Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 19
Текст из файла (страница 19)
т(т С г — 1~ (ы+Р ((~<п )у(йт)л до (29.7) Обычно его называ от условием нормировки. Таким образом, при наличии внешних силовых полей равновесная функция распределения имеет вид (29.6), где константа определяется условие,н (29.7). Эта функция распределения объединяет в себе закон распределения Максвелла в пространстве импульсов и закон распределения Больцмана в обычном пространстве и поэтому носит название функции распределения Ма ко в елл а — Б о л ь ц м а н а. 5 30. распределение Гиббса как обобщение распределения Максвелла — больцмана В дальнейшем нам придется все ча(це и чаще говорить о частицах, координаты которых заключены в интервале ((т, а компоненты импульса — в интервале ((й.
Для сокращения формулировок и в конечном счете для большей наглядности целесообразно ввести представление о так называемом ф а з о в о м п р о от р а нет в е частицы или и-пространстве (мю-пространстве). Под )(-пространством понимают шестимерное пространство, в котором по трем осям откладь(ваются координаты частицы, а по трех( остальным осям — компоненты ее импульса. Положение точки в шестимерном фазовом пространстве определяется шестью координатами. Поэтому если говорят, что молекула находится в некоторой точке фазового пространства, то это означает, что заданы пространственные координаты этой молекулы, а также компоненты ее импульса. Элемент объема в )(-пространстве, обозначаемый в дальнейшем ((у, задается произведением дифференциалов всех его шесги координат, т.
е. бу=дх дубе((р„((р„брх=бтбй. (30.1) Из сказанного вытекает, что когда частица находится в области обычного пространства ((т, а ее импульс попадает в область импульсного пространства (()1, то это можно выразить коротко, сказав, что она находится в ((у-области )(-пространства. 93 Полученное в предыдущем параграфе распределение Максвелла — Больцмана с точки зрения введенного только что понятия дает среднее число молекул, находящихся в элементе фазового пространства ду, и формулы (29.6), (29.7) можно переписать в виде — И ю~-япзт ))дят) — П бу — [а„(г)+ящза,идат) ( Вместо того чтобы интересоваться средним числом частиц, на* ходящихся в ду, иногда задаются вопросом о том, какова вероятность одной из них оказаться в пределах этого объема.
Соответствующая вероятность ЙВ' равна О~У = б/)///)7 = ~ г(у/Ф. Из написанного выражения видно, что эта вероятность пропорциональна элементу фазового объема ду, т. е. величина в=//Ф имеет смысл плотности вероятности. Если подставить значение функции распределения Максвелла — Больцмана и ввести обозначение С„= Сн/1)/, то 1%'= в(г, р) ду= у бу=С е ' м1'рчр 'нлят) бу л~ или, учитывая, что в=в,(г)+рз/(2п)ь) есть полная энергия молекулы, дй'=то(г, р) ду=С е — 'дьт) бу.
(30.3) Постоянный множитель С определяется условием нормировки для плотности вероятности ~ И)Р=С ( -и )бу=Е (30.4) Таким образом, плотность вероятности Максвелла — Больцмана задается соотно)иениетл (30.3), где постоянная С находится из исловия нормировки (30.4) . Рассмотрим теперь вероятность дЯГ(гь рп гь рт) того, что молекула 1 попадет в элемент объема фазового пространства дуь а молекула 2 — в элемент дум Если взаимодействие между ними пренебрежимо мало, то события независимы и тогда бЮ(г„р,; г„р,)= ЙФ(г„р,)6%'(г,, р,)= =С и — 'иыт) ду,.С е — '*л"т) дуг=С е — и +.,щ'т) ду, буз Можно пойти дальше и определить вероятность для всех /У молекул, составляющих газ.
Действительно, пусть в какой-то момент времени газ находится в таком состоянии, что первая молекула оказалась в элементе фазового объема дуь вторая — в элементе дуь третья — в гауз и т. д. до последней 1)/, находящейся в элементе дун. Какова вероятность такого состояния идеального газа? Я4 Считая по-прежнему, что в идеальном газе движение всех молекул происходит независимо друг от друга (достаточио разреженный газ), нетрудно убедиться, что общая вероятность д(ч'(г,, р,; г„р,;"; гн рн)= ч * у~ уг =С' е "+ *'"~'и" т'д ду ... оу . Сумма энергий всех молекул есть полная энергия газа, т.
е. гг+гг+ ° ° +ем=8(гг РБ гг Рг' ° ° ° ' гн1 Рн). В дальнейшем будем писать просто д', не выписывая всех аргументов этой функции, но всегда подразумевая, что полная энергия является функцией координат и импульсов всех )г' молекул, входящих в состав рассматриваемой системы. Удобно такгке обобщить понятие фазового пространства и рассматривать не р-пространство, а полное ф аз о в ое яр остра нс т в о всей системы (à — гамма-пространство). Под фазовым пространством системы, состоящей из гЧ частиц, понимается бгч'-мерное пространство, по осям которого откладываются ЗМ координат и 3)У проекций илгпульсов всех составляющих систему частиц. Точка в фазовом пространстве определяет координаты и импульсы. всех частиц и поэтому полностью определяет состояние системы.
Элемент объема полного фазового пространства системы, обозначаемый дГ, равен бГ= дх,бу,пхгбр г брел бр,1 ... Йхмдундхндрлнбрдндр н = = Йтг д2г с(тг (Иг . ° ° <Йн б(гн = дуг бУг ° ° б Ум Введем еще новое обозначение для постоянного множителя Сн: С~=е"дгт>, т. е., другими словами, определим величину Р соотношением Р = йТ (п (С ч,). Теперь общая вероятность может быть записана в следующей форме, носящей название распределения Гиббса: бФ'(г,, р,; ...; гн, рн)=е'" и"'"т1бГ. (30.5) Следует подчеркнуть, что в отличие от распределения Максвелла — Больцмана, говорящего о вероятности данного состояния для одной молекулы идеального газа, распределение Гиббса определяет вероятность состояния всего газа в целом, т. е.
всех его М молекул. Внешне простая формула (30.5) скрывает в себе столь богатое и глубокое содержание, что ее по праву можно назвать центральным соотношением всей статистической физики равновесных состояний. Дело в том, что хотя нами эта формула была получена 95 для идеального газа, но на самом деле, как было показано Гиббсом, она справедлива для любой системы. При построении теории каждого раздела физики обычно удобно выбрать какие-то немногие основные положения в качестве базы, позволяющей объяснить все относящиеся к этому разделу явления.
Правильность основных положений устанавливается либо непосредственной экспериментальной проверкой, либо косвенно по соответствию всех выводов, полученных на их основе, с опытом. Так, например, в механике роль основных положений играют за. коны Ньютона.
В электродинамике за основные принимают группу уравнений, носящих название уравнений Максвелла. Аналогичным образом в статистической физике равновесных состояний за основное положение может быть принято распределение Гиббса, и тогда все свойства систем, находящихся в равновесии, получаются как следствие справедливости этого распределения. Распределение Гиббса, определяющее вероятность того, что равновесная система находится в одном из состояний, принадлежащих элементу объема фазового пространства системы йГ, дается формулой (30.5), где д' — энергия системсч в состоянии из бГ, представленная как функция координат и импульсов всех частиц, составляющих систему, Т вЂ” температура, Р— некоторая величина, носящая название свободной энергии и определяемая условием нормировки (30.6): ~ 61р'=~ <е ~>~<"т> йГ=е"л"т~ ) е ~д"т' йГ=1 130.6) нли 130.7) Р= — йТ!п У, где †яды)бГ 130.8) — величина, называемая интегралом состояний.
$31. Пример одноатомного идеального газа В качестве первого примера на применение распределения Гиббса рассмотрим вновь одноатомный идеальный газ. Хотя вданном случае результат уже известен, ио наша цель — показать, как распределение Гиббса применяется к конкретной задаче, и поэтому мы не будем принимать во внимание все результаты, полученные ранее, а используем только распределение Гиббса и сведения об устройстве рассматриваемой системы. Если молекулы идеального газа общим числом У находятся в сосуде, нз которого они ие могут выйти, то можно считать, что они находятся в поле внешних сил, потенциальная энергия которых образует ящик бесконечной глубины.
Действительно, потенциальная энергия молекулы внутри сосуда постоянна и ее можно считать равной нулю; кроме того, чтобы извлечь молекулу, нужно затра- 96 тить бесконечно большую работу, так что потенциальная энергия вне сосуда практически бесконечна. При заданной температуре Т вероятность какого-либо состояния газа из числа описываемых точками элемента фазового объема дГ определяется распределением Гиббса (30.5).
Применить эту формулу к идеальному газу — это значит указать значение величин Е и т для этого конкретного случая. В идеальном газе молекулы не взаимодействуют между собой, поэтому полная энергия д' равна сумме энергий отдельных молекул: 8= ~~~~~ еп (31.1) Энергия молекулы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий, т. е. (31.2) 2то где потенциальная энергия е; есть такая функция координат 1-й молекулы, которая равна нулю внутри сосуда (ящика) и бесконечна вне его.
Таким образом, (31.3) Остается найти значение свободной энергии Р, и тогда все величины, определяющие распределение Гиббса для данной конкретной задачи, будут известны. Поскольку свободная энергия просто выражается через интеграл состояний Е, то все сводится к вычислению последнего. Как в этой, так и во всех других задачах статистической физики именно здесь сосредоточены основные трудности. По определению интеграла состояний (30.8) можно, используя свойство идеального газа, выражаемое формулой (31.1), написать —,дет> Л=) е ~п"~'дГ =) ... ) е ' ' ду, ... бутт, (31.4) что и позволяет довести вычисления до конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
