Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поскольку по первому началу термодинамики бр=би+бл=б(у+Р и)т, (43,1) то для теплоемкостп получаем С= — + Р—. дт ат дм При постоянном объеме — = — 0 и, следовательно, ат 66г С = —. ат (43.2) Очень часто имеют дело с удельной теплоемкостью, т. е. теплоемкостью, отнесенной к массе: с,=с,!М, с,=с,!Л4. (43. 4) Иногда используют мол ярную теплоемкость (теплоемкость одного моля) СП1 г = Сирфй4 сд~ р — СлфЛ1, (43. 5) !26 Соотношение (43.2) объясняет, почему теплоемкость является величиной, представляющей большой практический интерес. Она относительно просто измеряется, и поэтому ее можно использовать для экспериментального определения внутренней энергии системы.
Если температура растет, а давление постоянно, то объем системы увеличивается, поэтому теплоемкость при постоянном давлении больше, чем теплоемкость при постоянном объеме: агт 61', ам Ср = — + Р— =Си+ Р—, ат ат ат Обратимся теперь к теплоемкости идеального газа. Если использовать соотношение (33.5) для внутренней энергии идеального газа, то теплоемкость при постоянном объеме определится фор- мулой М 1 С,= — — '0 2 (43. 6) или для малярной теплоемкости с,„„= (1/2) УС. (43. 7) Когда давление постоянно, то нз (43.3) вытекает Ср Си ) Р Си+ (РЧ)=Си+ ( ЯТ)— вт ~ ет ~ вт11 =С,+М Р (43.
8) Здесь использовано уравнение Клапейрона — Менделеева. При учете (43.6) последнее соотношение можно записать также в форме (43. 9) и 2 Для малярной теплоемкости при постоянном давлении из (43.8) вытекает (43. )О) смр — — с „+Й. 127 Это важное соотношение Майера сыграло большую роль в истории физики при установлении закона сохранения энергии и определении механического эквивалента теплоты. Теплоемкости представляют собой удобные величины для проверки согласия теории и опыта. Экспернмент показывает, что соотношения (43.6) — (43.9) в целом ряде случаев выполняются очень хорошо и, таким образом, как будто подтверждают справедливость теории.
Однако, как уже указывалось в $ 33, выводы классической теории на самом деле противоречат эксперименту. Если, например, учесть степени свободы, относящиеся к отдельным электронам, то общее число степеней свободы атома 1 оказалось бы значительно большим, чем допускалось до сих пор. Степени свободы, относящиеся к электронам, тоже должны бы дать свой вклад в теплоемкость, так что она получилась бы много больше той, которая наблюдается на опыте.
Таким образом, часть степеней свободы по некоторым причинам, неизвестным в классической статистике, не должна учитываться. Об этом же говорит тот факт, что при охлаждении у некоторых газов, например у водорода, еще до конденсации наблюдается уменьшение теплоемкости, которое можно объяснить лишь предположив, что число степеней свободы изменяется и вместо пяти постепенно становится равным трем. Об этом эффекте говорят как о случае, когда вращательные степени свободы «вымерзают». С другой стороны, лишь у относительно простых многоатомных мо- лекул, таких, как молекула воды Н, илн метана СНм число степеней свободы равно шести, В более сложных молекулах, например этилового спирта СэНеО, теплоемкость оказывается большей, чем та, которая соответствует идеальному газу с шестью степенями свободы.
Этот факт сам по себе не удивителен и лишь означает, что следует принять во внимание степени свободы, учитывающие возможность относительного движения атомов в молекуле. Попытка количественного учета этих степеней свободы в рамках классической статистики не может привести к согласию с опытом. В общих чертах это объясняется следующим. Движение атомов относительно друг друга при тех малых смещениях, которые обычно имеют место в молекуле, можно достаточно точно описать, считая, что атомы связаны квазиупругими силами.
Поэтому на каждую степень свободы приходится энергия ~Т~2, соответствующая кинетической энергии, и нТ/2 — потенциальной. Полная средняя энергия оказывается, таким образом, пропорциональной температуре, откуда следует, что теплоемкость при постоянном объеме постоянна. Опыт убедительно показывает, что это не так и что теплоемкость растет с ростом температуры. Объяснение этих парадоксов классической статистической физики было получено лишь при учете квантовых эффектов. Задачи и главе б 1. Исходя из выражения для свободной энергии идеального одноатомного газа, найдите роботу, которую он совершает в изотермическом процессе, расширяясь от У~ до Уг. Р е ш е н и е.
По термодннамнчесиому смыслу свободной энергии, А = Рт — Р'т. Используя выражение (31.9), получаем М Г 3 А=. — ЙТ вЂ” ~1пУт+ — !п Т+ 1п(2птейе)'/*~ -1- и'ь 2 М Г 3 ь 1 М /Ут~ + гсТ вЂ” ~!пУ2+ — !п Т+!п(2птэй е) /'~ = геТ вЂ” 1п ( — /1. 2 ! ° ~ ) 2, Исходя из выражения для энтропии идеального одноатомного газа, найдите связь между температурой и объемом в адиабатическом процессе. Решение. В аднабатическом процессе энтропия не меняется, поэтому М Г 3 ь/ О= дт — Ят= — /! 1(!п Ут+ — !п Т, +!и (2птой е) и ~ 2 М Г 3 — — /к ~!п Уэ+ — !п Тт+!и (2птой е)'/*~ р. ь 2 илн !п Ут + з/э !п Тт = ! п Ут + э/т !п Тт, т. е.
У Т,/'= У Т /' 128 3, Найдите связь лшжду темлературой и объемом а адиабатическом процессе для реального газа. Решение. Из условия адиабатичностн 5=сопз1 с помощью 142.10) находим М Ь вЂ” 1и Т + 1и )т — — — = соаз1 2 р. нли после потенпирования Я1 Ь Тц~уе в ~= сопят.
Поскольку по предположению МЬДНУ)~1, то, ограничиваясь двумя первыми членами разложения экспоненты в ряд, можно написать гз I М Ь Тй )т ~1 — — — )= сопзг или окончательно Т Гз ~)т — — Ь) = сопв1. у м Н Таким образом, в соответствии с уравнением Ван-дер-Ваальса газ ведет себя так, как будто его свободный объем меньше объема сосуда на учетверенный объем всех входящих в его состав молекул. ЧАСТЬ Ш КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 7 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ $44. Квантовые свойства излучения К концу Х1Х в. было установлено, что свет имеет электромагнитную волновую природу, однако в начале ХХ в.
выяснилось, что для объяснения целого ряда явлений необходимо также привлечь представления о квазичастицах света — ф о т о н а х. Квантовые свойства электромагнитного излучения проявляются при его взаимодействии с веществом (при поглощении, излучении и т. д.) и состоят в том, что передача энергии и импульса от волны к веществу осуществляется конечными порциями. Так, например, энергия свнга определенной частоты т (определенной длины волны Х) поглощается и излучается порциями — квантами, энергия которых определяется формулой з =2пйт, (44. 1) где й=1,06.10-" Дж.с=1,06 10-н эрг с — постоянная Планка.
Впервые необходимость введения представления о квантах была осознана Планком при работе над теорией излучения черного тела. Впоследствии она была подтверждена во многих других оптических эффектах, таких, например, как фотоэффект, излучение атомов н молекул и т. и. По известному соотношению Эйнштейна, уже использовавшемуся в гл. 5, энергия связана с массой: з=тс"-.
(44. 2) Таким образом, если сопоставить с квантом световой энергии представление о некоторой световой частице, называемой фотоном, то, поскольку скорость распространения света равна с, импульс фотона оказывается равным р=тс=з/с. 130 Подставляя в последнее соотношение энергию фотона по (44.1), получим р = 2яйч/с = 2пй/Л = йй, (44.
3) где 4 = 2п/Л (44. 4) — так называемое волновое число фотона. Отметим, что квантовые свойства излучения проявляются не столько в том, что электромагнитные волны следует рассматривать как поток частиц — фотонов, сколько в учете того, что волна обменивается с веществом конечными порциями энергии и импульса в соответствии с формулами (44.1) и (44.3). $45. Волновые свойства частиц Целый ряд опытных фактов убеждает нас в том, что не только волны, в частности свет, обладают корпускулярными свойствами, но и, наоборот, частицы обладают свойствами волн. Пожалуй, наиболее ярким подтверждением этого положения, высказанного впервые де Бройлем в 1923 г., является дифракцня электронов. Как известно, при прохождении волн через диафрагмы (щель) на экране, установленном вдали от щели за собирающей линзой, наблюдается чередование максимумов и минимумов интенсивности в форме полос.
Все полосы, соответствующие максимуму интенсивности, кроме центральной полосы, приходятся на область геометрической тени. Пусть на щель нормально к ней, т. е. вдоль направления, выбранного за направление оси г, подает плоская монохроматическая световая волна, в которой вектор напряженности электрического поля Е описывается выражением Е = Еь соз (ь1 — йг), где Еь — амплитуда вектора напряженности, ы=2пч — циклическая частота, к=2п/Л вЂ” волновое число.
Уравнение волны может быть записано и в комплексной форме: Е=Е е ц ' — ьм. о Из теории днфракции известно, что направление у на первый минимум днфракционной картины определяется соотношением з1п р=Л/а, (45. 1) где а — ширина щели. Это соотношение можно пояснить следующим образом. Луч 2, проходящий через середину щели (рис. 7.1), после дифракции в направлении ~р обладает разностью хода а Д= — з1п у 2 по отношению к лучу 1, проходящему через край щели.
Если выполнено условие (45.1), то разность хода Л приводит к сдвигу по 5* 131 ф е — ~(ы — йг! ! уР (45. 2) 132 фазе между лучами, равному и, и, следовательно, попадая на экран, лучи гасят друг друга. Нетрудно убедиться, что все лучи разбиваются на пары, гасящие друг друга, если направление <р удовлетворяет условию (45.1). Действительно, лучу 1' (рис. 7.1) можно сопоставить луч 2', проходящий на таком же расстоянии от луча 2„ на каком луч 1'проходит от луча 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
