Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1 хб( — х*) )Тк Интегрированием по частям получим 2 х д(е — х*) = — — х е-х' ~ + )Тй ра/К2тахт 2 + ( е х бх РЯ е — Р2дь .ят2+ )Тя 2 ф' хт У2тЯЯТ РаФ2т ЯТ (19.10) где Ф вЂ” функция ошибок, определенная соотношением (13.1). Если аргумент функции ошибок много больше единицы (3 илн более), то, как следует из (13.4), можно оставить только первое слагаемое, т. е. 2 р, — р~~(2таЯТ> )х н У 2т~йТ (19.11) $20. Функция распредепения (20.1) 59 Знание плотности вероятности Максвелла позволяет находить среднее число частиц, обладающих определеннымн значениями импульса, скорости или энергии. Пусть, например, в сосуде вы бран элемент объема дт и нас интересует, каково среднее число находящихся в нем молекул с импульсами из элемента объема в импульсном пространстве ой.
Если концентрация молекул 22, то среднее число их в объеме дт есть пдт. Поскольку вероятность того, что импульс молекулы принадлежит ой, равна тарой, то среднее число молекул из объема дт, обладающих данным значением импульса, получается умножением их числа на соответствующую вероятность, т. е. бЛР= — ибт тв с12. В статистике функцией распределения принято называть такую функцию 1, которая, будучи умножена на элемент объема 6т в обычном пространстве (6т=йхйуйх) и на элемент объема 6й в пространстве импульсов (6(2=6р 6р„йр,), дает среднее число частиц, находящихся в 6т и обладающих импульсом из 6И, т. е. 6М= у'6т62. (20.2) Из сравнения (20.1) и (20.2) видно, что для идеального газа, находящегося в сосуде при отсутствии внешних силовых полей, функция распределения равна произведению концентрации на плотность вероятности значений импульсов: ~=пир.
Таким обра. зом, в случае максвелловского распределения 6М= у'6т 62= " е ' 6т 6Я. (20 3) (2ктюьт)зп $21. Поток частиц. Термоэлектроннея эмиссия Для решения целого ряда практических и теоретических вопросов важно уметь рассчитывать так называемую плотность потока ча стиц. Поясним смысл этой величины. Рассмотрим сосуд, содержащий идеальный газ, в боковой стенке которого проделано малое отверстие площади 6з (рис.
3.6). Через отверстие про- Рвс. 3.6 Рнс. 3.7 исходит утечка газа. Потоком частиц 6У называют число частиц, пересекающих зту площадку, т. е. вытекающих из сосуда, в единицу времени. Под плотностью потока / понимают отношение потока к площади или поток через единичную площадку: ]=И/6з. Конечно, не обязательно рассматривать истечение газа из сосуда. Величину потока можно относить к произвольной элементарной площадке 6з, мысленно выбранной внутри сосуда.
На рис. 3.6 показана такая площадка, и вектором и', имеющим единичную длину, отмечено направление нормали к ней. Обычно говорят о векторе элементарной площадки 6з, подразумевая. что модуль это* го вектора равен 6з, а направление совпадает с нормалью к пло щадке. Предположим вначале, что вместо беспорядочного хаотического движения частицы идеального газа совершают упорядоченное движение со скорост ю ч (нмпульсом р=точ). Выберем (рнс. 3.7, а) элементарн~ ю площадку, перпендикулярную направлению движения частит, ~ак, чтобы вектор бз был параллелен ч, и рассчитаем поток б~', За время Ж частицы проходят путь, равный И=ой. Поэтоьт, если построить прямоугольный цилиндр, опирающийся на осэ..ванне дз и имеющий высоту 61, то за сИ все содержащиеся в н.
ч частицы пересекут основание. Если и — концентрация частиц э о сконечно малом цилиндре, объем которого равен с(т=бз 01=да п Ф, то за врем~ 4( через основание пройдет адт=побзб( частиц. Отсюда по определению потока следует лоч ду= — =из дз, п~ (21.1) а для плотности потока ~И /= — =по. д5 (21.2) Посмотрим, как изменятся формулы (21.1) и (21.2), если нормаль к площадке не совпадает с направлением движения частиц. На рис. 3.7, б показана площадка йз, у которой нормаль составляет угол а с направлением скорости ч. Проекция площадки на плоскость, перпендикулярную направлению движения, как это видно из рнс.
3.7, б, равна дз =дзсоз а. Число частиц, пересекающих дз и дз„за время Ж, одно и то же, так что, используя полученный выше результат, для потока ЙУ через Йз можно написать д У = и п да„= л и соз а да. (21.3) В векторном виде последнее уравнение выглядит следующим образом: И=пэмз. (21.4) э=а ч. (21.5) Тогда соотношение (21.4) записывается в виде И=1дз. (21.6) Формулу (21.3), непосредственно вытекающую из (21.5) и (21.6), И=1б з=пч дз =ап сон а ба где учтено, что скалярное произведение векторов ч и дз равно чдз=обзсоз а. Введем теперь понятие о векторе плотности п о т о к а как о векторе, модуль которого равен плотности потока частиц, а направление совпадает с направлением нх движения, т.
е. можно трактовать несколько иначе, чем это делалось выше. Если обозначить через )„проекцию потока на направление нормали к площадке бэ, то, поскольку 1„=)соз со=посев а, получаем ду = /„бе = пс соз а с1з = пп„бэ, где о„— проекция скорости движения частиц на нормаль к бэ Величина 1'„называется нормальной составляющей потока к площадке йэ. Перейдем теперь к случаю идеального газа, в котором имеются частицы, движущиеся во всевозможных направлениях.
Определение плотности потока может быть сведено к только что изложенному, если ввести понятие об элементарной плотности потока 4. Рассмотрим только те частицы газа, импульс которых принадлежит элементу пространства импульсов Ю, т, е. частицы с практически одним и тем же значением импульса (скорости). Число таких частиц в единице объема выражается через функцию распределения следующим образом: ддГ=7 д2=птвр 62. Тогда плотность их потока по (21.5) определится соотношением д3=(птвр <И) ч= (р~то) птв оы. (21.7) Таким образом, элементарной плотностью потока б) частиц, обладающих импульсом р, называется вектор, направление которого совпадает с р, а величина равна числу частиц с импульсом из бо1, пересекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную направлению их движения, т. е.
вектор, определяемый формулой (2!.7). В случае, когда распределение по импульсам оказывается максвелловским, для элементарной плотности потока получаем б1= — ' с — РПомоот) бо мо (2ктоОТ)з!о (21.8у Поток частиц с импульсом из с(о1 через некоторую произволь- ную плошадку бз по (21.6) равен пм ея пмр ея б1дз= р р бз = " р„бэ, ыо то 62 где р„— составляющая импульса, нормальная к площадке. Соотношение (21.8) позволяет рассчитывать плотность потока частиц в различных конкретных случаях.
Рассмотрим, например, электронный газ в полупроводнике. В первом приближении можно не учитывать взаимодействие электронов между собой и считать их идеальным газом, который в равновесном состоянии подчиняется распределению Максвелла. Очевидно, что результирующая плотность потока равна сумме элементарных плотностей потоков (21.8) для всех возможных значений импульса, т.
е. где интеграл берется по всему импульсному пространству. Выберем произвольную площадку и направим ось з декартовой системы координат перпендикулярно этой площадке. Пусть она обладает единичной площадью, тогда з-компонента плотности потока численно равна числу частиц, пересекающих площадку в единицу времени. Если электронный газ находится в равновесии, так что распределение по импульсам максвелловское, то -~" + + та ) ) ) (2лтоОТ)М~ Видно, что результат оказывается равным нулю, поскольку подынтегральная функция нечетна по р„т. е. число частиц с данным импульсом, пересекающих площадку слева направо, равно числу частиц, пересекающих ее справа налево.
Другой результат получится, если интересоваться потоком электронов, пересекающих площадку слева направо, т. е. обладающих положительным значением г-компоненты импульса. Интегрирование теперь ведется только по положительным значениям р, и по всем (положительным и отрицательным) значениям рл и ро. Представляя выражение для плотности потока в виде + = — ~ б)о„~барр ~ др, ',е о (2лтоОТ)М' + г и (' 1 ррг(отрог) 1 Х то ) (2лпгоЬТ)гЛ ,) (2лтоОТ)цг — рр)огт,ог) -, — р Пгт„иг) г г Хе барр ~ ', е ' д)о, (2лтоОТ) ~ о и учитывая, что интегралы по ро и р„согласно условию нормиров- ки равны единице, можно написать л г, — ргдь „ог) то,) (2лтоОТ) о Последний интеграл просто вычисляется, если сделать замену переменной у= р,г/(2толТ).
Действительно, о 1 е оду 1/ (21 10) то 2)/я Л 4 У ято ' о Вспомним, что по (19.8) корень представляет собой среднюю скорость движения электронов, так что окончательно /, = ап,/4. (21. 11) Отметим, что формула (21.11), если не конкретизировать значение средней скорости, вытекает только из свойства изотропиости функции распределения.
Действительно, можно написать /,= — (р сов 8)+, из где 0 — угол между направлением импульса и осью г, а знак плюс означает, что значение функции в угловых скобках равно р, при р, оо.южительных и нулю при р, отрицательных. В случае изотропной функции распределения, когда все направления одинаково вероятны независимо от значения модуля импульса, (рссяО)+=(р) (сся8)+, т. е. среднее равно произведению среднего значения модуля импульса на среднее значение функции, которая равна соз 8, когда косинус положителен, и нулю, когда ои отрицателен.
Поскольку полный телесный угол равен 4п и ы м2 . /2 ~йр ~ сов8з(пзс18= — 2п~ соззб(соз8)=л, ч н ц то (сов 8)+=я/(4л) =1/4 и, следовательно, л (р) гш, / тз 4 4 Если распределее, = максвелловское, то справедлива формула (19.8) для п, н поэтому снова получается (21.10). Рассмотрим теперь явление терм оэлектро иной эм нес н и, которое состоит в том, что из нагретого до высокой температуры металла (или в случае специальных катодов — из полупроводгика) вылетают электроны.
Этот эффект качественно объясняется так: в металле или полупроводнике всегда имеется некоторое число электронов со столь большой кинетической энергией, что они оказываются в состоянии преодолеть силы, удерживающие их внутри катода. Основной характеристикой катода, определяющей термоэлектронную эмиссию, является величина, носящая название работы выхода. Последняя равна работе, которую нужно совершить, чтобы вывести электрон из катода наружу. Не останавливаясь на вопросе о том, чем определяется работа выхода А, мы можем считать ее известной из эксперимента. Предположим, что ось з перпендикулярна плоской поверхности катода. Для выхода электрона из плоского катода существенно лишь движение вдоль оси г. Отсюда следует, что только те электроны покинут катод, у которых кинетическая энергия движения вдоль оси з, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
