Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если (Лз> — среднее число электронов в системе, то по (54.10) пауз (5язаз)тз )3 2то (64. 4) 18! Подставляя (64.4) в (64.2) и (64.3), можно найти (5 ~)5/Зло / (/в зм (о 2)5/ззз 15взто ( )г / 15извзо (64. 5) (5из)~/~аз / <М> )5/з (5яз)~/~аз 10и2то (, )г / 10и2то Таким образом, в случае вырожденного газа давление и объем не зависят от температуры и давление обратно пропорционально объему в степени 5/з По (43.2) теплоемкость при постоянном объеме равна д(/ с = —.
дТ (64. 6) р~~йт при учете выражения для химического потенциала (64.4) находим, полагая (/)/>/)/=и, где п — концентрация: из/з (от "з) р~/,7 2то Если возвести обе части равенства:в степень з/2 и разрешить его относительно концентрации, то получится Условие (64,7) является критерием того, что электронный газ вырожден, Сравнение с соотношением (63.6) показывает, что с точностью до несущественного множителя, близкого к двум, эти неравенства обратны по отношению друг к другу. (64. 7) 182 Если применить эту формулу к вырожденному газу, то, поскольку его внутренняя энергия не зависит от температуры, теплоемкость оказывается равной нулю.
Вместе с тем для невырожденного газа электронов теплоемкость такая же, как и у всякого одноатомного идеального газа, т. е. в соответствии с (43.6) 3 (л/)й 3 /~ м 2 2 ио В металлах имеется большое количество свободных электронов, и с точки зрения классической теории было загадкой, почему экспериментально найденная теплоемкость определяется только ионами решетки. Квантовая статистика просто объясняет это явление, так как электронный газ в металлах оказывается сильно вырожденным (см. задачу к настоящей главе), а тогда его теплоемкость близка к нулю. Рассмотрим теперь, каков критерий вырождения электронного газа.
Из условия Рис. 10.1 $65. Тепвоемкость газов крн учете квантовых эффектов Пример электронного газа показывает, что квантовые эффекты могут оказывать большое влияние на значение теплоемкости. Так, при сильном вырождении теплоемкость электронов оказывается практически равной нулю и лишь в невырожденном электронном газе ее значение совпадает с тем, которое предсказывается классической теорией.
Выше уже говорилось о том, что для объяснения расхождений между классической теорией теплоемкости газов и экспериментом необходимо привлечь квантовые представления. Рассмотрим те изменения, которые при этом получают я, на, может быть, несколько искусственной, но зато очень простой модели, позволяющей выяснить суть дела. Предположим, что имеется жесткая двухатомная молекула, совершающая плоское движение. Поскольку расстояние между атомами строго постоянно, то число степеней свободы в такой модели равно трем.
Две из них соответствуют поступательному движению в плоскости (вдоль осей х и у) н одна — вращению молекулы относительно оси, перпендикулярной плоскости (оси г). По классической теории, внутренняя энергия в этом случае равна 183 В заключение остановимся на виде функции распределения Ферми — Дирака в случае сильного вырождения. Когда р» /гТ, то все возможные состояния электронов целесообразно разбить на две группы. Для одних состояний, для которых энергия много меньше р, среднее число частиц в данном состоянии <п~> практически равно единице. Действительно, если энергия состояния е; меньше р по крайней мере на (2 —:3) йТ, то в формуле Ферми (61.4) экспонента имеет очень малое значение н, следовательно, <и;>==1.
Наоборот, если состояние относится к другой группе, так что энергия иг з; больше р по крайней мере на несколько яТ, то экспонента очень велика и, следовательно, <и;> близко к нулю. Таким образом, функция распределения Ферми имеет в этом случае вид, показанный на рис. 10.1. Она практически тл е равна единице для всех энергий, „и меньших р, и нулю для всех энергий, больших 1х. Имеется относительно узкая область шириной порядка 2йТ, в которой происходит изменение от значений, близких к единице, до значений, близких к нулю. Для состояния с энергией еь равной химическому потенциалу и, среднее число частиц <п;> равно '/г.
Отсюда вытекает, что химический потенциал †э энергия такого состояния, вероятность заполнения которого равна '/м и т.плоемкость с,,= — 'А (лг) =- — — ' й. 2 но Основное отличие квантовой статистики от классической состоит в учете, с одной стороны, принципа неразличимости и принципа Паули (для частиц Ферми), а с другой — дяскретности возмо кных значений энергии, которые принимает система. Обратимся к модели молекулы, совершающей плоское движение. Ее энергия представляет собой кинетическую энергию поступательного движения вдоль осей х и у и вращательного движения относительно оси я.
Пусть тв — масса молекулы, а 1« — ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Как известно из механики, полная кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного относительно осп, проходящей через центр масс: л? м~~ «=«„+Б .= — +— иост о? где через р обозначен импульс молекулы, а через М, — проекция момента количества движения на ось, параллельную осн г и проходящую через центр масс молекулы. .11искретность значений энергии возникает из-за того, что как импульс, так и момент количества движения принимают дискретные значения.
Как было выяснено в 9 49, энергия поступательного движения определяется формулой (49.1), которая в рассматриваемом случае плоской модели может быть записана в виде (65. 3) где а и Ь вЂ” размеры плоского «сосуда» по осям х и у, а т„и т„— произвольные целые числа. Рассмотрим теперь, каковы возможные значения момента количества движения. В квантовой механике устанавливается, что для проекции момента количества движения на некоторую ось г имеет место соотношение М,=тв, (65.4 ) где т — произвольное целое число. Необходимость соотношения 165.4) можно не строго, но наглядно, пояснить следующим образом.
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то при вращении каждый из них описывает окружность диаметра 1, где 1— расстояние между атомами. Поскольку расстояние между атомами неизменно, то во вращательном движении они могут рассматривать- 184 ся как одна частица, обладающая суммарной массой, т. е. массой молекулы. Момент количества движения этой частицы равен Л4т=Рпр (65.
5) где р,р — количество движения во вращательном движении по окружности диаметра й Движение по окружности следует рассматривать как движение в «сосуде», длина которого равна длине окружности п(. Возможные значения вращательного импульса при таком движении в соответствии с формулами (46.7) равны 2ля Р = — т, вр где пг — целое число. Подставляя последнее выражение в (65.5), найдем, что проекция момента импульса определяется формулой (65.4), т. е.
принимает дискретные значения. Ясно, что тогда дискретны и значения вращательной энергии 2 тгяг 21о 2го (65. 6) (65. 7) для статистической суммы подсистемы можем написать Л ю ° ~~с ъч айаг рцмг11р. иг где и; — число молекул в состоянии й Сумма подобного вида уже вычпслялась, и результат зависит от того, каков общий спин молекулы. Если спин полуцелый, то молекула относится к частицам Ферми и в силу принципа Паули имеется всего две возможности: и;=О и по=1.
Для 2;* получается *,, !р —,.шрг> Если суммарный спин целый, то молекула есть частица Бозе и гп= =О, 1,..., оо. Тогда (см. 8 56) <р — е,шм1) — г Для омега-потенциала подсистемы находпч соответственно 2;= — 7г7!пЕ,= — — 'я7!п(1+е" 'л ) 188 Решение задачи об определении статистических свойств рас- сматриваемой модели должно начаться с определения омега-по- тенциала, для чего необходимо вычислить статистическую сумму. Принимая за подсистему все молекулы, находящиеся в состоянии /, характеризуемом определенным набором чисел лг„пгт и, т.
е. об- ладающие энергией 4„-,гаг г 4лгаг г, Лг ог= гпг+ тр+ — тг, 2тоаг " 2тоьг 2г'о для молекул — частиц Ферми и м;= — ИТ!пЛ,=-йТ1п(1 — е(" ")((" )) для молекул — частиц Бозе. Когда концентрация молекул достаточно низкая, так что химический потенциал отрицателен и по абсолютной величине много больше лТ, то в обоих выражениях для омега-потенциала экспоненциальный член под знаком логарифма оказывается малым по сравнению с единицей и тогда приближенно оба они сводятся к одному и тому же выражению йТе() ()((ьт) Легко видеть, что последнее совпадает с выражениел( (56.7), определяющим омега-потенциал системы, вычисленный без учета неразличимости частиц.
Оценим, при каких концентрациях справедливо сделанное выше предположение. Поскольку омега-потенциал в этом приближении одинаков как для бозонов, так и для фермионов, то можно использовать условие невырожденности газа Ферми. Пусть масса атомов в молекуле равна массе атома водорода т = =1,67.10-2' кг, тогда из (63.5) следует, что при температурах, больших 20 К (температура ожижения водорода при нормальном давлении), условие невырожденности выполняется, если концентрация молекул меньше, чем п=1,7.102' м 2.
Такое высокое значение концентрации соответствует конденсированным средам (жид. костям, твердым телам), так что условие невырожденности в газе можно считать выполненным. Для омега-потенциала всей системы получается т)* =~з~~12 = — ИТ ~ч)ч (е — в'иэт) — ИТе)'(<ит) ~ — В)((ит) Суммирование по ) практически сводится к суммированию по л(„ лт, и т, следовательно, ь)2= — ИТет((эт)у е " х(( ~~)~~~ е ад" ~~~)~~е 2 ((эт) Л2 я Л а где по (65.2) и (65.5) 4Я2Э2 а 4Я2Л2 Я2 а= "т' = — ° 2тза2 ' 2таэ2 2/о Для дальнейшего существенно обратить внимание на большую разницу в величине коэффициентов а, р и у. Действительно, момент инерции молекулы равен сумме произведений масс атомов на квадрат их расстояния от оси вращения, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
