Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы явилась очень крупным успехом классической статистической физики, однако при сопоставлении с опытом она же показала, что классическая статистика имеет ограниченное применение. Действительно, ее применение позволило просто объяснить различие в теплоемкостях одноатомных, двухатомных и многоатомных идеальных газов.
Поскольку внутренняя энергия идеального газа есть среднее значение кинетической энергии его молекул, то, по теореме о равномерном распределении, (33.5) (У=И(У/2) кТ, где ( — число степеней свободы молекулы. Одноатомному газу следует приписать три степени свободы на атом, так как положение атома определяется тремя координатами. Положение двух- атомной молекулы в пространстве можно указать, задав положение ее центра масс (три степени свободы) и два угла, определяющие направление ее оси в пространстве (еще две степени свободы).
Таким образом, для двухатомной молекулы ~ равно пяти. Наконец, многоатомная молекула, если ее рассматривать как небольшое твердое тело, обладает шестью степенями свободы, из которых три соответствуют поступательному движению, а три — вращательному. Дополнительную по отношению к двухатомной молекуле степень свободы можно рассматривать как соответствующую углу поворота вокруг оси, направление которой задано двумя другими координатами.
Соотношение (33.5) в целом ряде случаев хорошо согласуется с экспериментом, что как будто подтверждает справедливость теории. Более внимательное рассмотрение вопроса, однако, показывает, что если бы теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы была безоговорочно справедлива, то совпадения с опытом не могло бы быть. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, учесть, что атомы состоят из ядра н движущихся вокруг него электронов. Если учесть степени свободы, относящиеся к отдельным электронам, то средняя кинетическая энергия атома должна была бы оказаться значительно больше.
$34. Флуктуации а измерительных приборах С целью проиллюстрировать общность распределения Гиббса покажем, как оно позволяет просто решить очень важный в практическом отношении вопрос о флуктуациях показаний измерительных приборов. Начнем наше обсуждение со случая простейшей механической системы, изображенной на рис. 5.2. Система пред- !04 ставляет собой массу и, укрепленную на пружине с жесткостью й, и является моделью многих измерительных приборов. Так, например, гальванометр состоит из стрелки (массы) и спиральной пружины, возвращающей стрелку в положение равновесия.
В аналитических весах масса подвижной системы возвращается в положение равновесия силой тяжести, момент которой оказывается пропорциональным величине угла, характеризующего отклонение от положения равновесия, т. е. в этом смысле момент силы тяжести аналогичен упругой силе пружины. Можно привести и другие примеры. Уравнение движения пружинных весов, изображенных на рис. 5.2, имеет вид (34.1) гпзэ = — аз' — Чя'+ Р+ тК (здесь з' — координата массы т, — кг' — упругая сила пружины, — пг' — сила трения, возникающая при движении массы в окружающей ее среде, г — измеряемая внешняя сила, тд — сила тяжести, действующая на массу). Если система находится в покое, то з'=г'=0 и из уравнения (34.1) следует яз = (тд+ Р)/к'.
Координата гз' соответствует равновесию массы под действием приложенных к ней сил. Для дальнейшего удобно ввести координату г=з' — гз', характеризующую отклонение от положения равновесия, тогда уравнение движения принимает вид тз+т)з+кз=О. (34.2) Для рассматриваемого здесь вопроса о флуктуациях, т. е.
о беспорядочных тепловых колебаниях указателя пружинных весов т, первостепенное значение имеет слагаемое пг в уравнении (34.2). Это слагаемое описывает взаимодействие указателя отклонения с окружающей средой, которое в общих чертах состоит в том, что молекулы среды, находящиеся в тепловом равновесии при некоторой температуре Т, все время бомбардируют указатель. В сред- нем все направления ударов равновероятны, поэтому среднее показание весов равно нулю: (г) =О.
Если указатель приведен в движение, то встречные удары начинают превалировать и масса испытывает противодействие своему движению, описываемое членом с силой трения — пх. Когда весы находятся в равновесии, то компенсация ударов осуществляется лишь в среднем. Поскольку в какой-то момент результат бомбардировки весов молекулами среды с одРис. 5.2 105 ной стороны может оказаться больше, чем с противоположной, а в следующий — наоборот, то внимательное наблюдение должно обнаружить непрерывное беспорядочное движение указателя, так что лишь в среднем его координата з равна О. Величину отклонений, т.
е. величину флуктуаций, принято характеризовать средним значением квадрата отклонения от положения равновесия (г'). С точки зрения статистики задача о весах аналогична задаче о большой молекуле с массой т, находящейся в поле упругой силы с потенциальной энергией кзз/2, равной потенциальной энергии сжатой пружины. За счет контакта со средой весы находятся в тепловом равновесич при температуре Т. Их состояние можно охарактеризовать положением указателя (координатой г) и его импульсом (тз). По Гиббсу, вероятность того, что указатель находится в промежутке <(г и обладает импульсом в интервале д(п<з), дается выражением бЖ'=е<~ ®н<~~~ бГ=е<~ ~и<~~' дзд(тз), где в =тг'/2+кг92 — энергия указателя, равная сумме кинетической и потенциальной энергий. Величина флуктуаций определяется общим выражением <~~ри<~т> ~Г но в данном случае ее легче вычислить, воспользовавшись теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы.
Действительно, для потенциальной энергии выполнены условия, оговоренные в предыдущем параграфе, и поэтому 2 2 2 <кг > <' (з') = —, т. е. (зз) =й<)<<. (34.3) Числовые оценки показывают (см. задачу 1 к настоящей главе), что в реп ально осуществимых механических си<. стемах величина флуктуаций очень мала, так что они лишь в исключитель- С ных случаях могут влиять на точность << измерения. Совсем другое положение имеет ме- сто в электрических измерительных Рис.
5.3 цепях, где сплошь и рядом чувстви- тельность приемно-усилительных устройств ограничена тепловыми флуктуациями. Предположим, что на входе усилителя с большим коэффициентом усиления стоит колебательный контур так, как это показано на рис. 5.3. На первый каскад усилителя с обкладок конденсатора колебательного контура подается напряжение К связанное с зарядом Я соотношением р=си, (34.4) <оа где С вЂ” емкость конденсатора.
Если сделать коэффициент усиления достаточно большим и подать выходное напряжение на осциллограф, то окажется, что на экране будут наблюдаться беспорядочные колебания, представляющие собой тепловые флуктуации напряжения на конденсаторе. Уравнение, опнсывающее поведение колебательного контура, имеет вид 11г+11=. — Е— ш (34.5) и означает, что сумма напряжения на конденсаторе и падения напряжения на резисторе с сопротивлением й равна действующей в контуре э. д. с. самоиндукции катушки с индуктивностью 1.. Учитытывая, что ток 1 в контуре связан с зарядом конденсатора соотно- шением — =1, вг (34.б) можем уравнение (34.5) переписать в виде Д2(,'3, Д(;), О 1.
— + )г — + — =О, шз и 'С=' (34.7) (34.8) где электрическая энергия Я'/(2С) аналогична потенциальной кгз,'2, а магнитная энергия 11з/2 — кинетической таге/2. По принципупу Гиббса, вероятность того, гто заряд конденсатора в конту- 107 где принято во внимание соотношение (34.4).
Бросается в глаза аналогия написанного уравнения с уравнением (34.2). Эта аналогия имеет глубокий смысл. Член с сопротивлением )г играет такую же роль, как и соответствующее слагаемое с коэффициентом трения в (34.2), т. е. именно им обусловлено взаимодействие электрических колебаний в контуре с тепловым движением атомов кристаллической решетки материала, из которого изготовлен резистор.
Атомы решетки образуют термостат, и за счет их столкновений с электронами последние приходят в состояние беспорядочного хаотического движения. Если большее число электронов начинает двигаться в одном направлении, то конденсатор заряжается в соответствии с этим направлением тока. В следующий момент времени большее число электронов движется в обратном направлении и конденсатор перезаряжается.
Таким образом, непосредственной причиной появления электрических флуктуаций являются случайные движения электронов в резисторе, вызванные взаимодействием с термостатом (кристаллической решеткой). Состояние электрических колебаний в контуре задано, если известны величины заряда (г (координата) и тока 1 (скорость). Г)олиая энергия контура в некотором определенном состоянии равна сумме электрической и магнитной энергий: 62 и2 К==-: — , '—, 2С 2 ре имеет значение в интервале Я вЂ”:Я+дЩ, а ток — в интервале между! —;1+Ы1, определяется распределением Гиббса д® 1е-ж1пьт1 дГ (34.9) еде вместо е следует подставить (34.8), а дГ =дед/. Теперь можно вычислить среднеквадратичное напряжение на конденсаторе: (и >=Я >/С, где среднее значение <ят) определяется с помощью распределе- ния Гиббса (34.9) или еще проще с помощью теоремы о равномер- ном распределении энергии по степеням свободы: Я~ ) /(2С) = 1гТ/2.
Из двух последних соотношений вытекает, что (1/~> =йт/С. (34.10> Формула (34.10) дает ответ на вопрос о величине флуктуаций, но ее удобно несколько преобразовать, выразив емкость через со- противление и полосу пропускання контура. Используя методы электротехники, можно показать, что 1/С=4ил~.ь где Лт — ширина полосы частот, на которые настроен контур, а ги=/./ЯС) — его активное сопротивление на резонансной частоте. Таким образом, основное соотношение, связывающее среднее значение квадрата тепловых флуктуаций напряжения с температурой и параметрами цепи, имеет вид ( Уз ) = 4 вТя уЬ.
Так, например, в приемнике с полосой пропускания от=10 кГц, работающем при нормальной температуре Т=300 К и обладающем входным активным сопротивлением ел=10 кОм, среднеквадратичное значение напряжения шума равно )Г(И~) = ~/4йТзядч 1,2 мкВ. Если входной сигнал меньше этого значения, то его невозможно различить на фоне беспорядочных тепловых колебаний, в 35. Реальный газ В качестве другого примера рассмотрим применение распределения Гиббса к реальному газу, т.
е, к газу, в котором учитывается взаимодействие между составляющими его атомами или молекулами. Хотя точно решить эту задачу не удается, однако даже приближенный подход позволяет, как это будет видно из дальнейшего (см. $ 42), получить ряд интересных результатов. 108 Энергию системы взаимодействующих атомов можно записать в виде (35.1) 8=='~~Ф2пгз)+'6 ~«м+ у; ~~» 109 где е; — потенциальная энергия )-го атома в поле внешних сил, а еса — потенциальная энергия взаимодействия )-го и й-го атомов. Су.. а бере я.по всем значениям ) и й, не равным дру другу Множитель ')з учитывает, что в сумме по ) и й энергия взаимодействия каждых двух атомов записывается два раза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
