Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 48
Текст из файла (страница 48)
отношение корня квадратного нз дисперсии к среднему числу частиц, равна у(ь1'тг> 1 <)ч> )т<Л > Поскольку число частиц, с которыми приходится иметь дело в реальных системах, необычайно велико, то, как правило, флуктуации оказываются незаметными и вполне достаточно знать лишь среднее число частиц. Однако при очень точных измерениях в малых системах флуктуации обнаруживают себя и ограничивают в какой-то мере точность измерений.
21( Так как дисперсия по определению равна <ЛМг> = <Мг> — <Ж>г, то Рассмотрим теперь Бозе-газ и определим дисперсию числа частиц, находящихся в данном состоянии й По (56.5), й/=йТ!п(1 — е(е ")'"т'). (82.7) Далее имеем д Я,*. 1 (и,>— дв ( ( — Юдет) е ' — 1 (82.8) (распределение Бозе — Эйнштейна). Из общей формулы (82.5) для флуктуации получается ( ° / — е)/(ет) ( да~/) =й7' Последнее равенство удобно преобразовать следующим образом: 1 + 1 .>— ( (-е)/(ет) ( °,— ен(ет) =(и,>+ (и,>', ( °,.— е)/(ет) (82.9) Яе= МТ~~)'1п(1+ (" ")/' )) ( (82.10) Поскольку вся разница между (82.7) н (82.10) состоит в том, что в последнем случае проводится суммирование по всем состояниям (, то естественно, что конечный результат имеет вид (а№> =~ (а/>(1 ) (а()).
( (82.11) Таким образом, дисперсия общего числа частиц Бозе равна сумме дисперсий числа частиц в каждом состоянии й Это указывает на независимость числа частиц в различных состояниях. После перехода от суммы к интегралу последнее выражение представляется в виде (а — е)/(Фт) (Ь№> =~ (а,)(1+(а,))й.,(1е= ~ е 8;(1е, д (е( -е)/(ет) где было вновь использовано уравнение (82.9). 244 где использовано выражение (82.8).
Эта формула отлична от классической, но при больших отрицательных )(, когда среднее число частиц в данном состоянии <и(> очень мало, можно пренебречь <и;>' по сравнению с <и(> и тогда получается классический результат. Дисперсию полного числа частиц в системе можно получить совершенно аналогичным образом, исходя из выражения (56.6) для омега-потенциала Для фотонов, полагая»=0, в=йо>, используя (57.5) и учитывая две возможные поляризации, можем написать )> днт> (дА7в) 21 е~ 4нм|» ' (т ( Г> Пнт> 1)а (2нс)а Если регистрируются все частоты, то нижний предел интегрирова- ния равен нулю, а верхний — бесконечности, и тогда ( 7>7а вн(КТ)а 1, (' е" ха»х (2нс)>н а 61 (ех >р е~хеох на (е" — 1)а то окончательно получается 1~а> ~а Аналогичным образом можно вычислить дисперсию для частиц Ферми. Используя выражения (61.2) и (6!.3) а',= — йт)п(1+ 1 и" т>) а*=~~~ ~а>„ придем к следующим соотношениям: (и>>>) =<%>)(1 — (>>>)) <аА7в) =,'» <.>)<1- <.>)).
(82.12) хеех>> х >' е-ххвах хае «(1+2е '+Зе а" + ...)»х= (ех — 1)а ° (1 — е ")2 нхе е — вх >>х 2 2 нв 6 3 а 1 л %~ 1 на Значение суммы д — = — приведено, например, в [121, с. 226. ,С~~ нв 6 и 245 где введена безразмерная переменная интегрирования х=т>о>7(хТ). Так как*> Последнее равенство после перехода к интегралу представляется в виде е(; — е)((гт) (а№) —" е ' ~ <е( — е)((гт) Флуктуации числа частиц в заданном объеме тесно связаны с вопросом о флуктуациях объема при заданном числе частиц. Действительно, рассмотрим для конкретности газ в сосуде (рис. 14.1), который представляет собой систему Пусть мы рассматриваем систему, представляющую собой газ в части сосуда А, тогда флуктуация состоит в том, что число частиц в А увеличилось на ЛУ.
Очевидно, что при не слишком малых флуктуациях, когда часть В содержит много частиц, ЬХ= — М, (82.13) и где У вЂ” полное число частиц в сосуде, 1( — его объем, ЛР— объем части В. Возводя предыдущее равенство в квадрат и усредняя, найдем (Ьуг) = (Ь№) <М у>г / д<М> где отношение М/(т, равное также производной ( , ) есть средняя плотность частиц. Если подставить <Ьй/г) из (82.5), то получится (82.14) Дальнейшие преобразования имеют своей целью представить эту формулу в более простом виде. При постоянной температуре давление есть функция только так как омега-потенциал пропорционален объему, а давление опредц~ деляется производной †.
В связи с этим можно написать д) д<дт> ~ д<Л(> ~ ~д Поскольку справедливо следующее тождество: дР д / дп" ) дгп* д / д()* ) д<))(> д)1 дн 1 д(т! днд(т д(т (, дн / д(т Г:Н с заданным числом частиц. Предположим, что произошла флуктуация, в результате которой весь газ собрался в части сосуда А, так что в части В молекул не осталось. Это же событие можно трактовать иначе. то (82.14) представляется в виде (д)тг) ИТ ~( д(ЛГ> ) /( ~~~~~ ) =АТ~(д(У>) /(д(М>) 1 Для системы с постоянным числом частиц при постоянной тем- пературе б(Л)=(","') б(т+(","') бай=О и поэтому дР )ют/ ( дУ )л,т ( дР )~вьт Если подставить это выражение в формулу для (Лрт>, то для флуктуации объема в системе с постоянным числом частиц при условии, что температура постоянна, получается (ЬУ~) = — йТ( — ) (82.
15) $ ВЗ. Флуктуации энергии и температуры Рассмотрим флуктуации энергии в системе с фиксированным числом частиц, находящейся в определенном объеме (т. По определению внутренней энергии и учитывая условие нормировки (см. (53.2) и (53.3)1, можно написать <а — и . гттг<ат> "~~ е ™ (й, — (У)=0.
"и (83.1) Пусть число частиц в системе постоянно, т. е. У=<У>, тогда удобно ввести свободную энергию (см. (54.17)1 Р*=И'+р (Ф). Соотношение (83.1) принимает следующий вид: ~~($,— У) е " =О. ъ (83.2) Следует подчеркнуть, что выражение (82.15) относится к достаточно большим флуктуациям, по отношению к которым справедливо предположение (82.!3). Флуктуирующая система тоже должна быть достаточно большой (содержать достаточно много частиц), чтобы к ней имело смысл применять термодинамические соотношения, используемые при переходе от (82 14) к (82.15). Для того чтобы найти среднее значение квадрата отклонения энергии от равновесного значения, т. е.
< (Ю', — У)'),можно продифференцировать (83.2) по температуре. При этом получается Х г др» г 1 „, 1 и*-м„>лат) (3, — (У) ~ — — — — (Р' — Ж,)1 е ~ дТ ЛТ ЛТз » дУ ЧС $ (~'* — У ПЯ~> — '~ е " =О. дТ 21 (83.3) Так как по (54.20) дР'» дц» дТ дТ то из уравнения Гиббса — Гельмгольца (54.11) вытекает др» да» т — -г =т — — (~ +р(и) = — и дТ дТ к, следовательно, (83.3) приводит к уравнению Поскольку (М,) =((Ж,— (У)') ='1р~(ބ— У)'е ч (83.4) то дисперсия энергии определяется следующим простым соотноше- нием: (йа',)=йГ (дгт) . (83.5) Так как ('~) =С„ йи ~ ) йт С.ау, (83.7) где Ст — теплоемкость системы при постоянном объеме, то (83.5) можно также записать в виде (дФ~) =И"тСю (83.6) Формулы (83.5) и (83.6) и есть те основные соотношения, которые определяют величину флуктуации энергии в системе с постоянным числом частиц, находящейся при постоянном объеме.
Если система находится при постоянном объеме, а число частиц в ней постоянно, то с макроскопической точки зрения изменение внутренней энергии связано с изменением температуры системы В связи с этим из (83.6) можно определить величину флуктуаций температуры. Действительно, гюэтому принимают (з|„) =С',(йТ ). Сравнение последнего выражения с (83.6) показывает, что (ЗТз) =йТз~~С„. (83.81 Остановимся на смысле последнего соотношения. В теории Гиббса температура выступает как постоянный параметр, характеризующий в конечном счете термостат, н поэтому говорить о флуктуапиях температуры вроде бы не следует.
Однако при измерении температуры в качестве термостата следует рассматривать ту часть тела, с которой контактирует измерительный прибор. Инерционность прибора, т. е. время, которое ему требуется, чтобы показания установились, определяет в то же время объем части тела, в которой за это время успевает установиться тепловое равновесие. Под теплоемкостью, входящей в (83.8), прн условии, что теплоемкость самого термометра пренебрежимо мала, следует понимать как раз теплоемкость этой части. Если постоянная времени измерительного прибора такова, что тепловое равновесие успевает устанойнться во всем теле, то показания прибора характеризуют флуктуации температуры этого тела. $ 34.
Флуктуации других термединамическнх величин Полученные в предыдущих двух параграфах выражения для <ЛУт> и <ЛТз> позволяют рассматривать флуктуации всевозможных других термодинамических величин, происходящие в системах с постоянным числом частиц. Предварительно отметим, что флуктуации объема и температуры в том смысле, в каком они были рассмотрены выше, статистически независимы.
Это следует из того, что флуктуации объема рассматривались при постоянной температуре и по существу были обусловлены флуктуацией числа частиц, а флуктуации температуры рассматривались при постоянном объеме и при постоянн,ом числе частиц, т. е. никак не были связаны с флуктуациями числа частиц. Если составить произведение ХАТ и усреднить его, то в силу независимости ЛУ и ЬТ усреднение можно производить независимо сначала по ЬУ, а затем по ТзТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
