Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 33
Текст из файла (страница 33)
5) Если на рассматривавшееся выше отверстие извне падает излучение, то оно полностью проходит внутрь полости, не испытывая отражения. Когда полость доста- T/с точно велика, то можно прене/ бречь и выходящим из полости излучением, возникающим за счет / отражения от внутренних стенок. / / Таким образом, полость с отвер- Ю / гс стием представляет собой так на/ т <т /г зываемое абсолютно черное тело, т.
е. тело, полностью поглощаюь//ссс щее все падающее на него излучение. Следовательно, формула Рис. 9.1 (58.5) определяет излучательную способность абсолютно черного тела. Она носит название ф о р м у л ы П л а н к а по имени ученого, впервые ее получившего. На рис. 9.1 показаны графики функции Планка в зависимости от частоты для нескольких температур. При малых частотах, когда йе//йТ«1, экспоненту в знаменателе (58.5) можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя чле- нами ее/ч!ст/ 1 + ьт После подстановки этого разложения в (58.5) получается г„/1/с — ИТЬа. (2нс)з (58. 6) !66 Приближенная формула (58.6) носит названне формулы Рэ- л е я — Д ж н н с а н показывает, что в области низких частот нзлу- чательная способность черного тела пропорциональна квадрату ча- стоты.
Исторически это соотношение было получено раньше фор- мулы Планка нз чисто классических соображений н по классиче- ской теории должно было выполняться для всех частот. Полная энергия излучения по этой формуле равна бесконечности: лт г„дау = — 1 ауЧау, (2яа)а 2 а а поскольку последний интеграл расходится. Таким образом, клас- сическая теория была не в состоянии объяснить лученспусканне, ибо приводила к абсурдному результату. Зависимость (58.6) изо- бражена на рис. 9.1 пунктирной линией в области низких частот. При больших частотах, когда тулу(лТУ 1, экспонента в знамена- теле (58.5) много больше единицы.
Если последней пренебречь, то получается так называемая фор мула В и на г„да= — е — л УултЧау йы~ (2яа)а из которой видно, что при больших частотах нзлучательная способ- ность быстро (экспоненциально) стремится к нулю. Закон Вина представлен на графике пунктирной линией в области больших ча- стот. Положение максимума на кривой нзлучательной способности можно определить, если продифференцировать г по ау и прирав- нять производную нулю. Имеем дг„а ( а„а 1 .- (<~"> "-л-- 1- О.
а ( з а ы(балт) ал У<лгу 12яа)21 ~ елшллгу 1 (але/(лг) !)а Это уравнение приводится к виду 3(еУ Уулгу 1) — — е™ялту О лт (58. 7) или — = 3 — Зе — У™длг>. лт ~ — '") =3, (а" ) — з. — 11 =3 — е а 3=2,85, лт )у — = 2,82. лт 167 Из последнего соотношения последовательнымн прнблнжениями легко получить: Таким образом, максимум излучательной способности имеет место на частоте м =282 — Т, е е Если ввести новую переменную интегрирования х=йсе[(лТ), то *! (Лт~ хздх ~ — =сТ4, (2ис)с ас ех — 1 е (58.
8) где 4=6,49 =5б7 10 е Вт м с К 4. (2пс)2 аз Соотношение (58.8) носит название з а к о н а С т е ф а н а— Б о л ь ц м а н а и показывает, что энергетическая светимость пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Постоянная о носит название постоянной Стефана — Боль) ман а. В заключение покажем, как применение общего аппарата позволяет вычислить давление, оказываемое тепловым излучением на стенки полости. По формуле (54.13) с учетом (57.8) находим дУ дй' ( пеассс / 3 с дх = ~ ~) хсе — с!хдх с О с! — -! Х 3! ~ 1 1 п4 — =6 '~ — =6 — =6,49 т4 .д,е( т4 90 44 ! т=\ =- ~~~) ~хсе с!хдх = е-! О (см.
[12), с. 297). 168 которая прямо пропорциональна абсолютной температуре. Это соотношение носит название з а к о н а с м е щ е н и я В и н а и показывает, что при более высоких температурах максимум смещается в сторону более коротких длин волн (более высоких частот). Полную мощность, излучаемую абсолютно черным телом с единицы поверхности, называют энергетической светимостью. Ее можно определить, вычислив интеграл Таким образом, тепловое излучение оказывает на стенки заключающей его полости давление, которое пропорционально четвертой степени температуры. Интересно отметить, что давление не зависит от объема. Это является отражением того факта, что число фотонов в полости не фиксировано. Увеличение объема сопровождается появлением новых фотонов, так что концентрация их, зависящая только от температуры, сохраняется.
5 ЗР. Фоноиы Статистика базанов может быть использована и для описания явлений, относящихся совсем к другой области. При низких температурах, когда квантовые эффекты становятся особенно существенными, большинство веществ находится в твердом состоянии и их атомы образуют кристаллические решетки. Смещение атома в решетке вызывает смещение соседних атомов и таким образом приводит к возникновению волны, распространяющейся по кристаллу.
Волновой характер движения атомов в кристаллической решетке позволяет строить статистическую теорию кристаллов по аналогии с теорией теплового излучения в полости. Полная теория оказывается значительно более сложной, чем для электромапнитных волн, так как решетка дискретна и в ней возможны колебания различных типов (в простейших случаях они делятся на продольные и поперечные), наконец, свойства кристалла, а следовательно, и волн могут быть неодинаковы по различным направлениям (анизотропия).
Чтобы упростить изложение, можно, как это часто делается, приближенно заменить реальную решетку непрерывной изотропной средой с упругими параметрами, такими же, как у решетки. Фактически это сводится к предположению, что кристаллическая решетка может быть заменена упругой средой, в которой скорость распространения звуковых волн (волн сжатия, растяжения и смещения) такая же, как и в решетке, и одинакова во всех направлениях. Рассматриваются всего три возможных типа колебаний, из которых два соответствуют поперечным волнам с двумя взаимно перпендикулярными направлениями поляризации и одно — продольной волне.
Теория для каждого типа колебаний дает одинаковый результат, и разница состоит лишь в том, что скорость звука для продольных и поперечных волн различна. Имея это в виду, ограничимся лишь продольной волной, для которой скорость распространения обозначим сь Если кристалл имеет ограниченные размеры, например форму параллелепипеда со сторонами а, Ь и с, то в нем возможны колебания строго определенных частот. Частоты колебаний зависят от размеров кристалла и условий отражения на его свободных границах. Хотя, строго говоря, набор возможных частот дискретен, но почти во всех практически интересных случаях его можно считать.
непрерывным. В этом приближении не так важно точное значение каждой отдельной частоты, а гораздо существеннее определить плотность распределения этих частот, т. е. число дО различных волн, частоты которых попадают в интервал дв. Другими словами, необходимо найти плотность состояний д, где б0 = й'„ба. В полной аналогии со случаем электромагнитных волн удобно принять, что возможны лишь такие частоты, для которых компо- ненты волнового вектора к, где !й(=й=2л~Ъ=ю!с, (с~ — скорость звука, заменяющая скорость распространения элек- тромагнитных волн с), определяются соотношениями вида (46.4) 2л 2л 2л л = — ул, л„= — т, /г,= — т, к у у у' (59. 1) (т„ту и гл,— целые числа). Имеется, однако, и одно существенное отличие от световых волн, которое связано с дискретной структурой кристаллической решетки.
Спектр частот электромагнитных волн не ограничен сверху, так что возможны сколь угодно большие частоты или сколь угодно малые длины волн. В кристаллах не могут существовать волны с длиной волны, меньшей некоторого значения Хши Это свойство явРис, 9.2 ляется следствием дискретности решетки, н его нагляднее всего можно пояснить с помощью рис.
9.2, на котором изображены поперечные волны с уменьшающейся длиной волны для одномерной цепочки атомов (обозначенных точками). Последняя из них соответствует наименьшему возможному значению длины волны, равному удвоенной постоянной решетки, когда соседние атомы колеблются в противофазе. Таким образом, теория тепловых колебаний решетки может быть сведена к теории равновесных звуковых волн, аналогичной теории равновесного электромагнитного излучения и отличающейся тем, что возможные типы волн ограничены наименьшей длиной вол. иы Х м или соответствующей ей максимальной частотой ~"лл — 2лсу "л~и (59.2 ) гто Для внутренней согласованности теории значение вши следует выбирать из условия, что общее число различных волн в кристалле равно числу степеней свободы составляющих его атомов.
Если число атомов равно У, то поскольку у каждого атома три степени свободы, то общее число степеней свободы равно ЗМ. Это означает, что в простой решетке имеется М различных длин волн для каждого нз типов колебаний (продольного и двух поперечных). Таким образом, условие, определяющее ошии, может быть записано в виде аааа 4лаазааа (2лсз)з о т. е. з 4л З вЂ” 1)(С Ы!З вЂ” ("=Лг илн м „=у''6лз( — ) с,.
3 (2лсз)з ~~) Поскольку в простом кубическом кристалле объем, приходящийся на один атом, равен сР, где а( — постоянная кубической решетки, то последнюю формулу можно записать в виде м = т~йлзс,7с(=2лс,)(1,6 И), (59. 3) из которой, в частности, видно, что ).,ы = 1,61 с(. Используя условие ограниченности частот звуковых волн, для омега-потенциала можем по аналогии с (57.6) написать ,саа* аз 1' ьт!П(1 е — -д ))4л 'Ы Р (2лсз)з о (59. 4) е — з юг)Я(1 Поскольку для этих частот (п'(1 е — з дзг)) е — з 1(зг) — очень малая величина, то верхний предел интегрирования без заметной ошибки можно распространить до бесконечности и тогда теория оказывается полностью совпадающей с теорией электромагнитного излучения. Вместо фотонов говорят о ф о н о н а х (квантах звука), роль скорости света играет скорость звука, и для фононов справедливы все законы, полученные для теплового излучения. В частности, по аналогии с (57.8) для каждого типа волн (продольных и двух поперечных типов) имеем Я»= 1,07 з УТ4 ззз 3 где се — скорость соответствующей волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
