Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Фотоны Применим теперь полученные выше общие результаты к фотонному газу, т. е. к электромагнитному излучению. Фотонный газ обладает важной особенностью, отличающей его от Бозе-частиц, обладающих конечной массой покоя. Эта особенность связана с тем, что число бозонов в фотонном газе не ограничено. Так, например, нагревая стенки полости (термостата), можно неограниченно увеличивать плотность электромагнитного излучения внутри полости, т. е.
увеличивать число содержащихся в ней фотонов. При выводе большого канонического распределения из принципа максимума энтропии (см. $53) использовалось условие ~',Аг(Р, =(Л~), в котором среднее число частиц в системе (М> считалось заданным. Для фотонов это условие излишне, поскольку их среднее число определяется температурой и объемом системы. Если его не накладывать (что формально можно учесть, положив множитель Х,= — р/Т равным нулю, т. е.
фактически считая я=0), то придем к выводу, что для фотонов большое каноническое распределение прил)енимо при значении химического потенциала, равном нулю. По формуле (55.10) среднее число бозонов на йм уровне равно 1 Для фотонов распределение Бозе — Эйнштейна имеет вид 1 )= ~ тчг —. (57. 1) е ' — 1 Дру~ой важной особенностью фотонного газа, как, впрочем, и идеального газа любых бозонов, служит то, что хотя возможные уровни энергии системы дискретны, но в большинстве практически интересных случаев они расположены настолько часто, что их можно считать почти непрерывными. Остановимся на этой особенности подробнее. Для вычисления омега-потенциала необходимо найти сумму Яч=йТ ~~!п(1 — е(ь — ')Д"т)) 6 — 434 Если уровни энергии е; расположены настолько близко друг к другу, что разница между соседними много меньше ИТ, то написанная выше сумма может быть приближенно заменена интегралом по энергии.
Действительно, пусть да — малый интервал энергий, который, с одной стороны, много меньше йТ, а с другой — много больше интервала между соседними уровнями энергии, так что в десодержится много уровней энергии. Суммирование удобно провести в два этапа. Разобьем всю шкалу энергии на интервалы величиной де и сначала просуммируем слагаемые, относящиеся к одному интервалу.
Поскольку в пределах одного интервала де энергии отличаются друг от друга на величину, много меньшую йТ, то все слагаемые имеют приблизительно одинаковое значение и их сумма равна одному из них, умноженному на число уровней в интервале бз. Число уровней в Йз, которое для малых интервалов энергии пропорционально величине интервала, обозначим д,де, где д, — функция, носящая название плотности состояний и имеющая смысл числа уровней, приходящихся на единичный интервал энергии в окрестности энергии да. Например, для омега-потенциала искомая сумма будет иметь вид йт 1п(1 — е~ — ° >пзг1) д.б..
Остается провести суммирование по различным интервалам де, что, как легко видеть, сводится к интегрированию. Таким образом, для омега-потенциала получаем й.'"=ИТ~!п(1 — ео' — юп"г1) д, дю (57. 2) з=рс, так что в интервале энергии от а до а+де оказываются все те состояния, модуль импульса которых больше р=е/с и мсньше в ла р+ А~= — + —. с с Другими словами, интервалу энергий дз принадлежат состояния, которые в пространстве импульсов изображаются точками, находящимися в сферическом слое толщины др. Поскольку объем такого !62 Суммирование проводится от самого нижнего нулевого уровня энергии до бесконечно большого.
Для фактического вычисления интеграла (57.2) необходимо знать плотность состояний дауда, к вычислению которой мы теперь и пе ейдем. Р очти все необходимые выкладки были проделаны ранее. Действительно, между энергией з и величиной импульса фотона р имеет место соотношение слоя равен 60=4лрзг)р, то по формуле (48.2) число состояний в нем равно ~О 4лрз о О (57.
3) (2лй)з Если выразить импульс через энергию, то получим 4леза е (2,фс)з (57. 4) где дб — число состояний в интервале энергий бе. По определению введенной выше плотности состояний, бО=д, сне, При применении (57.5) к фотонному газу нужно принять во внимание, что имеются два вида электромагнитных волн, а следовательно, и фотонов, отличающихся друг от друга своей поляризацией. Для каждого вида справедлива формула (57.3), и поэтому если нас интересует весь фотонный газ, а не одна его компонента, обладающая данной поляризацией, то следует (57.5) умножить на число компонент, т. е.
на два. С учетом последнего замечания для омега-потенциала фотонного газа, химический потенциал которого равен нулю, получается д ) 4лее (2лйс)з о Последнее выражение часто используется в форме, когда за пере- менную интегрирования выбрана частота оз, связанная с энергией соотношением е=лсо. В этом представлении Яе=2лТ ~!п(1 — е — е Лег>) — <Ыl.
(2лс)з о (57. 6) Величина дйе=2)зТЧ!п(1 — е — "~дог>) 4" ' б„, (2лс)з (57. 7) имеет смысл омега-потенциала всех фотонов, частота которых лежит в интервале доз, и поэтому функция Юо. ( о) = 2АТЬ' 1п(1 — е — ""лзтз) (2лс)з может быть названа спектральной плотностью омега- потенциала. 163 так что из (57.4) следует явное выражение для этой функции я.бе = 1~де. (57. 5) (2лй~)з Чтобы вычислить (57.6), удобно ввести новую переменную кнте- грирования )(йт).
Формула для 11* принимает тогда следующий вид: 12' = [т ~ 1п(1 — е — ) х'с1х. ! (ьт)4 птйзсз о Поскольку *1 '1 1п(1 — е — ) х'!11х= — 2,15, о то !2* = — 2, 15 [/Т4. птьзсз (57. 8) — ь« — хтвх= 1а(1 — е «) хт В«= о 1 п4 2 '~ — = — 2. — — 2,15 «4 9Э ь-! %1 1 !" А4 «о о (см.
[12), с. 297). !64 Таким образом, когда уровни энергии могут считаться непрерывными, ол!ега-потенциал фотонного газа определяется выражением (57.8) или в спектральной форме уравнением (57.7). Остановимся теперь на вопросе о том, когда справедливо приближение непрерывного распределения уровней энергии. Ясно, что это имеет место лишь в случае достаточно высоких температур, так как основным критерием служила малость расстояния между уровиямн по сравнению с яТ. Условие квазннепрерывности будет выполняться, если энергия яТ больше, чем энергия самого нижнего состояния, поскольку среди состояний системы есть и такие, которые соответствуют нахождению на нижнем уровне одного, двух фотонов и т.
д., причем все остальные уровни пустые. Другими словами, интервалы между соседними уровнями заведомо меньше, чем две, где ыь — наименьшая частота колебаний, возможных в системе. Пусть, например, имеется кубическая полость со стороной а= =1 см. Наименьшая частота определится из условия, что соответствующая ей длина волны равна а. Хотя, строго говоря, в металлической полости возможны колебания, у которых на длине полости помещается половина длины волны, так что для наименьшей частоты замена стоячих волн на бегущие по правилу, изложенному в э 46, является довольно плохим приближением, но поскольку нас интересует выполнение условия Ьо(<йт (57. 9) с большим запасом, то разница в множителе порядка двух не имеет существенного значения.
Таким образом, в рассматриваемом примере наибольшая длина волны порядка а=1 см, а следовательно, наименьшая частота то= с/Л = с/а, т. е. то — 3 10" Гц. Интервалы между уровнями энергии меньше, чем 2пйто=2 10-дв Дж, и условие (57.9) выполняется уже при тем. пературах порядка 10 К, когда дТ=1,38.10-" Д>к. Если полостьохлаждена до температуры порядка О,1 К, то переход от формулы (56.6), учитывающей дискретную структуру уровней,' к формуле (57.2), где они предполагаются непрерывными, неправомерен. $ зй. Законы теплового излучения Знание омега-потенциала позволяет рассчитать многие важные характеристики фотонного газа, находящегося в равновесии, т.
е. равновесного теплового излучения. Одной из наиболее интересных является внутренняя энергия (/. Используя формулу (54.11) и применяя ее к (57.7), найдем для внутренней энергии фотонов, частота которых лежит в интервале доу, при учете того, что 1д=О, Выражение (58.1) может быть истолковано следующим образом. Первый множитель представляет собой число состояний, приходящихся на частотный интервал дсо. Второй множитель определяет среднее число фотонов в состоянии с частотой оу, так что его произведение на первый даст среднее число фотонов в интервале частот от оу до дт+дсо * дмлдт1 (58. 2) Последний множитель есть энергия одного фотона, и поэтому умножение (58.2) на Ьсо приводит к выражению для средней энергии фотонного газа в рассматриваемом частотном интервале.
Если в полости, содержащей тепловое излучение, сделано небольшое отверстие, которое практически не нарушает равновесного состояния фотонного газа, то из отверстия выходит излучение. Мощность этого излучения в интервале частот доу= 1, отнесенная к единице поверхности, носит название спектральной плотности энергетической светимости (для краткости назовем ее излучательной способностью) и в дальнейшем обозначается геь Легко рассчитать эту Читатели Здесь и далее во всех формулах вместо д следует читать Й. 165 величину, используя результаты $21. Действительно, для плотности потока частиц там было получено выражение (21.11) / = лт/,//4.
Если под б( понимать плотность потока фотонов, обладающих частотой в интервале с(е/, то их концентрация п(а)/(ы, как это вытекает из формулы (58.2), равна /!Ф алс/2/!е л(/с)бм !/ (2пс)с(ее /Ыг! 1) (58. 3) Поскольку скорость всех фотонов одинакова и равна с, то 8н ~да 1 с (58 4) (2пс)з еь /!ст/ 1 4 Каждый фотон несет с собой энергию ///», поэтому с помощью (58.4) получается следующее выражение для излучательной способности, которая по определению относится к единичному интервалу частот бен Лез/! е г„бе/=асб/= (2пс)и (е " — 1/ л >/!ст) ) (58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
