Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если температура и объем системы не меняются, а среднее число частиц увеличивается на йМ, то по (54.18) свободная энергия получает приращение Из (54.18) видно, что при постоянных <Лг) и )У дре — = — 5 дТ (54. 20) Задача л главе а 1, Исходя из выражения для омега-потенциала идеального одноатомного классического газа яе = — (ЛТ'>)Э ЕЗ1»эт>»тС, С= 2( — ) найти основные термодинамические характеристики этой системы (вывод формулы для омега-потенциала лриведен в гл.
10). Решение. а) Среднее число частиц находится по (54.10): (дг> = — — = (ят) Р еэГ»~> уС. дп Отсюда, в частности, где я= <М>!У вЂ” концентрация частиц. б) Уравнение состояния находится по (54.13): Р = — — = (ят) е~~ е'">»гт> С. д»т Если исключить р с помощью полученного выше выражения, то Р = лзт. в) Внутренняя энергия подсчитывается по (54.11): да* дЯе 5 и и 3 (Т =а — т — — р — = а* — — Яе+ — а — — ае= — — а* дт др 2 лт )лт 2 или, если использовать выражение для среднего числа частиц, 3 (у= †(м>лт. 2 г) Для энтропии по (54.14) получается 8е — Яе.» ае» вЂ” ае е» тае т 1 2 ят у' т'12 Лт!' а при постоянных <М) и Т вЂ” = — Р.
(54. 21) д»т Эти соотношения вполне аналогичны равенствам (36.12) и (39.1). Если принять во внимание связь Й' и <>у), а также выражение для р, то оь = — л 1ДГ> ~ — + 1и ( )~. Последнее соотношение молгно переписать в виде 3*= Л<дг>~>п>т+ — 1п т+С,1, 3 2 где 3 б С г = 1и С + — 1п и — — — 1и <Аг>, 2 2 для чего достаточно было использовать определение концентрации л= <М>/>т. Окончательное выражение для энтропии полезно сравнить с тем, которое было получено раньше для фиксированного числа частиц в $ 39. Видно, что оба выражения отличаются лишь на постоянную величину. ГЛАВА 9 СТАТИСТИКА БОЗŠ— ЭЙНШТЕЙНА $55. Бозоиы Как уже говорилось в гл.
7, бозонами называются частицы со одином ноль или целым (в единицах й). К ним относятся: 1) мезоны (К и и), спин которых равен нулю; 2) некоторые атомы, у которых спин составляющих их электронов, протонов и нейтронов складывается таким образом, что результирующий спин оказывается целым (примером может служить Нез); 3) фотоны (спин 1); 4) фононы (кванты звуковых волн, спин 1).
Нас в основном будут интересовать фотоны, так как мезоны представляют собой очень короткоживущие частицы (время жизни 10-а с), роль которых в рассматриваемых нами процессах обычно несущественна; атомы же обладают настолько большой массой, что к ним чаще всего можно применять классическую статистику. Впрочем, при очень низких температурах нужно учитывать квантовые эффекты.
Для вещества, находящегося в твердом состоянии, где атомы образуют кристаллическую решетку, задача сводится к изучению колебаний решетки или, другими словами, к изучению свойств звуковых волн или звуковых квантов — фононов. В настоящей главе совокупность бозонов рассматривается как идеальный газ, т. е. предполагается, что между частицами нет взаимодействия. 1ВТ й $6. распределение мезе — Эйнштейна Рассмотрим идеальный бозонный газ со статистической точки зрения. Практически все сведения о его макроскопических свойствах содержатся, как мы видели, в омега-потенциале Й*, и поэтому основной задачей является вычисление этой функции.
Как уже говорилось в предыдущей главе, удобно считать, что рассматриваемая система находится в равновесии с термостатом, температура Т н химический потенциал р которого заданы. Для определения 11* нужно тогда использовать условие нормировки (53.2), которое можно записать в виде ( * ж"Ф+" )l("г1 — Я/(Аг)2' ( 3*и иуда 1=с ч1зг)от=1 где статистическая сумма Ч~~ ( Я„т-Юмт1тГ1 (56.
1) 'м* = — ФТ 1п Л ~, (56. 2) так что (56. 3) Одно состояние подсистемы отличается от другого лишь числом ча- стиц по так что для нумерации состояний подсистемы можно ис- пользовать это число. Статистическая сумма выделенной подсисте- мы имеет вид (56. 4) где суммирование ведется от и;=О, когда в данном состоянии частиц нет, до и;=со. Число частиц Бозе в выбранной подсистеме может быть любым, так как они не подчиняются принципу Паули.
188 Вычисления значительно облегчаются, если специальным образом выбрать систему, а именно считать системой те частицы бозонного газа, которые находятся в определенном состоянии (обладают заданными компонентами импульса). Определив омега-потенциал выделенных частиц (подсистемы), можно затем найти омега-потенциал всего газа как сумму найденных выражений для всех возможных состояний.
Применение такого способа подразумевает использование большого канонического распределения, так как число частиц в данном состоянии не является фиксированным. Выделенная подсистема является системой с переменным числом частиц. Итак, рассмотрим частицы, находящиеся в некотором определенном состоянии 1, и пусть энергия этого состояния равна д'ь Энергия подсистемы зависит от того, сколько частиц находится в рассматриваемом состоянии, и если число их равно пь то 8,,т=л,те Статистическая сумма легко вычисляется, поскольку видно, что она сводится к геометрической прогрессии Ю ( — в(-~-в)((ат) л(=о Таким образом, для ь)(* (индекс ( показывает, что это выражение относится к (-й подсистеме, т.
е. к частицам, находящимся в состоянии () получается (з,.— Я'!и (] е(в 'д((ат1) (56. 5) Омега-потенциал всей системы базанов может быть записан в виде ( э ='Г~~р;=йУ ~, )п(( — е(Я вЂ” ()l(ьт!), (56. 6) ! где суммирование распространяется на все возможные состояния базанов, т. е. на все значения (.
Следует отметить, что прн вычислении статистической суммы (56.4) был использован принцип неразличимости частиц. Лействнтельно, считалось, что имеется всего одно состояние, энергия' которого равна л;еь По классическим представленням, когда частицы считаются разлнчнмымн, таких состояний может быть очень много. Если общее число частиц в системе (подснстеме с термостатом) равно л(, то можно дг! л; ! (дг — л()! способами выбрать л~ частиц нз !У, так чтобы наборы нз лз частиц отличались друг от друга по крайней мере номером одной частицы.
Отсюда вытекает, что прн вычнсленнн статистической суммы в этом случае следует написать Е(= =Х, Ж! е ( — л..+в л Ь(аг) л;! (М вЂ” л;)! л( где учтено, что значение химического потенциала классической системы а' н статнстнческой суммы А может отлнчаться от р н Х~'. Поскольку прн нспользованнн большого канонического распределения предполагается, что в рассматрнваемую подсистему может поступать любое число частиц, то У должно быть бесконечно велико н для вычисления 2~ следует перейти к пределу прн М-ь . Если учесть, что прн Ф» лз М (Дг — 1) ... (М вЂ” л( + 1) М ' л;! ()(à — л() ! л(! л,! то Е(= — е л;! '-У . л( (( — е( ю'у(ат)!л( чь ч 1 ( — «(+м+ат(о(чу(ат) л( у — (е ) л;! л( Так как М бесконечно велико, то написанная сумма может иметь смысл только если химический потенциал !ь! тоже бесконечен, так что в сумме со слагаемым ат!пУ он даст конечное выражение.
Целесообразно поэтому иметь дело с конечной величиной р, равной и= м'+ йт !пМ, 159 и ее называть химическим потенциалом системы. Тогда %'Ъ 1 1 —.,чв)длг) л, Хг = р~ — (е ) ! л;1 лг Последнее выражение есть разложение в ряд Маклорена зкспоненциальной Функции, так что Ег=е е-н,+ау(аг) Для омега-потенциала (-й подсистемы находим ау ( !+ ау гаг) (56.7) а для омега-потенциала всей системы а= ')'и,= — ИТ~е' (56. 8) Выражения (56.5) и (56.7) различны, но если в (56.5) химический потенциал много меньше еь так что ег — И )) ЛТ, то показатель степени у экспоненты оказывается болыпим отрицательным числом: (и — е )((лг) « — !.
В этом случае сама экспонента очень мала и приближенно (в-. одаг> (в-.,Иаг), 1п (1 — е )= — е (56.9) Когда известен омега-потенциал, легко найти самые разные характеристики системы. Найдем, например, среднее число бозонов, находящихся в данном состоянии. По (54.!О) и (56.5) имеем ло' (и —,)Дат! 1 (©г) (~,— «)у(аг> (56. 10) или Формула (56.10), определяющая среднее число бозонов, находящихсявсостояниисэнергией вт, носит название распределения Б о з е — Э й н ш т е й н а. Для внутренней энергии системы всех бозонов найдем по (54.11) и (56.6) ег ~)дат! = У~ ег (~г)' ! 160 Таким образом, омега-потенциал бозонноео газа из-зл принципа неразличимости отличается от омега-потенциала классических частиц, однако при очень малых (больших отрицательных) значениях химического потенциала эта разница становится несущественной.
Для того чтобы омега-потенциал всего бозонного газа совпадал с классическим, химический потенциал р должен быть по крайней мере на несколько лг меньше, чем самый нижний уровень энергии системы, так как тогда приближение (56.9) справедливо для всех состояний бозонов. Это естественный результат, если учесть, что е; — энергия базанов, а <и;> — их среднее число в состоянии й Аналогичным образом можно подсчитать и другие термодинамические величины, характеризующие бозонный газ. Во многих случаях эти величины выражаются через средние значения чисел заполнения и именно этим определяется большое значение распределения Бозе — Эйнштейна. $ $7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
