Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Этот же результат можно интерпретировать, исходя из представления о корпускулах (частицах) излучения — фотонах. С последней 'точки зрения каждая бегущая волна представляет собой совокупность фотонов. Каждый из фотонов обладает импульсом р, который в соответствии с формулами (45.4) и (46.4) обладает компонентами р„,= Вй „= В(2я/а) т„., ре»= Вй„.= В (2я/Ь) т„„, (46. 7) Р»»= Вьг = В (2п/с) тг» $4У. Принцип неразличимости Представление бегущей волны в виде некоторого числа квантов обладает одной важной особенностью, которую легко пояснить на следующем примере.
$36 Предположим, что вода наливается в стакан илп вычерпывается оттуда с помощью ковшика определенной емкости. Ясно, что полное количество воды представляет собой целое число объемов ковшика, т. е. можно сказать, что в стакане содержится п (ив целое) ковшиков, или «частиц», воды. Вычерпывая воду, можно вынуть одну, две или даже все и «частиц». Однако частицы воды в одном отношении радикально отличаются от обычных классических частиц.
Действительно, хотя в стакане содержится а частиц, но они безличны, т. е. их нельзя перенумеровать так, чтобы при вычерпывании можно было утверждать, что извлечена частица с данным номером, например третья. Таким образом, говоря о фотонах как о частицах, необходимо иметь в виду, что они неразличимы между собой. Неразличимость частиц имеет существенное значение в различных статистических приложениях, Чтобы пояснить, в чем тут дело, рассмотрим сначала стакан с реальными частицами, например шариками. Если встряхнуть стакан, то шарики изменят свои положения, так что, хотя общее число их не изменится, но все же получилось новое состояние, поскольку одни шарики переместились в положение других.
При встряхивании стакана с водой нельзя говорить о новом состоянии, так как само разбиение на <частицы» воды условно, в 48. Число состояний квантовой частицы в элементе объема и-пространства Представление о фотонах позволяет рассматривать их в полости как идеальный газ квантовых частиц, находящийся в замкнутом объеме.
Учтем теперь, что не всякие состояния фотона возможны. ДейР т ствительно, импульс классической частицы, заключенной в бесконечно глубокую потенциальную яму, может быть любым, а для фотона допустимы лишь значения импульса, соответствующие с формулам (4б.7). Это различие становится более наглядным при рассмот- т»Я ренин пространства импульсов.
Для классических частиц любой вектор в этом пространстве определяет возмож- рх ные значения импульса, а для фотонов по (46.7) допустимы лишь векторы, у которых компоненты по осям есть целые, кратные одним и тем же величинам, а именно: 2яй/а для оси Р„2пй/Ь ДлЯ оси Рч и 2пг1/с ДлЯ оси Р. (Рис. 7.3). Таким обРазом, концы векторов импульса фотона образуют в импульсном пространстве прямоугольную решетку.
Каждому вектору решетки, т. е. каждому ее узлу, соответствует элементарный параллелепипед с объемом 137 ЬЯ=Ер„ар Ьр,— — —.— — . (48. 1) 2пз 2пя 2па (2яз)з ь '. Хотя объем Л(1 и конечен, но с точки зрения наших обычных макроскопических представлений он очень мал. Так, например, в кубической полости с размером а=1 см сторона Лй равна 2пй/а, т. е.
порядка 6,6 10-зг г см с-'. Фотоны с такой разницей в импульсе мало отличаются по длине волны, а именно: ( 2па ) (2па)з ар Лз р / рз 2па а Это соответствует относительной разности длин волн ) аЛ/Л! = Л/а. Даже для световых волн инфракрасного диапазона (Л-1 —:10 мкм) получается очень малая величина (10-' — 10-з). Следует отметить, что выбранные две длины волны не являются соседними, так что разность между соседними длинами волн оказывается еще во много раз меньшей.
Таким образом, хотя в действительности импульсы и соответствующие им длины волн фотонов дискретны, но с макроскопической точки зрения.их можно рассматривать как практически непрерывные величины. Возникает вопрос о числе состояний, приходящихся на элемент объема пространства импульсов о(1, который хотя и считается бесконечно малым с точки зрения наших макроскопических представлений, но фактически много больше, чем Л(1.
Искомое число состояний об равно числу тех векторов импульса, которые заканчиваются в Ж, и приближенно вычисляется, как частное от деления озз на Лз): (48. 2) аа (2пч)з Этот результат тем точнее, чем больше б(1 по сравнению с Ь(1. Возможна несколько другая интерпретация соотношения (48.2).
Величина бу=бз)У представляет собой элемент объема (з-пространства. Выражение (48.2) можно представить в виде с(д=0 у/(2пй)з (48. 3) откуда следует, что число состояний, приходяи(икся на элемент объема (з-пространства, определяется формулой (48.3). Нетрудно показать, что приведенный результат носит весьма общий характер.
Рассмотрим, например, часть оР полного объема сосуда и прежний объем пространства импульсов б(). Им соответствует фазовый объем отличающийся от предыдущего. Сколько состояний приходится на й)? Выделенную малую часть пространства оР следует рассматри- 138 вать как новый сосуд с меньшими размерами стенок. В нем элементарная ячейка Ь11 в соответствии с (48.1), имеет другой, больший размер, а именно а(с = —.
(И1 Число состояний оказывается равным бΠ—— ац (2яя)з (2ялр В новом элементе фазового объема число состояний меньше, чем в том, который рассматривался раньше, так как объем дУ меньше, чем г'. Зато в общем объеме Р число малых объемов оУ равно У/61~, так что общее число состояний сохраняется прежним и при таком расчете.
$49. Квантование в случае частим Рассмотрим частицы, находящиеся в потенциальном ящике. В квантовой механнке их поведение во многом аналогично тому, что имеет место для излучения. Как уже говорилось в $ 45, каждой свободной частице сопоставляется волна де Бройля, т. е. некоторая монохроматическая волна. В бесконечно глубоком потенциальном ящике устанавливаются стоячие волны, причем на длине стороны ящика должно укладываться целое число полуволн. Так же как и в случае излучения, оказывается более удобным заменить стоячие волны на бегущие и для сохранения правильного числа независимых переменных считать, что возможны независимые волны, бегущие в противоположные стороны, но что на длине стороны ящика укладывается целое число волн.
Другими словами, для частиц, как и для волн, имеют место соотношения (46.7), задающие возможные значения компонент импульса. Для них справедлива и формула (48.3), определяющая число состояний, приходящихся на элемент объема и-пространства. Из классической механики известна связь между импульсом и энергией частицы: а=а(2гпь), так что возможные значения энергии равны [( ) -$-( — ') -$-( ) ~. (49.
1) Квантовая механика приводит к неожиданному с точки зрения классических представлений выводу. Оказывается, что реальные тождественные частицы, так же как и фотонЫ подчиняются принципу неразличимости. Этот факт является отражением волновых свойств частиц и подтверждается экспериментом. Все имеющиеся в природе частицы разбиваются на две принципиально отличающиеся друг от друга группы. Они классифицируются по собственному моменту количества движения, который первоначально и, как выяснилось впоследствии, слишком упрощен- но считался моментом количества движения во вращательном движении частицы вокруг своей оси.
Оказывается, что для одних частиц проекция момента на некоторую произвольно выбранную ось может принимать лишь полуцелые значения постоянной Планка й, а для других — только целое. Так, например, для электронов возможны лишь два значения собственного момента количества движения, или, как говорят иначе, спи на, а именно: +й/2 и — й/2, а для фотонов — значения +й и — й. Частицы с полуцелым значением спина носят название частиц Ферми или ферм ионов, а частицы с целым спином — частиц Бозе или б о з о н о в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
