Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так, ~например, энергия взаимодействия третьего и пятого атомов входит один раз в форме И ! члена зм, а второй раз — в виде аеь Свойства реальной системы зависят от энергии взаимодействия ы, которая, в свою очередь, является достаточно сложной функцией от ь расстояния между атомами гм. Ка- ~Ь~ ! чественно характер этой функцио- Аа нальной связи иллюстрируется рис.
5.4. Смысл графика может быть по- ~ — — — — -1 — 1- яснен следующим образом. На больших расстояниях друг от друга ато- Рис. 5.4 мы практически не взаимодействуют между собой, и энергия ем может быть принята равной нулю. На меньших расстояниях проявляются силы взаимного притяжения, стремящиеся сблизить атомы. Поскольку эти силы совершают положительную работу, то это означает, что взаимная потенциальная энергия атомов уменьшается, т. е. становится отрицательной. На очень малых расстояниях, когда начинают заметным образом перекрываться электронные оболочки атомов, проявляются силы отталкивания, которые очень быстро увеличиваются по мере уменьшения гм, Для сближения атомов теперь нужно приложить значительные внешние силы, которые совершают положительную работу, т.
е. увеличивают энергию апь Для упрощения приводимых ниже вычислений удобно заменить реальную зависимость ем(гм) приближенной, показанной на рис. 5.4 пунктиром. Величина Ь, соответствует минимально возможному расстоянию между атомами н, следовательно, может рассматриваться как диаметр «жесткого» атома. Параметр Аз имеет смысл работы, необходимой для того, чтобы отделить один атом от другого, а величина аа может интерпретироваться как «радиус действия» сил притяжения. Выбор параметров Ьо, Ао и а, в какой-то мере произволен и ограничен лишь требованием, чтобы реальная и аппроксимирующая зависимости были по возможности близки друг к другу.
Для того чтобы распределение Гиббса могло считаться извест- ным, достаточно вычислить свободную энергию г или, что по суще- ству эквивалентно, интеграл состояний У, который при учете (35.1) имеет следующий вид: — ~~ фогт,шм > (чя ~я~~ ам+~ а.) ~~эг) х.=-~е ' др,... с(рх ~ е 'э' ' дг, .бгл.
Интеграл по импульсам совпадает с вычисленным для идеального газа (см. $ 31). Он равен — ~ч ~ гэ.д2т йг) ') е с(р~ ° при=(2ит~йТ)'~*~. Остановимся более подробно на интеграле по координатам. Если газ находится в сосуде объемом Г, то энергии е; так же, как это делалось для идеального газа, можно считать равными нулю внутри сосуда и бесконечными вяе его, так что вне сосуда экспонента равна нулю. Таким образом, интеграл фактически берется только по объему сосуда, и тогда все е; следует считать равными нулю. Интеграл, принимает вид — (п2~ ~м)(яг) У =') ... ) е ' ~ бг,...бган.
(35.3) Пусть объем Р настолько велик (концентрация настолько мала) „ что очень редки события, состоящие в «слипапии» трех атомов и более, тогда (35.3) приближенно можно вычислить следующим образом. Зафиксируем координаты (У вЂ” !)-го атома и проведем интегрирование по координатам последнего с номером М. Когда атом А' находится от остальных атомов на расстоянии, большем радиуса сил притяжения, потенциальная энергия равна нулю, так что экспонента равна единице и в результате интегрирования получается ооъем сосуда за вычетом объема сфер притяжения всех остальных атомов.
Когда же Лг-й атом находится в сфере притяжения, то экспонента равна постоянной величине ехр (А,~йТ) и интегрирование дает объем всех областей, где ем= †,, умноженчый на ехр (Аэ)йТ). Таким образом, пренебрегая пересечением сфер притяжения, после интегрирования по координатам Ш-го атома полу- чаем 110 [чз р~дь,~+ ьчз,,„+чз ") ~ыг> р=~е-~д"г>бр= ~е ' ' ' ' бГ. (352) Первая сумма в показателе степени при экспоненте зависит только от импульсов, а вторая и третья — только от координат, поэтому (35.2) разбивается на два интеграла — по импульсам и по координатам: Уч = ~Ь' — (Лà — 1) — лаоо+е ~олог)(Лà — 1) — л(аоо — 14)~lм — ~=— з з ' (л~ — 1)о )2 (35А) где Ь = — — лао+ ет!( г> — л (ао — Ьо) = 4 з 4 з о 3 з л(аоо Ьо~)(али1»т) ]) 3 3 (35.5) а Ул ~ — аналогичный интеграл, но для (й! — 1)-го атома.
Оценивая его таким же образом, найдем Ач о = ~' ~1+ ~ Ач — о ()ч — 2) о ч' и аналогично для остальных членов, так что М вЂ” ! ч — ! 1п/ч=1п(Ь''ч)+ '> !п(1+ — ~ !п(Уч)+ ~„— . и т о Сумма в последнем равенстве представляет собой сумму й! членов арифметической прогрессии, так что 1и У ч = 1п ( ч"ч) + Дг ( Ж вЂ” 1) 61(2 ч') и, следовательно, учч=Мчч е~ач — ')И('ч). Таким образом, Х=(2лтояТ)оьч' Г ем<я-'>м("! (35.7) и свободная энергия реального газа (вычисленная в предположении, что «объем взаимодействия» Мб, в котором проявляются силы притяжения, много меньше, чем общий объем, занимаемый газом) определяется формулой тч = — 'яТ!п У = — 'яТ !и ((2лтояТ)от«а Ь'.ч еч(ч — ')од'")] или Р= — 'яТИ ~ — 1пТ+!и'ч'+ ' +!и(2лтоя)" ~ (358) гз ( ч — 1) ъ ~ 2 2Г Теперь уже ясно, что для (35.4) справедливо выражение У,ч=- 'ч~1+ ~~1+ ~" ~1+ — ~.
(356) Если прологарифмировать (35.5) и учесть, что малая вероятность «слипания» трех атомов и более имеет место лишь при условии малости отношения (Л/ — 1) б/'ч', то 1п 1+ 11+ 1= 1 Последнее выражение отличается от формулы для свободной энергии идеального одноатомного газа (31.9) членом с отношением 6/)г, Для газа, состоящего из многоатомных молекул, все рассуждения сохраняются и необходимо лишь заменить член ('/,)йТ на (г/2) йТ, где 1 — число степеней свободы молекулы. Задачи к главе » !.
Определить величину флуктуаций указателя весов, которые обладают чувствительностью 10 мм на миллиграмм при Т=ЗОО К. Решен не. Для среднеквадратичного отклонения по теореме о равнораспределении энергии имеем где у — «жесткость» возвращающей системы. Поскольку у весов в равновесии агу=уз то ту 10 — е кг 9,81 и с — з Т= — = ' ге10 зкгс з, 10 — з и т. е. в данном случае )г Г ЕЗ1 = 2 НМ. Флуктуации имеют значение порядка десятка межатомных расстояний. 2. На входе усилителя стоит резонансный контур с емкостью С=1000 пФ.
Какова предельная теоретическая чувствительность такого усилителяр Принять Т=ЗОО К. Р е ш е н и е. По формуле (34.10) имеем ГЛАВА 6 СВЯЗЬ СТАТИСТИКИ С ТЕРМОДИНАМИКОЙ $ Зб. Уравнение состояния Наряду со статическим методом в физике тепловых явлений широко используется термодинамический подход. В нем с помощью ряда эмпирически установленных закономерностей делают выводы о тех илн иных частных свойствах систем. Естественно, что статистический и термодинамический методы тесно связаны между собой.
Цель настоящей главы показать эту связь. Мы начнем с уравнения состояния системы. Уравнением состояния называется зависимость давления Р от объема )г и температуры Т: Р=Р(й, Т). (36.1) 112 Для идеального газа уравнение состояния, носящее название у р а внения Клапейрона — Менделеева, хорошо известно и имеет вид Р= — —, И от (36.2) н где М вЂ” масса идеального газа, р — его молярная масса, И— мольная газовая постоянная. Пользуясь понятием свободной энергии, можно получить общую форму (уравнения состояния, справедливую для любой системы, а не еп только для идеального газа. Предположим, что имеется сосуд, содержащий рассматриваемую систему, например жидкость или неидеальный газ.
Пусть координата одной из стенок сосуда, перпендикулярной оси Ох, имеет значение х. График зависимости потенциальной энергии одной из молекул системы от координаты х имеет вид, пока- л х к,к, ил ванный на рис. 6.1. Действительно, на молекулу 1, находящуюся в точ- Рие, бл ке х; вблизи стенки, действует со стороны последней отталкиваюп;ая сила, равная ) .
Чем ближе молекула подходит к стенке, тем большую работу нужно совершить, чтобы преодолеть отталкивание, и тем выше потенциальная энергия молекулы в поле отталкивающих сил. Обозначим потенциальную энергию молекулы через з . Очевидно, что е зависит только от взаимного расстояния стенки и молекулы, т. е. ап= зп (л л~). (36.3) Из рис. 6.1 видно, что при перемещении молекулы из точки хч в точку х;+бхь когда отталкивающая сила совершает работу дА= у"; дх„ (36.4) потенциальная энергия уменьшается, т. е. изменяется на величину сЬ„= ь„(х,) — з„(л;+ дх,) = — —" дхо (36.5) ех; так что из сравнения (36А) н (36.5) вытекает а~в У~= — —.
дх; Нас будет больше интересовать сила )ь с которой 1-я молекула действует на стенку. Поскольку, по третьему закону Ньютона, ) =~ь то ах; 113 или, учитывая характер зависимости потенциальной энергии от ко- ординат х и х! по (36.3), !!ец !!ь, У !! (36.6) Для общей силы, с которой все молекулы системы действуют на стенку, можно написать И Ф Р=- >м Л= — — в„(х — х,), !!х Д !-! а для среднего значения этой силы (Р) =~~ — — ~ в„(х — х!)~е!" я!!! ~!с(Г. !!х ! ! Последнее выражение эквивалентно следующему: ,) !!х (35.7) Действительно, энергия системы равна М 3= '~~ в„(х — х,)+ '~ — !+Ж„„,+8„„„, (36.8) мо! Давление — это сила, действующая на стенку, отнесенная к единице площади, поэтому ,о < ~> (' з ~ !~ — «и~~! бр 5,) Я!! х (36.
9) Произведение 5дх равно изменению объема системы !)Р при пере- мещении стенки сосуда на дх, что позволяет переписать (36. 9) в виде (36. 10) 1!4 где первое слагаемое представляет собой потенциальную энергию взаимодействия со стенкой, второе в кинетическую энергию молекул, а остальные — соответственно потенциальные энергии взаимодействия молекул между собой д' „ и с полем внешних снл э,,,;,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
