Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Разность фаз между ними тоже равна и. Таким образом, взаимно гасятся все лучи, а направление !р действительно соответствует минимуму интенсивности. В нижней части рис. 7.1 представлено распределение интенсивности света на экране в зависимости от угла <р. В случае дифракцин на двух щелях распределение интенсивности получается иное, оно не совпадает с суммой интенсивностей, имеющих место для 1 каждой из щелей по отдельности. В опытах Дэвисона и Джермера (1927) впервые было обнаружено, что при отражении от кристаллов электроны тоже Рас. 7.! испытывают дифракцию. Впоследствии в опытах В.
А. Фабриканта, Н. Г. Сушкина и Л. М. Бибермана дифракция наблюдалась при столь малой интенсивности потока электронов, что было исключено взаимодействие между ними и каждый электрон днфрагировал самостоятельно. Явление дифракции электронов находится в резком противоречии с обычным представлением о них как о классических частицах. Это противоречие особенно ярко проявляется при интерпретации дифракционного опыта на двух щелях. То, что картина дифракции на двух щелях отлична от той, которая получается на одной, связано с прохождением волны одновременно через обе щели и в интерференции этих ее двух участков между собой. С точки зрения классических представлений электрон-частица проходит либо через одну, либо через другую щель, и совершенно непонятно, почему на него при прохождении через одну щель влияет присутствие соседней, через которую он не проходил.
Для объяснения этого и целого ряда других эффектов пришлось отказаться от механики классической и перейти к квантовой, или волновой, механике. При учете волновых свойств каждой частице, в частности электрону, сопоставляется некоторая волна. Если ограничиться частицами, находящимися в бесконечно глубоком потенциальном я!цике достаточно большого объема У, то каждой частице можно сопоставить волну де Бройля, имеющую вид Частота в волны и ее волновой вектор к получаются обращением формул (44.1) и (44.3), определяющих корпускулярные свойства волн.
Таким образом, имеем: и= ч/и, (45. 3) к=р/й, (45. 4) где з — энергия частицы, р — ее импульс. Физический смысл Ч'-волны, описывающей поведение частицы, состоит в том, что величина б%'=('У(г, Г)(тс1т (45. 5) равна вероятности обнаружить частицу в объеме дт в окрестности точки с радиус-вектором г в момент времени 1. Для частицы в потенциальном ящике из (45.5) с помощью (45.2) следует, что бЮ=бт/(г, т. е, вероятности пребывания частицы в любой точке одинаковы. Объяснение дифракционного опыта состоит в том, что при падении на щель волна де Бройля свободного электрона испытывает дифракцию и в некоторых направлениях ее интенсивность (т. е. вероятность обнаружить электрон) оказывается максимальной, а в некоторых — минимальной.
Таким образом, частицы обладают волновыми свойствами, для описания которых необходимо, в частности, каждой частице, находящейся в бесконечно глубоком потенциальном ящике большого объема У, сопоставить волну де Бройля (45.2) с частотой и волновым вектором, определенными формулами (45.3) и (45.4). $ 46. Квантование излучения Электромагнитное излучение, находящееся в полости с идеально проводяшими стенками (металлическая полость), существует в ней в форме стоячих волн определенных частот. Частота волны опре- г деляется из условия, что на границе со стенкой должен быть узел электрического поля (электрическое поле равно нулю), так как в противном случае в стенке протекает большой ток и волна быстро затухает из-за у джоулевых потерь.
Ь а Пусть, например, имеется прямо- х угольная металлическая полость со сторонами а, 6 и с, выбранными со- Рис. 7.2 ответственно за направления х, у и в прямоугольной системы координат (рис. 7.2). Если вдоль оси х распространяется бегушая волна с напряженностью Е =Е е — и"~ ~хх1 ье 133 то, отражаясь от стенки полости, она порождает обратную бегущую волну — и «+ь««+м Ез=Ев е Ф где а — угол, характеризующий сдвиг фазы при отражении. Интерференция Е1 и Е, дает стоячую волну Е=Е,+Ез= = Еч е — '"' (е' ' + е ' «" ') = 2Еч е —" е — "М ' соз (й„х+ — "1 2 /' Пусть начало координат выбрано так, что первая стенка, перпендикулярная оси х, расположена при х=О, а вторая в при х=а, тогда должны иметь место следующие условия: Е~ -о=2Еое с ге м/г сов — =О, «-о= з 2 Е), = 2Е, е '"' е ы~ соз / л„а+ —" ) = О. 2/ Из первого находим угол а. Поскольку соз (а/2) =О, то а=а. Второе условие приводит к равенству соф„а+ — 1= — ейп(й„х) = О, 2/ й„= — т„, (46.
1) а где т„— произвольное целое число, т =1, 2, ... Таким образом, возможны ие всякие значения волнового числа й„, а только те, которые удовлетворяют условию (46.1). Используя связь волнового числа с длиной волны, найдем, что возможны лишь длины волн, удовлетворяющие соотношению т — =а « т. е т. е. на длине стороны полости должно укладываться целое число полуволн.
Аналогичным образом, если бегущая волна распространяется вдоль оси у, устанавливается стоячая волна, для которой Ф„= — т„, ь (46. 2) 1З4 где т„тоже принимает произвольные целые значения т„=1, 2, ... То же самое имеет место для волны, направленной вдоль оси а: Ф,= — т, (46. 3) с (т,=1, 2, ...). Наконец, в общем случае, когда волна распространяется в произвольном направлении, характеризуемом волновым вектором к с компонентами (й„, йю й,), устанавливается стоячая волна, для которой компоненты волнового вектора удовлетворяют всем трем условиям (46.1), (46.2) и (46.3). Поскольку длина волны связана с волновым вектором соотношением 2я/А= ~Й(, то для возможных длин волн получаем следующий результат: 1=2 ()/ — "; .) ".).
— "; ) По ряду причин удобнее иметь дело не со стоячими, а с бегущими волнами, для которых, в частности, справедливы важные уравнения (44.1) и (44.3). Хотя каждая стоячая волна состоит из двух бегущих, распространяющихся навстречу друг другу, но амплитуды этих волн равны друг друг, так что их нельзя считать независимыми. Таким образом, число пар бегущих волн равно числу возможных стоячих волн. Было бы удобно считать амплитуды бегущих волн независимыми друг от друга, но тогда число независимых переменных, описывающих электромагнитные колебания в полости, т.
е. амплитуд Еи соответствующих каждому значению вектора К оказывается в два раза больше, чем должно быть. Используют следующий выход из положения. Принимают, что на длине стороны полости укладывается целое число длин волн, а не целое число полуволн, как это в действительности имеет место, т. е. вместо соотношений (46.1), (46.2) и (46.3) используют следующие: /г„=(2п/а) т„, й„=(2п/Ь) т„, й,=(2п/с) т,. (46. 4) Таким образом, число возможных длин волн оказывается в два раза меньше, но зато теперь можно амплитуды соответствующих им бегущих волн считать независимыми, так как при этом сохраняется правильное число независимых переменных.
По существу, в этом методе две стоячие волны с близкими ь, относящиеся к двум значениям й [например, /г,= (и/а) 2т„, Й„=О, Й,=О и й = = (и/а) (2т„+1), Аэ — — О, /г,=О), заменяются двумя бегущими в противоположные стороны волнами с одним и тем же значением к «Р = (2п/а)т„, йэ — — О, я,=О], но с независимыми амплитудами. Если стороны полости много больше, чем длина интересующих нас волн, то такая замена не приведет к большой ошибке. Поскольку в конечном счете нас будет интересовать излучение в неограниченном пространстве, то в окончательных результатах следует перейти к пределу при сторонах а, Ь, с, стремящихся к бесконечности, и тогда переход от стоячих волн к бегущим оказывается справедливым уже не приближенно, а точно. Из сказанного выше ясно, что электромагнитное поле, существующее в полости, может быть представлено в виде суммы, вообще говоря бесконечной, стоячих волн определенных частот. Если полость достаточно велика, то поле сводится к сумме бегущих воли.
Поскольку частота электромагнитных колебаний связана с длиной волны соотношением ы=2пс/ь= (1~с, то при учете (46.4) возможны частоты бегущих волн, которые определяются формулой / ~~ ~з ~з (46. 5) 135 С математической точки зрения приведенный результат является следствием теоремы Фурье и справедлив как в классической, так и в квантовой теории.
Обратимся теперь к тому новому, что вытекает из квантовой механики. Поскольку энергия монохроматической бегущей волны передается конечными порциями — квантами, то следует заключить, что полная энергия волны состоит из некоторого целого числа таких квантов, т. е. ч=2пйчп=Вел, (46. 6) где п=1, 2, ... Строго говоря, (46.6) относится только к той части энергии, которая может быть взята или передана волне, и можно предположить, что есть еще некоторая энергия еы которая связана с волной, но не участвует в обмене. Для простоты в дальнейшем еч не учитывается, так что (46.6) определяет полную энергию. Поскольку энергия отдельной монохроматической волны принимает согласно (46.6) дискретные значения, а все другие значения энергии невозможны, то это означает, что по квантовой теории амплитуда плоской волны не произвольна, а должна быть такой, чтобы удовлетворялось уравнение (46.6).
Числа т„, т„, т„ определяющие волновой вектор й, называют к в а н т о в ы м и ч и с л ам и бегущей волны. Пусть эти числа принимают некоторые конкретные значения т,„, т„„, т,„, например т„=2, тт„— 5, т„=З, тогда им соответствуют частоты в, которые вычисляются по формуле (46.5). Энергия плоской волны с этой частотой е, может иметь значение, вычисляемое по формуле (46.6), при гз аз и некотором значении числа и, которое обозначим и„, т. е. г»= Ве»п» Следовательно, бегущая волна, которой мы приписываем индекс а, задается тремя квантовыми числами т„„, т„„, т, определяющими ее волновой вектор, и числом и„, носящим название числа заполнения, которое задает ее энергию (амплитуду).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
