Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ао ° а 2 2 (75.8) 2!5 В газе на данной молекуле может рассеиваться любой столкнувшийся с ней электрон. Пусть мысленно выделены только те электроны, у которых величины и направления импульса одни и те же (точнее, импульс принадлежит бесконечно малому интервалу значений, которому соответствует объем 011, в пространстве импульсов). Эти электроны пролетают на разных расстояниях от молекулы, и поэтому прицельные расстояния для эффективных частиц могут быть любыми. Часть электронов пролетит практически не отклонившись от первоначального направления, а часть будет отклонена на определенный угол. Для дальнейшего важно найти долю электронов, отклонившихся в определенном направ- Рис. 13.2 ленин.
На рис. 13.2 принимается, что плоскость чертежа перпендикулярна направлению движения. Ось г проходит через центр рассея. ния в направлении движения. Все эффективные частицы, пролетевшие через изображенное на рисунке кольцо, обладают прицельным расстоянием, большим р, но меньшим р+др, и, следовательно, пос- ле столкновения направление их движения окажется в интервале углов от О до О+60 по отношению к оси г. Ограничимся только теми частицами, которые пересекают заштрихованную на рисунке площадку, соответствующую углам от ор до !р+д!р.
Движение электрона в процессе столкновения происходит в одной плоскости, т. е. утол !р не меняется. Таким образом, частицы, пролетевшие через заштрихованную на рис. 13.2 область, площадь которой равна дзо — — рбрбр, (75.9) отклонятся в телесный угол до!, характеризующийся углами 9 —:(0+60) по отношению к оси г, параллельной направлению движения налетающей частицы, и !р — . '(!р+!(!р) в плоскости ху.
Величина этого телесного угла равна !1м= 5!и Ы9 оое Площадь с1эо назь!вается дифференциальным эффективным сечением рассеяния в телесный угол бо!. Если в (75.9) подставить (75.7) и (75.8), то для рассеяния на упругом шаре получится 9 О 1 ао 2 бэо= — а о з!и — соэ — — с(90 о= — — з(п 9 09 бр. (75.10) 2 2 2 ' 4 Пусть вдоль оси г летят частицы с определенным импульсом н поток их равен /, тогда число частиц ОЛ', отклоненных в телесный угол г(о! за время !11, совпадает с числом тех из них, которые пролетели за это время через площадку озо, и, следовательно, бЛ'=1 бэос0. (75.11) Лг= ~ бдг=~ удвою= 7 й ~ г)эо. Величина хо=) с(эо (75.12) называется полным эффективным сечением рассеяния.
В случае рассеяния на шаре из (75.10) и (75.12) получается г. о аоо ~ 4=) Йг( 69( — '1;„в — „', 4 / о (75.13) Этот результат имеет очевидный геометрический смысл, так как э,' совпадает с площадью рассеивающей частицы, видимой со стороны налетающей. Как будет ясно из дальнейшего, удобнее принять за 216 Число частиц У, испытавших отклонение на произвольный угол, получается интегрированием (75.11) по всем возможным углам (по !р от О до 2я, а по 9 от я при лобовом ударе до О, когда частица пролетает мимо): полное эффективное сечение рассеяния величину, определенную следующим образом: ао= — ) (1 — со 3)бзо.
(75. 14) Для простого случая рассеяния на упругом шаре сечение зо оказы- вается равным сечению зо', так как 2» о ~ во*,=(а,)( — — ). 9~ вае=о. о ч+ 2 ч =ч,; ч — ~ ч =чм (7515) он+ои~ т!+то где ч, — неизменная по величине и направлению скорость движения центра масс, т, — рассмотренная выше скорость относительного движения, а ч, и ч,— скорости абсолютного движения. Если начальное значение ч, в первом движении равно конечному значению этой скорости во втором, то из (75.15) следует, что при одной и той 2!7 Взаимное движение электрона и молекулы обладает важным свойством, которое может быть пояснено с помощью рис. 13.3. На рисунке показана траектория относительного движения. Величина скорости (импульса) в начале и конце движения одна и та же.
Рас- Р' смотрим траекторию, показанную на рис. !3.3 пунктиром. Она соответствует движению частицы, полученному из предыдущего вращением на 180' вокруг оси, отмеченной штрих-пунктиром. / Ось проведена через У центр рассеяния так, чтобы она лежала в плоско- д! сти траектории и была Рвс. !3.3 одинаково наклонена к начальному и конечному участкам траектории. При центральном характере сил взаимодействия из соображений симметрии ясно, что пунктирная траектория тоже соответствует возможному движению. Видно также, что начальная скорость второго движения по направлению и величине совпадает с конечной скоростью первого, а конечная, наоборот, с начальной. Ясно также из тех же соображений симметрии, что дифференциальное сечение рассеяния для первого и второго движения одинаково. Обратимся теперь к абсолютному движению.
Из (75.6) после дифференцирования по времени вытекает же скорости движения центра масс начальные скорости ч, и тт первого равны конечным скоростям т,' и тт' во втором, поскольку последние определяются соотношениями т+ ' ч,'=ты ч,— ' ч.=тъ (7516) т, + тт т~ + т2 аналогичными (75.15). й 76. Член столкновений в форме Больцмана Больцман получил выражение для члена, учитывающего взаимодействие между частицами, которое справедливо в приближении парных столкновений. Вывод опирается на описание процесса соударения, приведенное в предыдущем параграфе, при этом существенно, что он дополнительно учитывает статистический, т. е. случайный характер явления. ----/ l Выделим элемент объема г)т, который много больше среднего расстояния между частицами, но, с другой стороны, на- '~ ганг столько мал, что функции распределения электронов н молекул в нем практически не зависят от координат.
Рассмотрим те Рис. 13.4 электроны и молекулы, импульсы которых равны соответственно р~ и рт или, более точно, принадлежат элементам импульсного объема д1л и бй,. Временно введем подвижную относительно лаборатории систему координат, в которой начало помещено в центр масс какой-то произвольной пары сталкивающихся электрона и молекулы. Поскольку скорости всех рассматриваемых электронов равны между собой, так же как и у рассматриваемых молекул, то центры масс сталкивающихся пар в новой системе координат неподвижны. Они, как н сами пары, распределены в элементе пространства дт равномерно.
Выберем промежуток времени бт достаточно малый, чтобы можно было пренебречь изменением числа частиц в дт вследствие столкновений, но много больший самого времени столкновения, н определим вероятность того, что эффективная частица какой-то одной произвольной пары отклонится в телесный угол дв. Искомая величина есть в то же время вероятность того, что эффективная частица, находящаяся в от, пройдет в течение о1 через площадку Йзи соответствующую рассеянию в йы, или, другими словами, вероятность того, что эффективная частица окажется (рис.
13.4) в цилиндрическом теле, опирающемся на площадку оз, и обладающем высотой тэой Она, таким образом, равна отношению объема цилиндрического тела дзао,бт к элементу объема дт. Среднее число эффективных частиц дУ, рассеянных в ды, можно найти, умножив полученную вероятность на число пар в дт. Если и, — концентрация электронов, а и, — молекул, то число пар 218 в «)т равно числу электронов и«с(т, умноженному на число молекул и2«(т. Таким образом, для с(12' получится 41ч" = (и. «(за й/б т) и, бти2 бт = и«ичп, с(аа Ф бт.
Поскольку рассматриваются электроны с импульсами, принад- лежащими Ю«, и молекулы с импульсами, принадлежащими «1112, то и,= 71 дЯ„и2=72 «(м2, так что дй7 = ЛУ2 ~ ч, — ч, ) д з, д Я1 «( 122 Ф «(т, где учтено, что (76.1) ч, = ч, — Ч2 = (р«/т«) — (рэ«т2) — относительная скорость движения электрона и молекулы, Если и (76.1) Г1, 12 и относительная скорость рассматриваются как функции импульсов р« и р2 электронов и молекул в исходной лабораторной системе координат, то и в дифференциальном эффективном сечении рассеяния углы О и «Р, а также величина относительной скорости должны быть выражены через параметры, характеризующие эти импульсы. Связь между скоростями была получена в предыдущем параграфе [см. (75.15)).
Легко найти связь между импульсом электрона р« и молекулы рь с одной стороны, и импульсом центра масс р,=ч,(т,+т,) и импульсом эффективной частицы р,=т*ч,— с другой. Действительно, если умножить первое уравнение системы (75.15) на ть а второе — на т2, то Р1= т«Ч1 = т« ' + Р,. (76.2) т«+ М2 Рс р2 т2Ч2=т2 — Ро. т1+ т2 С помощью последних соотношений выражение (76.1) может быть представлено через переменные, описывающие движение центра масс и эффективной частицы: .««У2~~ бзО «1'2~ с(~~ б( «12' (76.3) где «111, и «112, — элементы объема в пространстве импульсов эффективных частиц и центров масс. Нетрудно показать (см. приложение 4), что имеет место равенство «1~1 «1~2 «1 'йо «111с. (76.4) Оно было использовано при записи (76.3), в которой также подразумевается, что )1 и )2 представлены как функции р, и ро с помощью уравнений (76.2).
После столкновения импульсы электрона и молекулы изменяются и становятся равными р,' и р2', при этом импульс центра масс ье меняется: р,'=р, (закон сохранения импульса), а импульс эффективной частицы меняется только по направлению, так что 219 Рис. 13.5 Поскольку импульсы после столкновения связаны между собой уравнениями (76.2) такими же, как и до столкновения, то в полной аналогии с (76.4) можно написать сЯ~ 612~=с( 2,бм,.
Сопоставляя последнее равенство с (76.6), видим, что имеет место условие д2, дС,= сй~ д(2~, (76. 7) т. е. произведение импульсных объемов электронов и молекул до столкновения равно соответствующему произведению импульсных объемов после столкновения. 220 р„'=р,. Если набор первоначальных импульсов был таким, что интервал импульсов центров масс равнялся о11„то, поскольку каждый импульс р, не меняется, останется неизменным и интервал д(2с', так что с(й,'=611с. Следующие рассуждения показывают, что и сФ,= с(м,. (76.5) Действительно, хотя вектор р, и не равен вектору р,' (изменилось его направление), но если вектор р, изменить на др„то импульс после столкновения изменится на такую же величину при условии, что прицельное расстояние ос- У э ! талось тем же самым.
Проще О всего в этом убедиться с помог щью рис. 13.5, на котором пзображены импульсы до и после столкновения. Будем менять направление исходного имРо пульса в определенном интервале углов. Учитывая центральную симметрию потенциала взаимодействия, тот же пезультат можно получить„ оставляя исходный вектор неизменным, а поворачивая лишь исходную систему координат в том же самом интервале телесных углов. Ясно, что при таких поворотах с точки зрения сил, действующих при рассеянии, ничего не меняется, поэтому конечное значение импульса остается неизменным. Но если считать, что вращается не система координат, а исходный вектор импульса, то это означает, что импульс после столкновения поворачивается точно на такие же углы, так что его изменения равны изменениям исходного импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
