Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Таким образом, (ЬУЬТ) = (ЬУ) (ьТ) ' Поскольку как среднее значение флуктуации объема, так н среднее значение флуктуации температуры равны нулю, то (ЫЬТ) =О. (84.1) Общий прием вычисления величины флуктуаций рассмотрим на примере флуктуации давления. Ограничиваясь, как и ранее, рассмотрением флуктуаций в малых, но макроскопическнх системах, по отношению к которым только и имеет смысл вводить понятие давления, можем считать, что изменение давления прн постоянном числе частиц есть следствие изменения объема и температуры ар(дР) ау+( — ") ит Возводя это соотношение в квадрат и усредняя, найдем (дрв) ( дР) (Ауз)+2 дР) ( дР) (АуаТ)+( дР) (АТэ) или, учитывая статистическую независимость флуктуаций объема и температуры, (а~ >=( — ) (аут>+( — ) (дТт>.
Выражения для величин <ЛУз> и <АТ'> были получены выше, так что после подстановки их в последнее равенство получим '" =( — ")'~-"( — ")1 ( — ")' — '" = ='ТГ-( — ':),+(Т)'Ж1 Путем несколько громоздких преобразований, которые мы прово- дить не будем, можно показать, что (84.2) эквивалентно следую- Шему равенству: (а >= — ит ( — "1, ( дУ )з' (84.2) / дР т где ( †) — производная от давления по объему при постоян- (дУ/з иай энтропии, т.
е. в адиабатическом процессе. В качестве второго примера рассмотрим среднее значение произведения флуктуаций объема и давления. Поскольку йъьр=иУ~(д ) д,,+(д ) дт1 (дР) а„„+(дР) аббат, то после усреднения с учетом (84.1) найдем ~ дР1 ( пг/г или после подстановки <ЛУ~> (ЕРЕМ) =( — ) ( — йТ)( — ) = — йТ.
Таким образом, флуктуации давления и объема оказываются не независимыми. Из приведенного соотношения видно, что поскольку правая часть отрицательна, то в среднем увеличение объема сопровождается уменьшением давления, и наоборот. 250 Аналогичным образом можно показать, что зависимы флуктуации давления и температуры; <игнат)=('~1 <тат)+('~) (атт)= Этих примеров, по-виднмому, достаточно, чтобы понять метод, которым удобно вычислять флуктуации различных термодинамическнх величин.
$ 83. Шумовые токи Рассмотрим теперь важный в практическом отношении вопрос о шумовых токах, которые часто определяют предельную чувствительность современной измерительной радиотехнической аппаратуры. Ограничимся упрощенным вариантом теории, чтобы можно было использовать простой математический аппарат. Пусть по проводнику длиной 1 и площадью поперечного сечения 5 протекает электрический ток 1. Говорят, что в этом случае мы имеем дело с элементом тока П. Для исследования вопроса о шумах элемент тока удобно представить в другой форме.
Поскольку сила тока связана с плотностью тока соотношением 1=В, а плотность тока, в свою очередь, в силу формул (21.14) и (21.2) может быть представлена в форме ю' = — е1 = — еи (о), (85.1) где о„„ — мгновенное значение проекции скорости электрона с номером а на направление тока (ось х). Сумма берется по всем электронам, находящимся в проводнике. Из последнего соотношения для мгновенной силы тока следует е %1 1(1)= — — '~ з„».
1.2~ "' а Дальнейший анализ будет опираться на это уравнение. (85.2) 251 где л — концентрация электронов,а (о> — нх средняя скорость,то П = 1Я = Лl = — е(о) аЬ'= — е(е) (1'т') (У=51 — объем проводника, (М> =л Ч вЂ” число электронов в нем). Полученное выражение допускает следующую физическую интерпретацию. Электрон, обладающий зарядом — е и движущийся со скоростью п, представляет собой элемент тока — еп. Элемент тока 11 есть просто сумма элементов тока отдельных электронов. Это положение мы примем за основу и будем считать его точным, т.
е. ье только для средних значений, а и для мгновенных, так что 1 (1) 1= ~ — ео„, Ф Физически дробовую составляющую шума можно интерпретировать следующим образом. Каждый электрон, перемещаясь по проводнику со средней скоростью (о„„), создает импульс тока длительностью, равной времени пролета *. Импульсы тока отдельных электронов случайны в том отношении, что случаев момент их возникновения. Для определения реакции цепей и приборов, подключенных к проводнику, на дробовой шум целесообразно перейти к с п е кт р а л ь н о м у п р еде т а в л е н и ю, т. е. представить импульс тока в виде суммы синусоидальных сигналов.
Такое представление можно получить, используя разложение Фурье. Спектральное представление упрощает рассмотрение, так как прохождение синусоидального сигнала через электрическую цепь легко рассчитать, если известна частотная характеристика цепи. Из теории разложения Фурье известно, что спектральная плотность о(оз) импульса тока, форма которого определяется функцией /'(1), вычисляется по формуле (см.(12), с.
544) 8(м)= — ~ у'(1) е — /"'д/. 1 2а В данном случае, имея в виду прямоугольную форму импульса тока, амплитуду которого обозначим А, и выбирая начало отсчета времени посередине импульса, получим +/,/2 8(ы)= — ~ А е — ' /б(. 1 2Я вЂ” /ь/з Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату: А (е~ "/~ — е / 'о/з) А з1п (и/о/2) 8(м) — — . — ге о 2я (и 2п и/е/2 Энергия спектральной составляющей с частотой го пропорциональна квадрату модуля спектральной плотности на этой частоте: )я( ))2 — О е1пз(м/е/2) Амз 4яз (м/о/2)т График этой функции представлен на рис.
14.2. Она достигает максимального значения при нулевой частоте н постепенно убывает с ростом абсолютного значения частоты. При /я=2п/(о функция * В случае генерационно-рекомбинационного шума длительность отдельных импульсов определяется не столько временем пролета, сколько так называемым временем жизни электрона, т. е, средним временем его существования, которое обычно много меньше, чем время пролета. 254 первый раз обращается в ноль и после этого ее значение очень мало. При от=0 Атго (5(0) Р= —. 4пв 21.(5(0)Р= ( ~5( ))аб .
Поскольку + !5(м)!'де=(5(0)(' ~ "" ( ~ ) ба=(5(0)(а 2 ( мпаубу, (его/2)в Го,) на то 2бм= 2пф). Если вместо циклической частоты от ввести обычную 1, то для полосы частот, в которой дробовой шум отличен от нуля, получится ь у' 1 2го ' Интегрирование по частям дает +" + + иле у в!пву г 2 ап усову Ну=†+ у у ~ ~ у 1' в1п 2у ау= ( — ау. у Значение последнего интеграла есть и (см., например, (!2], с. 408). 288 Оказывается удобным ввести понятие о полосе частот, в которой дробовой шум отличен от нуля. Для этого заменяют реальную функцию ~ 5 (от) ) а прямоугольником так, как это показано на рис.
! БмГ 14.2 пунктиром. Высота прямоугольника равна значению квадрата модуля спектральной плотности в максимуме (5(0) )а, а ширина выбирается такой, что- — 2ль' бы площадь прямоугольника равнялась площади под кривой у 2Я~Еа ог (5(от) !а. Ширина обозначена 2Лго, так как физический смысл Рис. 14.2 имеют лишь положительные частоты. Математически равенство площадей записывается следующим образом: Таким образом, для дробового шума имеет место следующее выра. гкение: (дуд,) =2еуау' Устройство, подключенное к шумящему проводнику, может реагировать не на все частоты, содержащиеся в спектре дробового шума. Если оно пропускает полосу частот Л/, приходящуюся на диапазон частот вблизи максимума спектральной чувствительности, т.
е. на частоты, много меньшие/=1/гь, при которой спектральная плотность обращается в ноль, то шум определястся мощностью пропущенных спектральных составляющих. Мощность прошедшего через устройство шума, пропорциональная квадрату силы тока, во столько раз меньше полной мощности дробового шума, во сколько полоса устройства Л/ меньше полосы Л/ .
Таким образом, дробовой игум, действующий на прибор, подклю™ценный к проводнику, обладает дисперсией (д7'„) =2еИу', (85.8) которая пропорциональна силе тока в проводнике и полосе частот прибора. Прохождение случайного тока по проводнику с сопротивлением /? вызывает появление на нем случайного напряжения. Среднее квадратичное значение этого напряжения может быть легко получено умножением (85.8) на квадрат сопротивления: (Ы,р) =/с'(а/др) =2е7ГггЦ. (85.9) Мощность дробового шума в проводнике определяется формулой Р= (а7, ') р( =2етау.
Приведем примеры использования полученных соотношений. Пусть по проводнику, изготовленному из кремния п-типа, идет ток силой 10 мА. Если концентрация электронов в кремнии 10м см-а, что соответствует удельному сопротивлению материала около 1О Ом см, и образец имеет длину 1 мм и поперечное сечение 1 ммэ, то его сопротивление 100 Ом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
