Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 37
Текст из файла (страница 37)
а)2(2 22= 2 Таким образом, в а и р входят произведения т,а2 и т252, где а и Ь вЂ” размеры сосуда, а в у входит произведение то!2, здесь ! — рас- )86 стояние между атомами. Если размеры сосуда а=5=!О-е и, а расстояние между атомами 1 — 0,7 1О< мм, что соответствует расстоянию между атомами в молекуле водорода, то, считая массу атомов равной массе атома водорода, для величин коэффициентов получим следующие оценки: а= 5=7.10-" Дж, у=1,4 10-з< Дж.
Предположим, что газ находится при высокой температуре и 1<Т много больше а, р и у. Тогда все три суммы можно приближенно свести к однотипным интегралам, отличающимся значением параметра (а, р или у). Рассмотрим одну из них, например по и<„. Учитывая, что число и<, прянимает значения от — со до +аа и что при переходе от одного слагаемого к следующему оно меняется на Лтп„=1, можно написать — ~ ьт1 .У дтт< ) е — тчят1 <1 тн а 2 — а~ <<ьт1 а~ е к т х Используя результаты приложения 2 для определения значения полученного интеграла, найдем Таким образом, при достаточно высоких температурах о *= 7<ТЕЫ«т1 ьу )м2 ф'а~у Среднее число молекул по (54.10) оказывается равным (65. 8) (Л7) = — — =Ее<<ах< дц .
(аЬТТМ' дн К азу (65. 9) а внутренняя энергия в соответствии с (54.11) с<" = й~ — Т вЂ” — р, — = — лТет<<'т1 д<1"' дй* 3 (яАТ)ыз дТ дн 2 т' адт или, если использовать (65.9), и= — '~Т(Л), Т'=у/юг=100 К. 187 что находится в полном соответствии с выводом классической теории (65.1). Каковы же температуры, при которых у молекулы проявляются все три ее степени свободы? Поскольку а и р много меньше у, то сформулированное выше условие выполняется, если аТ»у.
Учитывая численное значение у и постоянной Вольцмана, найдем, что неравенство выполняется при температурах, много больших Т', где Выясним теперь, чтб происходит при температурах, много меньших Т'. Если температура такова, что кТ((у, но йТ все еще много больше а и 1), то суммы с параметрами а и ~) не меняют своего значения, а сумма по у сводится к единице, Действительно, при у»йТ все члены суммы, кроме того, в котором т=О, очень малы, так что с хорошей точностью Выражение для омега-потенциала оказывается следующим: йТеймг> " 165.
10) ра~ т. е, таким, как будто у молекулы имеется всего две степени свободы, соответствующие поступательному движению. Таким образом, при Т((Т' вращательная степень свободы «вымерзает». Естественно, что если с помощью 165.10) вычислить внутреннюю энергию и теплоемкость, то получатся величины, которые соответствуют двум степеням свободы; и=йт<Лг), С,=<я) ~г. При необходимости можно проследить за изменением теплоемкости от одного предельного значения до другого, для чего достаточно воспользоваться выражением для теплоемкости, полученным из омега-потенциала, в котором сумма по у не заменяется интегралом.
Для переходной области достаточно учесть в сумме несколько членов 1т=О, -~-1, ~2), так как влияние остальных мало. Такие вычисления, однако, целесообразно проводить для более реалистической модели, чем та, которая применялась выше. Изложенное позволяет понять причину, по которой в двухатомных молекулах, а также линейных, т. е. многоатомных, в которых атомы располагаются на одной оси, следует учитывать лишь пять степеней свободы, а не шесть, как это необходимо делать при рассмотрении нелинейных многоатомных молекул. Дело в том, что в линейных молекулах момент инерции относительно оси, на которой лежат атомы, оказывается очень малым, так что соответствующий параметр у и температура Т' очень велики. Действительно, при вращении молекулы вокруг этой оси момент инерции определяется в основном электронами, масса которых на три порядка меньше массы ядра.
Что касается вклада самих ядер, то из-за малого радиуса ядра, который на четыре порядка меньше, чем радиус атома, их вклад в момент инерции относительно оси, соединяющей ядра, оказывается на восемь порядков меньше, чем относительно осей, перпендикулярных этому направлению.
Аналогичным образом можно объяснить причину, по которой при низких температурах не сказываются колебания атомов молекул относительно друг друга. Поскольку энергия колебательного движения тоже принимает дискретные значения, то прн энергии МТ, 1вз меньшей, чем минимальная энергия, необходимая для возбуждения колебаний, вероятность возбуждения настолько мала, что колебания не нужно учитывать при подсчете статистических сумм. Такны образом, квантовая теория позволяет объяснить функциональную связь теплоемкости с температурой, которая соответствует эксперитнснтально наблюдаемому ходу этой зависимости. Задачи и главе 60 1. Концентрация электронов в меди равна 8,5.10" м-', Определить, еырожден или кевырожден электронный газ при комнатной телтературе.
При какой температуре происходит переход от вьгрождгнного к невырожденному лри заданной концентрации? Р е ш е н и е. При Т=ЗОО К имеем ( ' ) '-- тест ~з)т 26П =1,3 10ж м — з; пвт бр —,т это много меньше, чем п=8,5 10" м-', следовательно, газ вырождеи. Газ становится игзырождеиным при температуре, много большей, чем температура плавления и испарения меди. 2. В газовом разряде измеренная концентрация электронов и= !О'г и-', а их температура 2000 К. Чему равно давление электровозу Р е ш е н и е, В данном случае газ невырожден, так иак ( ) тсат )зтт 1 — У026 м — 3, л Ьт рг2 что много больше значения концентрации, Отсюда вытекает, что для расчета давления можно воспользоваться формулой !36.2) Р= герат 3 ° 10 — з Пз. ЧаСтЬ )1Г СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 11 УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА в бб.
Фуннция распредепення в неравновесном случае В гл. 5 было показано, что в классической статистике по. ное описание системы, находящейся в равновесии, дается распределением Гиббса (или большим каноническим распределением, когда число частиц в системе переменно). На практике часто приходится иметь дело с системами, не находящимися в равновесии, и тогда возникает вопрос о том, какова плотность вероятности для них.
Поскольку исследование неравновесных систем представляет собой очень сложную задачу, то ниже будет рассмотрен только случай идеального газа, т. е. совокупности частиц, взаимодействнекоторых между собой настолько слабо, что с ним можно не считаться. Движение каждой частицы идеального газа происходит независимо, и поэтому полная функция распределения системы определяется функцией распределения одной частицы. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно повторить рассуждения, приведенные в $ ЗО. Действительно, если ) (г, р) — функция распределения, то ди/аг= г'(г, р) бтб2/аг=шу'(г, р) есть вероятность обнаружить частицу в объеме ду=дтбй р-пространства. Вероятность того, что частица 1 находится в объеме ду1, а частица 2 — в буп вследствие независимости движения частиц дается произведением вероятностей, т.
е. бЖ~'(г„р,; гм р,)=б%'(г,, р,)д%"(гм р,)= 1 У (г1 Р|) бТ~У (гг Рг) с(тз Эти рассуждения можно продолжить, тогда для плотности вероятности всей системы получим 1 та(ГН Р,...Гд„РП)= — ~ Г'(Г„Р,)... 1'(Г, Р, ). дг !90 Таким образом, основной задачей теории идеального газа является нахождение неравновесной функции распределения для одной частицы.
Поскольку имеется в виду неравновесное состояние, то эта функция отличается от распределения Максвелла — Больцмана и необходимо иметь некоторый общий метод, позволяющий находить неизвестные функции распределения. Такой метод был дан Больцманом и состоит в решении предложенного им уравнения, носящего название кинетического или уравнения Больцман а. Прежде чем рассматривать уравнение для функции распределения, обратимся к задаче из области гидродинамики, которая позволит лучше понять смысл кинетического уравнения. 5 67. Уравнение непрерывности Рассмотрим движение газа, обладающего плотностью р.
Если т,— масса одной молекулы газа, то концентрация (число молекул в единице объема) равна п=йlшы На рис. 11.1 показана система координат и мысленно выделенный элемент объема со сторонами бх, ду, бг. Предположим вначале, что газ течет вдоль оси у, и рассмотрим изменение его массы в выделенном элементарном объеме. Поскольку скорость изменения плотности газа в данной точке пространства равна др1д1, то изменение массы, происшедшее за промежуток времени 61, можно записать в виде дМ = — Фбт, (67.
1) д1 где дт=дхбудг. Увеличение или уменьшение массы может происходить только за счет того, что количество газа, втекающего че- Рис. 11Л рез левую грань с координатой у, не равно количеству газа, вытекающему через правую с координатой у+йу. Если скорость течения равна ои, то за промежуток времени 61 объем газа, совпадавший в момент 1 с бт, сместится на расстояние оиЖ, причем он может несколько растянуться или сжаться, если скорости у правой и левой граней не одинаковы. Из рис, 11.1 видно, что из объема выйдет количество газа, равное дп„дгбхбх =о (у+ бу) о„(у+ бу) б1дхдх. (67.2) Вместе с тем слева в объем войдет количество газа, равное й(у) „(у)й1дхд .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
