Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для этого в выраккении (П3.7) днах Рг= дог т. е. фактически (ПЗ. 17) о о др/ др так как — = 1 и — = 0 (г чь /). Таким образом, показано, что якодр> др/ биан равен единице и, следовательно, среднее значение кинетической энергии, приходящейся на <-ю степень свободы, определиется выражением < йх< > =- ~ — р< — е дд> " д</зь/ др< "° дрзз/.
1 де <и — э/)/<ьт> 2 др/ Выполним сначала интегрирование по рь учитывая, что возможные значения обобщенного импульса лежат в пределах от — со до+ со. Поскольку + + р/ дЫ (и — (г)/<ьт> ьт г д <Р— 8)/<ьт> — — е др< = — — <З рг — [е ) др< 2 др< 2 З ' др> то после интегрирования по частям получится >э> дМ е<Р-Я)/<ьт)д р< — АТ (Р— эг)/<ьт)(+" — р<е + 2 др< 2 + + Т '1 <Р-у/у<ьт> Первое слагаемое обращается в ноль, так как при бесконечном значении обобщенного импульса бесконечна и энергия системы, а тогда экспоненциальный множитель бесконечно мал. Теперь выражение для (Ючь> можно записать в виде ЬТ Г <Р-Лу<ьт> (вх<> = — )е 2 дд> ° ддзл< бр< дрзг>, т.
е. < ек< ) = ЬТ/2, (ПЗ.18) так как по условию нормировки е дд< драл<бр ° др = ) е дГ=1 ° (Р— 8)/(ЬГ> Г <г — Ру<ьт> Формула (ПЗ.!8) и есть математическая запись теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. В заключение заметим, что аналогичное соотношение может иметь место и для потенциальной энергии, однако для этого необходимо выполнение следующих условий.
Во-первых, потенциальная энергия должна быть квадратичной функцией обобщенных координат дь так что ж> 1 дХ„ (ПЗ.19) 2 ' д~у< 267 Во-вторых, кинетическая энергия не должна зависеть от обобщенных координат, так чтобы соотношение (П3.19) можно было переписать в виде 1 дв М = — у<в 2 дд< Теперь для среднего значения потенциальной энергии, приходящейся на Ью сте- пень свободы, т. е. для 1 д~~ (иа<> =С рг ~, 2 дуг,к учитывая, что якобиан равен единице, по общему правилу находим (Ж„с> =~ — 24< — е Г 1 дй <~ — ы>«аг> бр< драгу дрг драл< дуг Интегрирование выполняется тем же способом, что и в предыдущем случае, и приводит к равенству <П„<> =лтр.
(ПЗ.20) 4. Переход к системе отсчета, связанной с центром масс По (76.2), шг рг рс+ ро (шг + шз) (П4.1) тт р — ( + ) рс — ро Поскольку дО< дцз= 11 ! д ОсбПо где Х вЂ” якобиан преобразовании от рь ра к рс, ро, то необходимо вычислить якобиан. Имеем дрг» др|к дргк др<а драк драк дрок дрсу драк дрок дров дроа дрщ друц др,к дрсу дрза дрзк дрза дрза дрз* дртк драк дрсу дрса дрок дроу дрок Соответствующие производные легко вычислить с помощью (П4.1).
Отличны от нуля дрг. дргу дрга(< тг драк др<у др1а — = — = — = 1' др, дрсу др,а тг + тз др к дрм др д,щ„. дрзу дщ, тз дрз, дрзц дрз, дрок дрсу дрса т< + тз ' дрок дроц дрок 268 После подстановки в (П4.2) получается О О 1 О О т!+ тг О О О 1 О тг+ тг О О О О 1 тг+ тг ΠΠ— 1 О О т!+ тг ΠΠΠ— 1 О т!+ тг Π— О тг т!+ тг Π— 1 1 О О О О О О 1 О О О О О О 1 ΠΠΠΠ— 1 О О О т!+ тг ΠΠΠ— 1 О т!+ тг ΠΠΠΠ— 1 тг+ тг Если прибавить четвертую строку к первой, пятую ко второй, а шестую к треть- ей, то получится выписанный ниже детерминант, абсолютная велячнпа которого, очевидно, равна единице: ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Бозе частицы (бозоны) 140, 157 Величина случайная 23 — — дискретная 23 — — непрерывная 23 Вероятностей биномиальное распределение 21 Вероятности плотность 24 — †, условие нормировки 30 Вероятность безусловная 18 — события !1, 51 — условная 18 Вина закон смещения 168 — формула — сж Формула Вина Время релаксации 196, 226, 229, 231 Газ идеальный, уравнение состояния 112 — реальный !08 — †, свободная энергия 111 — †, уравнение состояния !23 — электронный 177 — — вырожденный 181 — —, критерий вырождения 182 — —, — невырожденности 181 — — невырожденный ! 79 Гиббса принцип — сл.
Принцип Гиббса Градиент функции 193 Дебая температура †. Температура Дебая Дисперсия 29, 240 — тока 252 — †, шум дробовой (Шоттки) 253, 256 — —, — тепловой (джонсоновский) 253, 257 — числа частиц 42, 243. Длина Дебая 88 — свободного пробега средняя 230 Закон Вольта 84 — Ома — сзс Плотность тока — смещеаня Вина 168 — Стефана — Больпмана !68 Излучательная способность 165 — — абсолютно черного тела 166 Излучения кваитоваиные !33 — †, квантовые числа 136 Ивтеграл вероятности 41, 260 — состояний 96 Испытание (определение) !1 Карно цикл 122 270 Клапейрона — Менделеева уравнение 113 Коэффициент диффузии 204 — дрейфа 204 — подвижности 205 Майера соотношение 127 Математическое ожидание 27 Мезоны 157 Мера количества информации 38 — неожиданности 37 — неопределенности ситуации 39 Метод самосогласованного поля 85 Омега-потенциал 150 — — бозонов 159 — — электронов 178 Омега-потенциала спектральная плотность !63 Опыт Перрена 79 — Штерна †.
Распределение Максвелла — Дэвисона и Джермера 132 — Фабриканта, Сушкина, Бибирмана 132 Плазма сль Распределение Максвелла Планка формула — см. Формула Плавка Плотность вероятности 24 — — импульса 44, 54 — — Максвелла 49 — — Максвелла — Больцмана 94 — —, условие нормировки 30 — потока частиц 60, 62 — состояний 162, 178 — тока 65, 211 — †, закон Ома 21,1 Постоянная Авогадро 49, 80 — Больцмана 49, 78, 80 — нормировочная 47 — Стефана — Больцмана 168 Потекциал химический 151, !55, 176, !83 Потенциальный ящик 73, 177 Принцип детального равновесия 74 — неопределенности 197 — неразличимости 136, 139 — Паули 140, 174 Прицельное расстояние 214 Проводимость 2!1 †, зависимость температурная 227, 228 Пуассона уравнение — см Уравнение Пуассона Работа выхода 64 Разность потенциалов контактная 82 Распределение Бозе — Эйнштейна 160 — — — для фотонов 161 — Гаусса (нормальное) 35, 36 — Гиббса 95, 96 — — большое каноническое !49 — — — — для фотонов 16! — — в квантовой статистике 140 — — для газа идеального одноатомного 97 — Дрювестейна 239 — Максвелла (по скоростям) 53 — — экспериментальная проверка (опыт Штерна) 66 — — — — (плазма) 67 — Максвелла — Больцмана 100 — по энергии 55 — Пуассона 34 — Ферми — Дирака !76 Рэлея — Днгинса формула — слс Формула Рэлея — Джинса Сечение рассеяния эффективное 216 — — — дифференциальное 216 — — — полное 216 Событие достоверное 13 — случайное 11 Событий несовместимых полная группа 1! События случайного вероятность 11 — независимые 16 — несовместимые 13 — мера неожиданности 37 — равновозможные !4 Среднее значение 27, 50 — †, правило определения 27 Стирлинга формула — см.
Формула Стирлинга Температура Дебая 173 Теорема Лиувилля 194 Теплоемкость !26 — газов 126, 183 — молярная 126 — удельная .126 Термодинамики начало второе 120 — — третье 146 Уравнение Больцмана кинетическое !94, !96, 22! — Гиббса — Гельмгольца 116 — диФфузии 201 — — для электронов 205 — Пуассона (самосогласованного поля) 87, 211 — состояния 112, 115, 153, 156 — Клапейрона — Менделеева 113 — Эйнштейна 206 Условие изотропвости 44 — независимости движения 44 — нормировки 30, 47, 93, 141, 149 Фазовое пространство (р-пространство) 93 — — полное (гамма-пространство) 95 Ферми частицы (фермионы) 140, 174 Флуктуации 40, 104, 240 — объема 247 — температуры 248 — числа частиц 243 — энергии 248 фонов 157, 171 Формула барометрическая 78 — Вина 167 — Планка 166 — Ричардсона 66 — Рэлея — Джинса 167 — Стирлинга 22 Формулы Найквиста 259 Фотон !30, 157, 161 Фотона волновое число 131 Функция распределения 60 — — квазикласснческая 199 — — Максвелла 60, 92, 209 — — — и Больцмана 93 — — неравновесиая 191 — — равновесная 93 — — электронов по скоростям 238 Шум дробовой — см.
Дисперсия тока — —, мощность 256 — тепловой 253, 257 — —, мощность 258 Энергетическая светимость 168 Энергия внутренняя 117, 152 — — свободная 116, 155 — — квантовой системы 141 Энтропия 117, 144, 154 †, принцип максимума 146 —, статистический смысл 119 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Курсы статистической физики для университетов 1. Терлецкий Я.
П, Статистическая физика. 2-е изд. М., 1973. 2. Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики. М., 1973. Пособия для пединститутов 3. Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики. Ма 1969. 4. Радушкевич Л. В. Курс статистической физики. М., 1966. Монографии 6. Ландау Л, Д., Лифшиц Б. М. Статистическая физика. Мч 1976. 6. Френкель Я. И. Статистическая физика. М. — Ла 1948. 7.
Керзон Хуанг. Статистическая механика. М., 1966. 8. Кубо Р. Статистическая механика. М., 1967. 9. Хир К, Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М., 1976. 10, Исихара А. Статистическая физика. М., 1973. 11. 47емпен С., Коулинг Т.
Математическая теория неоднородных газов. М., 1960. Справочник !2, Бронштейн И. Н., Сежендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 1О-е изд.М., 1964. Андрей Михайлович Васильев ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ Зав. редакпней литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Редактор С А. Крмнав. Младший редактор С. Л. Даравсннх. Переплет художника В. И. Сидарснка. Художественный редактор В. П. Спирава, Технический редактор Е. И.
Герасимова, Корректор Г.И. Кострикова ИВ № 2160 Изд. № ФМ-642 Сдано в набор 100160 Поди. в печать 09.1060 Формат 60Х90№в. Вум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 17 уел псч л 16,32 уч.-нзя л тираж 20000 экз. зан, № 434. цзиз 60 коп. Издательство Высшая шкала».
Москах, 11аглннизя ул, д 29114 Московская типография № 6 Союзполягрзфяроьгз прн Государственном «амятстс СССР па делам издатсльстн, полиграфии н книжной торговли, Хохлавский пер., 7. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
