Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. зависит от работы выхода и концентрации электронов в обоих проводниках. При равновесной контактной разности потенциалов ток термоэлектронной эмиссии из одного проводника в другой равен по величине обратному току. В этом легко убедиться прямыми выччслениями, если использовать равенство (27.3). Действительно, плогность тока из первого проводника во второй по (21.15) равна Каково же значение контактной разности потенциалов? Работа выхода имеет значения, лежащие в пределах 0,5 — 4 эВ, а концентрация электронов может меняться очень сильно. Так, например, в очень чистом кремнии при комнатной температуре концентрация электронов имеет значение, близкое к 10" см — '.
С другой стороны, используется и кремний с высокой концентрацией электронов, лежащей в диапазоне 10м — 10ю см-'. Пусть в контакт приведены два полупроводника разной химической природы, но с примерно равной концентрацией электронов, тогда, рассчитывая контактную разность уп потенциалов по формуле (27.3), легко убе- 1 диться, что основную роль играет второй член. Поскольку работа выхода имеет зна4л г чение порядка нескольких электронвольт, то такую величину обычно имеет и разность работ выхода. После дежния на заряд электрона находим, что вклад второго слагаемого в контактную разность потенциалов Рис. 4.8 оказывается величиной порядка одного или нескольких вольт.
В первом слагаемом при комнатной температуре (Т=300 К) яТ=25 10 — ' эВ, а следовательно, яТ1е=25 мВ. Если концентрация в контактирующих полупроводниках отличается не более чем на один-два порядка, то значение множителя 1п(п,/пе) не превышает 2,3 — 4,6. Таким образом, первое слагаемое порядка 100 мВ, т.
е. на порядок меньше, чем второе. Совсем другое положение имеет место при контакте двух кусков полупроводника одной и той же химической природы, но обладающих сильно отличающейся концентрацией электронов, например двух образцов кремния с концентрацией электронов 10'" и 10" см-'. Работа выхода из обоих образцов одинакова, и поэтому второе слагаемое обращается в ноль. Отношение концентрации электронов велико (10з), и поэтому логарифмический множитель не мал: 1п(пс(п,)=1п(10з)=8!п10 8 2,3 18. Умножая на йТ)е=25 мВ, получим контактную разность потенцизлов, равяую 0,45 В. С помощью формулы (27.3) просто получается закон Воль. та, утверждающий, что в замкнутой цепи, состоящей из некоторого количества разнородных полупроводников, сумма контактных разностей потенциалов равна нулю. На рис.
4.8 изображена цепь, состоящая из трех различных проводников, включенных последовательно. Для удобства дальнейших рассуждений установим направление обхода контура, например по часовой стрелке. Пусть фм обозначает контактную разность потенциалов на границе перво1о и второго проводников, ~р, — на границе второго и третьего и Чнм— на границе третьего и первого.
По (27.3) можно написать: 84 9зз= — 1" ~ — ) (27.6) Сумму контактных разностей потенциалов в замкнутой цепи полу- чаем сложением написанных уравнений: тзз+ 'Рзз+ тзз = — ~1п ( — ') + 1и ( — ') + 1и ~ — ')1— — — (А — Аз+ Аз — Аз+ Аз — Аз). 1 е Видно, что член, содержащий работы выхода, обращается в ноль. Если цепь находится в равновесии, так что температура всех проводников одинакова, то обращается в ноль и сумма остальных слагаемых: (п ~ лз ) + 1, ~ лз ) + 1п ( лз ) 1 ~ лзлзлз ) 1 ) О Таким образом, сумма контактных разностей потенциалов действи- тельно равна нулю и очевидно, что это справедливо для цепи, со- стоящей из любого числа разнородных проводников.
$28. Метод самосогпасоаанного поля В некоторых задачах применение формулы Больцмана затруднено тем, что потенциальная энергия, определяющая распределение частиц в пространстве, зависит от их положения. Типичным примером такого случая является распределение заряженных частиц (электронов и ионов) в газовом разряде. То же самое относится к распределению электронов в приконтактной области двух проводников, где, как было выяснено в предыдущем параграфе, контактная разность потенциалов зависит от концентрации электронов. Подобное затруднение возникает тогда, когда, строго говоря, пытаются выйти за рамки применимости закона распределения Больцмана и помимо влияния внешних силовых полей, для когорых распределение было выведено, учитывают поля, создаваемые самими частицами, т.
е. фактически учитывают силы взаимодействия между ними. Метод учета сил взаимодействия с помощью распределения Больцмана, который излагается в настоящем параграфе, носит название метода самосогласован ного поля и чаще всего применяется к заряженным частицам, поскольку для них лучше всего выполняются условия„при которых он справедлив.
Чтобы более наглядно пояснить суть метода самосогласованного поля, целесообразно обратиться к конкретной задаче. В полу- чивших распространение МОП-транзисторах один из электродов, называемый затвором, устроен следующим образом. На полупроводник П (рис. 4.9) наносится тонкий слой окисной пленки О, являющейся хорошим изолятором, а на нее напыляется металлический электрод М. Потенциал затвора относительно полупроводника можно менять с помощью внешнего источника, причем из-за наличия окисной пленки ток через систему практически не идет. Пусть, например, мы имеем дело с полупроводником, в котором концентрация свободных электронов равна и, (так называемый полупроводник п-типа).
Заряд электронов в нем скомпенсирован положительным зарядом, связанным с кристаллической решеткой и распределенным равномерно. Если для упрощения задачи не касаться сложных явлений, код торые могут иметь место на границе по- лупроводника с окислом и которые обусРис. 49 ловлены структурой этой границы, то следует считать, что концентрация электронов на границе окисел — полупроводник такая же, какая была бы на границе металл — полупроводник при отсутствии окисной пленки. Предположим, что работа выхода из металла меньше, а концентрация электронов в нем выше, чем в полупроводнике, тогда при отсутствии внешнего напряжения слой полупроводника, прилежащий к контакту, обогащается электронами и заряжается отрицательно, а соответствующий приконтактный слой металла — положительно.
Следует при этом иметь в виду, что изменение концентрации электронов в приконтактной области происходит путем обмена через внешнюю цепь, а не через слой окисла. Из-за большой концентрации электронов в металле перераспределение заряда в нем мало сказывается на величине концентрации, поэтому в полупроводнике на границе с окисной пленкой ее можно считать равной концентрации электронов в металле пь Таким образом, в полупроводнике имеется слой объемного заряда и концентрация электронов в нем плавно изменяется от той, которая устанавливается на границе, до концентрации, имеющей место в глубине полупроводника. За счет заряда этого слоя образуется разность потенциалов, препятствующая дальнейшему перераспределению электронов. Если между затвором н полупроводником приложено еще н внешнее напряжение К то слой объемного заряда создает такую разность потенциалов, которая достаточна для компенсации суммы ~„+ У в контактной разности потенциалов и приложенного внешнего напряжения.
Очень существенна полярность приложенного напряжения, так как в данном примере при плюсе на металле и минусе на полупроводнике она складывается с контактной разностью потенциалов, а при обратной поля ности — вычитается. Перейдем теперь к выяснению ширины области пространственного заряда и распределения электронов в ней.
Поскольку тока через систему нет, то распределение электронов равновесное, т. е. определяется формулой Больцмана п=п еенмт2 (28.1) где и, — концентрация в глубине полупроводника, причем потенциал этой области принят за ноль. Как уже отмечалось, написанная формула не дает решения задачи, поскольку потенциал остается неизвестной функцией координат. Для его определения необходимо привлечь законы электростатики (предполагается, что приложенное напряжение постоянно или меняется достаточно медленно). В электростатике выводится уравнение, связывающее потенциал с объемной плотностью заряда р. Это уравнение, которое носит название ура вн ения Пуассона, имеет вид С72 ~Р— —— Р 2 ее (28.2) где е — диэлектрическая проницаемость полупроводника, ее †электрическая постоянная, а символ ч'<р обозначает д2т д2„ д2т ~'р= — + — + —. дх2 ду2 дг2 (28.3) Плотность заряда р связана с концентрацией электронов и и положительным зарядом решетки соотношением р= — ел+ еп„ (28.4) так как — еп — это отрицательный заряд электронов, приходящийся на единицу объема, а еп| — соответствующий положительный заряд кристаллической решетки.
Величина и, — постоянная, так как заряд решетки распределен в ней однородно и не перераспределяется под действием внешнего поля. В (28.4) можно подставить концентрацию из (28.1), тогда по- лучим р= — еп (еемыт1 1) (28.5) С помощью последнего выражения уравнение Пуассона представляется в форме зр ~"~ (еттп2т) 1) ееь (28.6) Таким образом, если потенциал электрического поля зависит от электрических зарядов, распределение которых определяется создавасмылг ими полем, то для нахождения потенциала необходимо решить уравнение самосогласованного поля типа (28.6), а затем с помощью найденного потенциала по закону Больцмана найти концентрацию подвиэкных заряженных частиц (электронов).
В уравнение (28.6) не входит внешнее поле, однако решение существенно от него зависит. Дело в том, что для однозначного определения решения в некоторой области пространства необходимо, чтобы были известны значения потенциала нли напряженности электрического поля на границе этой области, т. е. заданы так называемые г р а н и ч н ы е у с л о в и я. Если в рассматриваемом примере с помощью внешнего источника э. д. с. между затвором и полупроводником установлена разность потенциалов (7, то граничные условия можно взять в следующем виде.
В невозмущенной (т. е. достаточно далеко отстоящей от затвора) части полупроводника потенциал равен нулю, а в части полупроводника, примыкающей к окисному слою, потенциал практически совпадает с суммой р,+ (7 (предполагается, что окисный слой достаточно тонок и разностью потенциалов на нем можно пренебречь). Уравнение самосогласованиого поля нелинейно (искомая величина входит в аргумент экспоненциальной функции), и поэтому его решение представляет известные трудности, которые преодолеваются, как правило, применением вычислительных машин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
