Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, все интегралы в (31.5) одинаковы и отличаются лишь обозначением 4 — 434 97 6М-мерный интеграл в (31.4) представляется в виде произведения У шестимерных интегралов: у ~е — лет)<1у, )'е — н<ат)буз... ') е мп юбтл~ (31.5) пеоеменных интегрирования, что, конечно, не сказывается на их величине. Таким образом, У=[~е "' ~'сну,~ Обозначим интеграл, стоящий в квадратных скобках предыдущего выражения, через г и вычислим его; -1е',дз м-~=-мшьт> ,Шьт1 бу ~' Е 1 (т ~О Представляя интеграл в виде (31.6) где ~' — объем сосуда, содержащего газ.
Таким образом, К= = †)Т (2 ~йт)"™ (31.8) и, следовательно, Р=- — 1сТ1н2= — — 1гТИ[!и Р+ — !пТ+ — '1п(2лlн В~. (31.9) 2 2 Обратим внимание на то, что, как это хорошо видно нз формулы (31.9), свободная энергия Е является функцией таких переменных, как обьем, занимаемый системой, и ее температура, ио она же должна рассматриваться как постоянная величина, если иметь в виду зависимость от координат и импульсов отдельных молекул.
Таким образом, в распределении Гиббса для одноатомного идеального газа энергия определяется формулой (31.3), а свободная энергия — формулой (31.9). Зная распределение Гиббса, т, е. вероятность различных состояний системы, можно вычислить среднее значение любых физических величин. В следующей главе показано, что большинство из них относительно просто находится непосредственно по свободной энергии системы Р. Чтобы лучше освоиться со смыслом распределения Гиббса, рассмотрим следующий числовой пример.
Пусть имеется одноатом- зд, ,~ — ~,оды) з=~е бй, ~е (31.7) сведем задачу к вычислению двух 3-мерных интегралов. Первый встречался прн изучении распределения Максвелла и был вычислен, он равен (2ягп,яТ) ч . Это выражение следует из условия нормировки для распределения Максвелла, взятого в форме последнего уравнения (17.1) .
Значение второго интеграла находится еще проще. Поскольку вне сосуда е,~ =ьь, то подынтегральное выражение вне сосуда равно нулю. Внутри ею=О, так что подынтегральное выражение равно единице. Таким образом остается интеграл по дть взятый по объему сосуда, т. е. пый газ, например гелий, с числом молекул 10", занимающий прп температуре 27'С объем г', равный 1 л.
В этих условиях газ может считаться идеальным. Какова вероятность состояния, в котором все /<< молекул сосредоточатся в области сосуда, составляющей 0,1 всего объема, причем их скорости имеют почти одинаковое значение, а именно заключены в интервале от 300 до 301 м/с? Ответ дается формулой (30.5). В ней <(Г=бт,ба, )т,<)а,... <( -<(о<о, причем <(т<= — дтз=... =<)с<о=0,1Р'„ <)2<=<(Из= "=<)Ях=4лрздр=4лез<)сто где о=300 м/с (или 301 м/с), <(И=! м/с, то — — 4„68 10 —" кг, так что <)й = 1,17 ° 1Π— зз кгз. мз.
с — з Энергия данного состояния Ж= ~) ~ Р;(2то)= — Л<Рз/(2то)=2,! 10 з Лж. Свободная энергия вычисляется по формуле (31.9). В данном случае ее удобно представить в форме 1 1 е<зг Р— — !и <2лозоОТ)з" 1 тогда экспоненциальный множитель в формуле Гиббса дает Е<~-Ж«зг) = ' ' Е-У«зг< <е<о (2лтоОТ)<зтз<л Множитель (2лтойТ)згз по аналогии с множителем 1< может рассматриваться как эффективный объем в пространстве импульсов, доступный молекулам при температуре Т. Его числовое значение в данной задаче есть 4 27. 10-зз к<з. мз.с — з Окончательно получаем <г — розг! 11, ( 0,1м '!л зло "то „вЂ” л<зг< / ((2ллозт)з<з ! Множитель (0,1о/Р)о<=10 — л соответствует вероятности того, что все молекулы сосредоточатся в объеме 0,11<.
Эта вероятность очень мала, как это уже было продемонстрировано в $13. Второй сомножитель ~'"'." 1' — я<зг1 (2ло<оАТ)з<з определяет вероятность того, что скорости всех молекул окажутся в рассматриваемом диапазоне. Он тоже очень мал. Из полученных результатов видно, что вероятность выбранного состояния ничтожна. Это объясняется тем, что общее число состояний системы, включающей в себя 10" частиц, необыкновенно велико (предполагается, что фазовый объем, приходящийся на одну частицу, для всех состояний одинаков). $ 32.
Распределение Максвелла — Бельцмана Если принять распределение Гиббса за основной постулат статистической физики равновесных состояний, то с его помощью легко получить распределение Максвелла по импульсам и распределение Больцмана по координатам. При этом отпадает необходимость в довольно длинных и не полностью обоснованных рассуждениях, которые привели к распределению Максвелла — Больцмана в гл.
3 и 4. Примем за систему одну единственную молекулу идеального газа. Фазовое пространство «системы» в данном случае совпадает с фазовым пространством одной частицы, так что ((Г=((т. Для вероятности данного состояния системы из одной молекулы по формуле Гиббса получаем б(в =е(~ $)("г) (1 (32.1) где Ю =р»)'(2то) + е (г) — энергия молекулы. Выражение (32.1) можно записать в виде, в котором ясно видно, что оно совпадает с распределением Максвелла — Больцмана: б)р С е — р ((2тм')е — едк)/(»т) бт (11~ где постоянная нормировки С =е"л"") определяется равенством Це — рп(~т.»г) б(1 . ~ е — '„(")'("г) бт] — ( = (2л(лойГ)»Л ~~ е-' I('г) ((т ~ Окончательное вычисление С может быть выполнено, если задана потенциальная энергия молекулы. Так, например, когда молекула находится в ящике и нет других внешних сил, кроме сил, действующих со стороны стенок, то е "'"г' дт = Ь', где г' — объем ящика, и 1 1 С = (2кто«Т)з(г У Когда рассматривается столб газа с плошадью основания 5 в поле тяжести Земли е„=тода, то )ОО га!! ! бт — ~ бх ~ бп ~ бае — таЯ!аг) с йу оо три Если частица находится в потенциальном ящике, то вне его энергия частицы бесконечна, а внутри определяется известной формулой Эйнштейна в=та', где т= тоД' 1 — оз!сз — зависящая от скорости масса частицы, т,— массапокоя.
В теории относительности импульс равен р = т ч = то ч(У1 — от/сз. Выражая в последнем уравнении скорость через импульс, найдем о2 о2 = та+ Р21С2 Если теперь подставить это в выражение для энергии, то получим последнюю кан функцию импульса: тост )/! — о2/с2 тос2 о2 — тасз~/ 1+ 2 1 — р21~сз (тд + рз/сз)1 Таким образом, — мт' ~/ г+рн!тес*у!аг! 2 д%'= С,„е бп б'а внутри ящика и равна нулю вне его. Постоянная См определяется выражением т à — 1 1 Г Г м с 1Г !+рп!тзс !дат! И о или См =- з ~Д е !т"' Дат!!! '+и Узбр~ 1 1 Гс зяте сз о 101 с= Гйн,йтта!2 Ьизэф ' Возможно, приведенный пример недостаточен для того, чтобы убедить в целесообразности выбора распределения Гиббса в качестве основы для построения статистической физики равновесных состояний, поскольку здесь были просто обращены все выкладки, проделанные ранее и использованные для его обоснования.
Однако позднее, в частности в квантовой статистике, одна из форм распределения Гиббса будет использована для получения новых результатов. Предположим, что нас интересуют частицы настолько больших энергий, что их скорость близка к скорости света с. Естественно, что для определения статистических характеристик таких частиц распределение Максвелла, которое не учитывает эффектов теории относительности, неприменимо. 1(аково же распределение частиц по импульсам при учете релятивистских эффектов? Ответ легко получить с помощью распределения Гиббса. Снова выбирая в качестве системы одну частицу, найдем б т =Сме П!"г! бп ди где обозначено у=уз((тесса).
Интеграл — ! „с ((ат)!! !ез* у у о 1+ уг 1+ уг!2, находим У е — т„с'((ат! ! е — !тоггнгат!!У ге у у= 55 (В (5 с дт ш(г )Г2ПЕ м,си!ат1( ) = У2ПЕ !П Сэта (, шосг ) Рис. 5.1 При больших значениях параметра (ь»1) экспонента заметно уменьшается лишь цри значениях у»1 и поэтому ьт тз ~ е — !м„с ((атп и уг бу ! пьеса) о Таким образом, из изложенного в настоящем параграфе следует, что распределение Гиббса непосредственно приводит и распределению Мансвел га — Боль!(мана и с его помои(ыо могут быть просто получень! другие распределения, например распределения, учитываю!цие эффекты теории относительности.
В 33. Равномерное распредепенне энергии по степеням свободы В приложениях часто бывает важно знать среднее значение энергии системы или отдельных составляющих эту систему молекул. Оказывается, что для среднего значения кинетической энергии имеет место очень простое и удобное выражение, которое мы сейчас и рассмотрим. До сих пор молекулы считались материальными точками, для которых кинетическая энергия а,= ргй2пто) = (рх+ ру+ РлУ(2гпю). В гл. 3 с помощью распределения Максвелла было найдено [сы. (!7.2)) <раг> =тпо)сТ, так что для среднего значения кинетической энергии, соответствующей движению вдоль оси х, получаем (азл) =(рх)((2пао))=й7(2. (33.1) 102 ного па не может быть вычислен в элементарных функциях, но он зависит о д от единственараметра ~у ут)(т,сз) и на графике рис.
5.1 представлена соответствую- шая зависимость, полученная численным интег~й) оированием. 5 В обычно встречающихся случанх значе- ние параметра мало (й« !), экспонента быстро 5 убывает даже при небольших значениях у Ф и поэтому, полагая в показателе степени Точно такие же равенства имеют место и для кинетической энергии движения вдоль осей у и г; (сгх) ==. (х„.,) = — яТ12.
(33.2) Среднее значение общей кинетической энергии равно (гк) (гкк) + (гк ) + (екк) ~2~Т' (33.3) Формулы (33.!), (33.2) могут быть истолкованы таким образом, что на каждую степень свободы частицы приходится одна и та же средняя кинетическая энергия, равная 1гТ12. У материальной точки обладающей тремя степенями свободы, среднее значение кинетической энергии равно '1,ИТ. Этот результат является частным случаем очень общего правила, по которому на каждую степень свободы любой классической системьь находящейся в равновесии, приходится средняя кинетическая энергия, равная нТ(2.
Так, например, если рассматривать газ, состоящий из много- атомных молекул, то последние должны считаться не материальными точками, а скорее твердыми телами, обладающими хотя и малыми, но конечными размерами. Общее число степеней свободы твердого тела равно шссти. Действительно, положение центра масс твердого тела задается тремя координатами, что соответствует трем степеням свободы поступательного движения, а его положение при вращении вокруг центра масс определяется тремя другими координатами, в качестве которых обычно используются углы Эйлера.
Угловые координаты характеризуют три дополнительные вращательные степени свободы. Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна М(г1,)1гТ и такая же энергия соответствует их вращению, так что общая средняя кинетическая энергия равна ( г,) = 6Х(ИТ)2) = — 3МйТ. Полное доказательство теоремы о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы оказывается довольно громоздким и поэтому вынесено в приложение 3. В общем случае результат, полученный для кинетической энергии, не имеет места для энергии потенциальной.
Однако для упругой потенциальной энергии, являющейся квадратичной Функцией координат, среднее значение тоже равно нТ12 на каждую степень свободы, соответствующую определенной координате. Так, например, в случае одномерного движения вдоль оси х упругая потенциальная энергия г„= — кхз1'2, гдс к — жесткость, и среднсе значение потенциальной энергии есть (33.4) (~„) =к(х')1'2=яТ12. 103 Для трехмерного случая может быть к1хз круз кзкз и —— 2 2 2 (!У) =ЗА(2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
