Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Существует, однако, ряд случаев, в которых уравнение достаточно просто решается приближенно. Одним из них является тот, в котором потенциал у мал по сравнению с величиной йТ(е. При комнатной температуре сформулированное условие выполняется, если сумма ~р,+(7(25 мВ.
В этом случае, пользуясь малостью аргумента, целесообразно разложить экспоненциальную функцию в ряд и отставить первые два члена ряда, т. е. записать е~д"г> 1+ — ~. дт ' Уравнение (28.6) становится в этом приближении линейным: ~7т= т (28.7) .ч,ьт а поэтому может быть решено известными из математики методами. Для выяснения некоторых характерных черт явления, описываемого уравнением (28.7), рассмотрим более детально случай, когда задача сводится к одномерной, т.
е. когда затвор и полупроводник имеют бесконечную плоскую поверхность. Распределение потенциала зависит лишь от одной координаты х, перпендикулярной плоскости контакта. Уравнение (28.7) записывается в виде (28.8) выьт так как производные по у и г обращаются в ноль. Для дальнейшего удобно ввести обозначение Ь = ~/ аазйТ)(в'а,), (28.9) где параметр Ь имеет размерность длины и носит название д л и н ы Деба я. Используя длину Дебая, уравнение (28.8) записываем в виде 88 д2в э зх2 Р (28.10) Общее решение имеет вид у=С, е — "гг+Сзе'(', (28.
11) где С, и Сз — постоянные числа, значения которых определяются с помощью граничных условий. На достаточно большом удалении от затвора (х-э-со) полупроводник не возмущен и потенциал равен нулю. Поскольку при х-г-со первое слагаемое в (28.11) стремится к нулю, а второе — к бесконечности, то необходимо положить (коорднната контакта х=О) С,=((У+ р,), С,=о. Таким образом, решение уравнения (28.11), удовлетворяющее граничным условиям, имеет внд в=(и+ у„) е- д. (28.12) Характерно, что потенциал экспоненциально убывает по мере удаления от затвора, так что на расстоянии, равном дебаевской длине, он уменьшается в е — 2,7 раза. Качественно такое же распределение встречается н в тех случаях, когда приложенный потенциал не мал по сравнению с зТ(е.
Действительно, если измерять потенциал в единицах йТ(е, т. е. ввести безразмерный потенциал ф= =егр~(йТ),то уравнение самосогласованного поля приведется к виду с7з,р= г ггг (еФ 1), или С7з(,= 1 (е4 — 1), (28.13) зг'*о зг т. е. в качестве параметра, характеризующего распределение потек. циала, снова входит дебаевская длина. Хотя закон изменения потенциала теперь получается другой (не экспоненциальный), но из физических соображений ясно, что и в этом случае тоже происходит экраннрование подвижными зарядами, причем на расстоянии порядка длины Дебая. В ~ 22 прн обсуждении зондовых характеристик оговаривалось, что толщина слоя объемного заряда около зонда должна быть мала, чтобы электроны могли проходить его без столкновений. Из изложенного выше следует, что толщина этого слоя имеет порядок дебаевской длины, так что ее легко оценить, если известны концентрация заряженных частиц и температура газа (см.
задачу 3 к настоящей главе). Отметим, что выражение для электронного тока на зонд, выведенное ранее, можно получить, рассуждая иначе и используя распределение Больцмана. В соответствии с больцмановским распределением концентрация электронов непосредственно около зонда равна и =лежи — и,пмг> Те из них, которые движутся по направлению к зонду, попадут на него, так что плотность тока 4 4 89 Этот пример иллюстрирует ту тесную связь, которая имеется между распределениями Максвелла и Больцмана. В заключение необходимо сделать несколько замечаний относительно применимости метода самосогласованного поля. Хотя уравнение (28.13) может использоваться прн гораздо больших потенциалах, чем (28.8), но следует иметь в виду, что имеется другое ограничение на его применимость.
Используя понятие плотности заряда в уравнении Пуассона, мы подразумеваем, что либо в объемах, в которых потенциал еще относительно мало меняется, содержится много заряженных частиц, либо, если это условие нарушено, нужно брать среднее по времени значение плотности заряда. В первом случае, оценивая объем величиной Ь', должны на- писать пзз ~~ 1 Если п< пставить сюда значение дебаевской длины из (28.9), то получим, что уравнение применимо при И (( (ввокТ1Ез)з (28.14) Так, например, для комнатной температуры (Т=ЗОО К) в полупроводнике с е=!0 это дает п((10" см — '. Во втором случае, когда условие (28.14) нарушено, под ~р и п можно понимать средние по времени величины. В слабых полях по (28.5) р= ем, (1 — еетпет1 ) — егл, — ~ ут (28.15) Задачи и гневе 4 1.
На уровне Земли атл~осфера состоит из 78% азота и 227ь кислорода (по объему) Каково процентное содержание этих газов на высоте, равной эффективной толщине атмосферы, если можно считать, что атмосфера находится в равновесии при температуре Т=ЗОО К? 90 т. е. плотность заряда линейно связана с потенциалом и, следовательно, средняя по времени концентрация определяется через средний по времени потенциал тем же условием (28.15). Поэтому уравнение (28.8) можно считать справедливым для средних значений потенциала. В сильных же полях, поскольку среднее значение от экспоненты при нарушении условия (28.14) не совпадает с ее значением, вычисленным для среднего потенциала: ( Ее гдэт1 ) ~ Еезт>дэт> нельзя пользоваться соотношением (28.5), так что уравнение (28.13) не может применяться к вычислению среднего по времени потенциала. Близкие уравнения и выводы можно получить и для газов.
Некоторое отличие связано с тем, что в газах подвижны как отрицательные заряды (электроны), так и положительные (ионы). Мы, однако, на этом останавливаться не будем. Решение. Эффективная толщина атмосферы по (26.6) при малярной массе воздуха рэ=0,029 кг/моль равна КТ 8,3 300. 10з Н фф= = м=8,75 1Оз м=8,75 км.
>ьэУ 29.9,81 Концентрация на высоте Иэе по (263) ло —— по (0) е эоэуггэфф/(ят> Отсюда процентное содержание кислорода ин = п„(О)е эи янэфф/(ят 100ло (0) ло ло +ли л, (0)+им (0)е (ам "о*>е>гэффчит> 100ло (0) ли,(0) (ри,— ро,) уНэфф '> ~1+ 20м, п (0) + и „(0) >( по (0)+ и (0) КТ где использовано, что РО, >эн, РО„ РМ, руНэфф ИО, Ри, 4 КТ р, КТ и, 29 а Оэфф = — (( 1 ° Процентное содержание азота рн — — 100 — ро — — 80% э 2, В опыте Перрена используются частицы с плотностью р=2,6 г см э и диаметром 2г=0,1 мкм, взвешенные в воде. Каково отношение концентрации частиц на дне и на расстоянии 1 мм от дна при температуре Т= =300 К? Решен не.
Эффективная масса частицы 4 ш = "га(р — ра)=8.10 — з г. 3 Отношение концентраций равно е ггндьт> = ез = 7г5, ь =)/ээдаТ/(езп) =)тэсаТ/(езп) = 7 мкм (диэлектрическая проницаемость в=1, заряд электрона — е=!,б 1Очш Кл, еэ =8,85 1О " Ф/и, н=1,38 1Π— 'э Дж/К). 3. В плазме концентрация электронов и ионов равна и= 10'э см ', Температура ионов и нейтральных молекул 300 К.
Оцените порядок толщины слоя объел~ного заряда около зонда. Р е ш е и и е. По порядку величины толщина слоя объемного заряда равна длине Дебая. В данном случае ГЛАВА 5 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА $29.Функцня распределения Максвелла — Бел ьцмана В 9 20 было выяснено, что при отсутствии внешних полей функция распределения 1, которая определяет среднее число частиц ())У, находящихся в объеме пространства импульсов ()з) и объеме обычного пространства ((т, дается выражением (20.3), которое для удобства ссылок мы перепишем еще раз: бти'= г бгбЯ= е тт)(з'" лт) бЯбт. (29.1) (2кто))Т)зтз Выясним теперь, как выглядит равновесная функция распределения при наличии силовых полей.
В этом случае распределение частиц в пространстве неоднородно и число частиц, находящихся в элементе объема пространства ((т, равно п(г) бс, (29.2) где п(г) — концентрация. Распределение по импульсам по-прежнему остается максвелловским, так что вероятность ()ш того, что импульс частицы заключен в ()з), определяется по (17.1) формулой б)р' е — тт )(зттзг) б() (29.3) (2ктоЬТ)зтз Число молекул дУ, находящихся в объеме бт и обладающих импульсом из ((з), может быть найдено умножением (29.2) на вероятность соответствующего значения импульса (29.3), т. е. ()Ю = и (г) ()т а~ = (г) е-гп(з ") ((т бй. (29 4) (2ктоат)з(з Последнее выражение отличается от (29.1) только тем, что теперь концентрация не является постоянным числом, а меняется от точки к точке.
Поскольку зависимость концентрации от координаты в равновесном случае определяется распределением Вольцмана (25.13), то соотношение (29.4) можно переписать в виде б лт т 1 ги(гд((лт) ) —.и(г)l(лг) -ттт((зт,лг) и игл тлтт Л(тГ )Е и е ° е,т (2 лтоЬТ)з(з (29.5) где п(г)) — концентрация молекул в некоторой точке г), а з,(г))— их потенциальная энергия в этой же точке.
Другая форма соотношения получится, если множитель, не зависящий от текущих координат г и импульса р, обозначить Сот н объединить экспоненциальные множители: ( и (г)+тт (( ит )Г(зг) ((тб(2 (29.6) 92 Постоянный коэффициент Сн равен и (г ) е поч)/(йт) (2нысят)Л' Для его вычисления необходимо знать концентрацию молекул хотя бы в одной точке пространства. Существует другой способ определения этой величины, который часто более удобен. Если известно полное число частиц ()), находящихся в рассматриваемой системе, то, поскольку интеграл от функции распределения по всем значениям импульса и координат должен быть равен полному числу частиц, получаем уравнение, определяющее Сн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
