднее число частиц определяется формулой (/2) =1 Ю'+О (1 — [Р')=)рг, так что 1 — Ю=1 — (и). Из (70.2) и (61.4) имеем 1 — (и) =1 — (2пй)з~ю ° Аналогичное соотношение имеет место и в неравновесном случае, только равновесную функцию распределения следует заменить на неравновесную: 1 — (и) =1 — (2яй)27(.
Таким образом, в выражении (76.1) появляется дополнительный множитель, а член столкновений принимает следующий вид: 222 — '[ [71[1 (2лй)з г"',] 7з д'~ [1 (2пй)з 71[уз! Х ду х д~ Х [уг уз[бао(Из' (76.11) Легко показать (см. задачу к настоящей главе), что из условия равенства нулю подынтегрального выражения в (76.11) вытекает равенство равповесной функции распределения электронов функции Ферми — Дирака. 5 77. Приближение времени релаксации Для оправдания использованной ранее формы ющего столкновения, необходимо выяснить, при больцмановское выражение (76.9) может быть форме члена, учитывакаких условиях представлено в (ду ) у1 — Уо (77.1) е„.=1,73 ~/'яТ~гло, из которого видно, что скорости молекул из-за большой их массы на два порядка меньше, чем скорости электронов.
Прн рассмотрении столкновения в первом приближении можно считать молекулы неподвижными и обладающими бесконечной массой. В процессе столкновения молекула остается в покое, а электрон отскакивает с той же по величине (но не по направлению) скоростью. Лабораторная система координат в этом приближении совпадает с системой центров масс, причем все центры масс неподвижны. Поскольку скорости (импульсы) электронов оказываются не связаннымн с импульсами молекул, то интегрирование по импульсам молекул можно выполнить независимо. Имеем 7з 6~~2= ),г 2 Ыз= лз где лз — концентрация молекул в выделенном объеме бт.
Член, опи- сывающий столкновения, упрощается: 223 Оказывается, следует ограничиться упругими (или почти упругими) столкновениями, в результате которых кинетическая энергия сталкивающихся частиц до столкновения равна их кинетической энергии после столкновения. Хотя чаще всего столкновения именно этого типа играют доминирующую роль, но бывают существенны и неупругие столкновения, например такие, которые сопровождаются возбуждением молекул, вызывающим их последующее свечение (лазеры, газоразрядные источники света и т. и.). Важно учесть также, что масса молекулы примерно на четыре порядка больше, чем масса электрона.
Это приводит к тому, что скорости молекул значитсльно меньше скоростей электронов; в равновесном состоянии среднеквадратичное значение скорости определяется равенством (см. ~ 19) — ) = п21У11 ) (Л У1)ало ( )= дт" 'с ст (77.2) За знак интеграла вынесен модуль скорости относительного дви>кения, равный в рассматриваемом приближении модулю скорости налетающего электрона, так как интегрирование по г(эо означает фактически интегрирование по углам рассеивания, а )111! от них не зависит. Если, как мы ожидаем, член столкновений приводится к форме (77,1), то функция распределения в диффузионном приближении ииеет вид (73.6): Л = 101+ ~ — " р агаг(, п1+ 101~ (77 3) л11001 тотьт (77.4) Л=У01+йЛ* где 101 — равновесная функция распределения, а через о11 обозна- чена неравновесная часть.
Неравновесную часть функции распре- деления можно записать в виде (77.5) йЛ = ~. Р .т 01 где из сопоставления с формулой (77.3) видно, что Š— это вектор следующего вида; Е = — — игам, и1+ (77.6) Гч „' т01ат ' Он не зависит от направления импульса электрона. После подстановки (77.4) в (77.2) получается — ) = — и (и )~(У +йЛ вЂ” У вЂ” П|1)11з. ( )= ду з С'т ст Поскольку модуль скорости до столкновения равен модулю скорости после столкновения, а равновесная часть функции распределения зависит только от энергии, т.
е. от модуля скорости, то Х01=Уо1. Таким образом, ) = пг)тст~~(ьЛ с,71)1)хо= ду ~ сц )ст = — "обит ~~ (~-РУ01 — 1-Р Уо1)озо= — по(ч1~ Ла~(1.р — Ер')бзо. (77.7) 224 где учтено, что 101 и 101', так же как и (ч1), не зависят от перемен- ных, по которым проводится интегрирование, и могут быть выне- сены за знак интеграла. Чтобы завершить вычисления, рассмотрим рис. 13.9, на котором изображены импульсы до и после столкновения (р и р'), а также вектор Е. Сохраняя систему координат, которая была использована при рассмотрении сечения рассеяния, проведем ось г параллельно вектору р.
Угол между р и р' есть угол рассеяния, который обозначается 9. Для простоты примем, что вектору р' соответствует мгол ~р, равный нулю, т. е. что ось х выбрана в плоскости векторов р и р'. Скалярные произведения Ер и ).р', входящие в интеграл (77.7), могут быть представлены в виде ЕР=7.Р ссай, ЕР'=А,п сои уз где через ф и у обозначены углы, показанные на рис.13.6, и учтено, что величины импульсов р и р' хздннаковы. Если из начала векторов провести сферическую поверхность, то точки пересечения ее с векторами образуют вершины сферического треугольника.
С помощью Рис. 13.6 формул сферической тригонометрии можно выразить сов 7 через тригонометрические функции углов 9 и ф, а также угла ~р, который равен углу между плоскостями векторов (р, р') и (р, Е). По теореме косинусов, сов 7= сов ф сов8+ з)п у'з(п 6 ссизйь Подставляя это значение в интеграл (77.7), получим три члена; ( — )-- дх ~ — = — и, !и,)ус, зС д~ )сг х ~(Ерсоз6 — Ер ссзФсоб6 — Ер з)п Фз(п 6 совч)с1зс. Интегрирование по бас подразумевает фактически интегрирование по углам 9 и ср. Поскольку в последний член входит интеграл от соз р по б~р, то он равен нулю. Вынесем за знак интеграла 7.р сов зр, тогда — = — и, ) и, ) з с11р сов 6 ) (1 — сов 6) бас. ( †) = дУ ~ д~ Вспоминая выражение (?5.14) для эффективного сечения рассеяния, напишем — = — пз(ч,(з„у'д,7-7з соиф. ( — ')-- дз 1 д~ 7ст Поскольку в соответствии с (77.5) 1сз7-Р соз Ф= ЛзьР== д7з 225 — ) = — пз[Ч1 [ЯОЛ ть ( )=- дт ! дз )ст (77.8) Множитель п,[ч1[зз, входящий в (77.8), имеет размерность, обратную времени, и поэтому можно назвать временем релаксации величину с=1/(из [к, [эз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
