Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поскольку массы молекул Хт и От и их малярные 78 (26.5) имеющая смысл такого расстояния от поверхности моря, на котором концентрация молекул, а следовательно, и давление уменьшаются в е раз. При постоянной плотности атмосферы, равной ее плотности на уровне моря, высота атмосферы оказалась бы равной Н,ФФ. Действительно, когда справедлива барометрическая формула, число молекул, находящихся над единицей поверхности Земли на высоте л в слое толщины дг, равно бАг — п(з) ба — л(0) е «~ Эффбл Полное число молекул над единицей поверхности определится сум- мированием по всем слоям от примыкающего к уровню моря и до удаленного в бесконечность, т.
е. массы(рн,=0,028 кг/моль, ро,=0,032 кг/моль) близки, то часто пренебрегают этой разницей и пользуются молярной массой воздуха (р=0,029 кг/моль). В действительности по закону Больцмана процентный состав атмосферы должен меняться с высотой в сторону обеднения ее кислородом и обогащения более легким азотом. Уравнение (26.1) можно записать в виде и(л)=и(0) е '~~ ФФ, где Н,ФФ вЂ” эффективная высота: Н.м = —" — — — ", (26.6) тд нд А/=~ бД'= ~п(к)бл=л(0) ~е '~"эффбк л(0) Я, о О Если бы атмосфера была однородной, то ее высота получалась бы делением Н на п(0), т.
е. оказалась бы равной Н,ФФ. Как уже упоминалось выше, барометрическая формула лишь приближенно описывает изменение давления с высотой, так как в действительности атмосфера не находится в равновесном состоянии. Все же эта формула очень важна, так как позволяет провести ряд полезных оценок и служит основой для других более точных соотношений, применяемых при определении высоты по давлению атмосфеоы. Перрен предложил использовать барометрическую формулу для экспериментального определения числового значения постоянной Больцмана. Поскольку постоянная Больцмана связана с молярной газовой постоянной, известной из опытов с разреженными газами, и постоянной Авогадро, то из опыта Перрена получается и значение постоянной Авогадро.
Идея этого замечательного опыта очень проста. Распределение Больцмана, а следовательно, и барометрическая формула справедлива для любых частиц, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой. Если выбрать частицы, обладающие большой тэ по сравнению с молекулами массой, то по формуле (26.6) эффективная высота, обратно пропорциональная массе частиц, окажется малой.
Это дает большие преимущества при проведении опыта. Во-первых, легче измерить изменение концентрации, если изменение происходит на относительно небольших расстояниях, а не так, как в атмосфере, где Н,ее--9 км. Во-вторых, легче обеспечить равновесные условия, в частности постоянство температуры, так как они должны иметь место в относительно небольшой области пространства. В опыте Перреиа в сосуд с жидкостью насыпался порошок очень мелких частиц. Частицы можно рассматривать как крупные молекулы, которые под действием силы тяжести распределяются по высоте неоднородно в соответствии с барометрической формулой.
С помощью микроскопа подсчитывается число частиц, находящихся в поле зрения вблизи дна сосуда, а затем на некоторой высоте от дна. При этом используется то свойство микроскопа, что в поле зрения видны лишь частицы, расположенные в узкой зоне вблизи фокальной плоскости. Отношение полученных чисел по барометрической формуле равно н (г)/ и(0) = е — "'е'д "г>, где т'д — вес частицы в жидкости, т. е. вес за вычетом выталкивающей силы Архимеда. Из написанной формулы следует Если известны размеры частиц (радиус г) и плотность р вещества, из которого они состоят, а также плотность рг жидкости, то гн'К=4/Злг'(Р— Рг) у. Зная температуру Т жидкости, по экспериментально найденному значению отношения п(0)/я(г) для выбранной высоты г определяют й. Из опыта Перрена для постоянной Больцмана получено значение /г=1,38 10 ы Дж/К, откуда для настоянной Авогадро следует Ьл=6,02 10тз моль-'.
$27. Контактная разность потенциалов В качестве другого примера использования распределения Больцмана возьмем теорию контактной разности потенциалов. В простейшем варианте классической (не квантовой) теории проводников последние рассматриваются как своеобразные сосуды, содержащие газ электронов. Более точно их следовало бы принимать за положительно заряженную ионную решетку, между узлами которой перемещаются электроны, взаимодействующие между собой и с ионами решетки. В целом кристалл, состоящий из положительно заряженной решетки и электронов, нейтрален. Классическая теория применима, например, к полупроводникам с не слишком высокой концентрацией подвижных носителей заряда. 80 Для того чтобы вывести электрон из проводника наружу, нужно затратить некоторую работу А, называемую работой выхода (точнее, внешней работой выхода или электронным сродством). Расчет работы выхода представляет собой сложную задачу, решаемую методами квантовой механики.
Примем, как это уже делалось при рассмотрении явления термоэлектронной эмиссии, что для данного конкретного проводника величина А известна из опыта. Наличие работы выхода означает, что с энергетической точки зрения проводник в простейшей модели представляет собой потенциальный ящик.
На рис, 4.5 по оси ординат отложена энергия сп а " и Рис. 4.5 Рис. 4.6 электрона, а по оси абсцисс — его координата х. Если проводник простирается от точки с координатой х=О до точки с координатой х=а, то потенциальная энергия электрона при этих значениях х имеет одно значение, а для всех остальных х больше на величину работы выхода А.
Предположим теперь, что имеются два проводника 1 н 2. Кон. центрацию электронов в одном из них и его работу выхода обозначим п~ и Аь а соответствующие величины для другого — и, и Аэ Ес. ли эти проводники находятся на столь большом расстоянии другот друга, что можно пренебречь обменом электронов между ними, то энергетическая диаграмма выглядит так, как показано на рис. 4.6. Действительно, потенциальная энергия электрона, вышедшего из проводника и находящегося вне его, имеет одно и то же значение независимо от того, из какого проводника электрон вышел.
В связи с этим верхний край потенциального ящика, соответствующий уровню потенциальной энергии вне проводника нлн уровню вакуума, одинаков для них обоих. Глубина же потенциального ящика зависит от работы выхода, и в случае, если А1)Ам потенциальный ящик, соответствующий первому проводнику, оказывается глубже, следовательно, его дно располагается ниже (рис. 4.6). Другое положение имеет место, если проводники сведены настолько близко, что необходимо учитывать обмен электронами. Такой обмен принципиально существует хотя бы из-за эффекта термоэлектронной эмиссии, по которому из обоих проводников 81 идет электронный ток.
Какова же энергетическая диаграмма в этом случае? Когда расстояние между проводниками много меньше, чем размеры самих образцов, можно считать, что они имеют бесконечные размеры вдоль поверхности контакта, т. е. вдоль осей у и г, и рассматривать зависимость энергии только от координаты х, нормальной к поверхности контакта. Предположим для определенносги, что концентрация электронов в первом проводнике (п~) меньше, чем во втором (пз).
Поскольку работа выхода из первого провод- ника выше, а концентрация электЕп ронов здесь меньше, то естествен- но, что ток термоэлектпонной 1.-7Ж-ь)-.~4 эмиссии из него меньше. Это не- и, 4, посредственно следует из форму- П, лы (21.15), примененной к плотности тока вдоль оси х в первом и втором проводниках, если учесть, что их температура одид г какова, а следовательно одина- ковы и средние скорости электроРнс.
4.7 нов и, Поток электронов из второго проводника в первый превышает обратный поток, и поэтому первый проводник начинает заряжаться отрицательно, а второй — положительно. Между проводниками возникает разность потенциалов, которая носит название ко нт а к т н о й. Потенциальная энергия электрона в отрицательно заряженном проводнике выше, чем в незаряженном, и поэтому в процессе зарядки первый потенциальный ящик на энергетической диаграмме поднимается вверх, а второй опускается вниз.
В равно. весном состоянии энергетическая диаграмма приобретает вид, показанный па рнс. 4.7. На этой диаграмме края потенциальных ящиков находятся на разных уровнях. Разница в положении определяется дополнительной работой, которую нужно совершить против появившейся разности потенциалов при перемещении электрона из второго проводника в первый. Если обозначить электрический потенциал первого проводника Чч, а второго — Ч~м то, поскольку заряд электрона равен — е, дополнительная работа ьА= — е(р, — р,).
(27.1) Применяя закон распределения Больцмаиа к диаграмме рис. 4.7, можно выразить контактную разность потенциалов чч — ч~з через работу выхода и концентрации электронов обоих проводников. При этом следует учесть, что частичный переход электронов из второго проводника в первый практически не меняет концентрацию, так как число перешедших электронов очень мало по сравнению с общим числом электронов в каждом из проводников. Кроме того, электрическое поле контактной разности потенциалов сосредоточено в очень узкой области вблизи контакта.
В этой области, которая здесь не рассматривается, происходит изменение потен- 82 циала и концентрации электронов от значений, соответствующих одному проводнику, до значений, соответствующих другому. В глубине второго проводника концентрация, как и до приведения в контакт, равна пь а в глубине первого — п). Из диаграммы видно, что разность потенциальных энергий электрона в первом и втором проводнике равна йе„= А2+ ЬА — Ао По закону Больцмана, — ьк„/(йт) — (Ав-л,+ ЬА)/(ФТ) (27.2) П„П2=Е Логарифмируя равенство (27.2) и подставляя значение ЛА из (27.1), найдем А2 — А) — е (т) — т2) 1п~ )— Отсюда для контактной разности потенциалов получаем (27.3) еп1в~ — А,/(мт) 12 е— 4 (27.4) так как хотя контактная разность потенциалов помогает переходу электронов, но это имеет место лишь по отношению к электронам, попавшим в контактное поле, т.
е. уже вышедшим из первого про- водника. Плотность обратного тока определяется выражением 21 2 с е — (А +1 А)((ьт) 4 (27.5) так как электронам необходимо преодолеть не только барьер А2, но и дополнительный электрический барьер аА. Если в (27.4) под- ставить и, из уравнения (27.2), то получим 1 Е"'"2 е — (Л,— А,+1Лтьт) е — А,/(ьт) ЕВЧ"2 е — (А,+1ЛН(Ът) 4 4 т. е. оказываетсЯ, что )ге=)м, как это и Должно быть. 83 Таким образом, из классической теории следует, что между двумя проводниками устанавливается контактная разность потенциалов, значение которой по закону Больцмана определяется формулой (27.3), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
