Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Далее обычным способом можно найти различные термодинамические характеристики кристаллической решетки. Так, например, используя уравнение (59. 5) 171 Формула (59.4) относится к волнам одного типа, например продольным, и поэтому в ней опущен присутствующий в (57.6) множитель 2, который учитывает две возможные поляризации электромагнитных волн. Следует различать два случая.
Если верхний предел интегрирования много больше й Т/л, то при интегрировании придется иметь дело и с частотами оз, для которых свй>йТ(Я, т. е. Гиббса — Гельмгольца, получаем выражение для внутренней энергии, связанной с каждой ветвью, и сзс у — = — 342с= 8,21 —, ЧТ4. дцс 44 дТ язазс~~ Здесь учтено, что для фононов )4=0. Теплоемкость кристалла при постоянном объеме есть сумма трех аналогичных членов, каждый из которых обусловлен одним типом колебаний и равен ск= — = 12 84 з Ъ Т'. дУ 44 д7 ' язазсз Прн уменьшении температуры теплоемкость быстро (как Т') стремится к нулю.
В дРУгом пРедельном слУчае сзшзз много меньше ИТ18. Все частоты, которые учитываются в интеграле, в этом случае таковы, что ь 1(йт) <<1. Тогда, например, для внутренней энергии фононов продольных колебаний, частоты которых лежат в интервале 4(44, в соответствии с (58.!) можем, раскладывая экспоненту в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами, получить Последнее равенство соответствует справедливой в классическом случае теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы.
Первый множитель определяет число состояний в интервале частот йсз, а второй показывает, что на каждое состояние приходится средняя энергия ИТЯТ12 на кинетическую и ИТ12 на потенциальную энергию в волне). Если для электромагнитных колебаний формула, соответствующая классическому приближению, приводила к абсурдному результату (бесконечной общей внутренней энергии), то для звуковых волн этого не получается, так как для них имеется верхняя граница возможных частот.
Внутренняя энергия в этом предельном случае описывается выражением и= ~ . Ъ'Ит = — 4444~,„7СТ. (59, 7) 44ссзди 4 з (2ясз)з 3 (2ясз)з о ЕСЛИ уЧЕСтЬ ЗНаЧЕНИЕ сэмзз ПО фОрМуЛЕ (59.3), тО фОриуЛу дЛя внутренней энергии продольных волн можно записать в виде и=дуйт, (59. 8) Поскольку помимо продольных колебаний в кристалле возможны еще и два типа поперечных, то полная внутренняя энергия в рассматриваемом предельном случае равна и = Зиит. (59. 9) 172 Это находится в полном соответствии с принципом Больцмана.
Действительно, атом решетки имеет три степени свободы (движение по осям х, у, а), причем на каждую приходится энергия нТ(йТ)2 иа кинетическую и нТ(2 на потенциальную). Общая средняя энергия одного атома равна ЗйТ, и, следовательно, внутренняя энергия Решетки равна (59.9). Для теплоемкости в этом случае получается постоянное значение с = ~~ = — злтй. дТ Рассмотренные выше два предельных случая соответствуют низким и высоким температурам. Критерий их выполнения может быть записан в следующем виде: при у Склепах I! з е р = л справедливы квантовые формулы, а при Т )) '"'" = — угблз — =О л /г й — классические (принцип равномерного распределения энергии по степеням свободы).
Параметр Од, зависящий от универсальных постоянных (Й, )г) и параметров решетки данного конкретного криСтаЛЛа (СР, Сс), ИМЕЕТ РаЗМЕРНОСтЬ тЕМПЕРатУРЫ Н НОСИТ НаЗВаНИЕ температуры Деба я для этого кристалла. Таким образом, если температура, при которой находится кристалл, много больше температуры Дебая, то можно пользоваться классической статистикой, а если она того же порядка или меньше, то необходнмоприменять квантовую. Квантовые формулы значительно упрощаются, становясь аналогичными формулам для теплового излучения, при температуре, много меньшей дебаевской. Следует иметь в виду, что температуры Дебая для продольных и поперечных волн различны, так как различны скорости распространения этих волн.
Задаем н главе Р 1. Если площадь антенны радиолокатора 5= 10 м' и его приемное устройство регистрирует сигналы в полосе частот 1 мГц на длине волны О,ОЗ м, то какова будет мощность шумового сигнала, когда антенна направлена иа Солнцеу Температура Солнца Т,=6000 К, квадрат отношения радиуса Солнца к радиусу орбиты Земли 5=2,!7 1О '. Р еш е н н е. Излучение Солнца соответствует тепловому при температуре 6000 К. Для длины волны Л=З см отношение (ты(нуь равно Ь е 2ппо — — 10 — 4 « 1, ггТ ЛЛТ 173 так что для излучательной способности можно использовать формулу (58.6), где в данном случае йы=йп 10' с-'.
По мере удаления от Солнца плотность энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, так что у Земли на единицу плошади поступает мощность мхате Еь( )де= Е й (2яс)х Полная мощность, принимаемая антенной плошади 3, есть мх ЗЕе (и) йи= ЗЕ ать д и. (2пс)х Подставляя числовые значения, найдем величину шумового сигнала: 2 !О-ьь Вт. 2. Оцените малярную теплоемкость меди при температуре 900 н — 200'С (скорость продольных волн в меди 4700 и/с, поперечных — 2260 м/с, плотность лебеди 8,9 г/см', атомная масса 64 г/моль, постоянную решетки прилсите равной 0,228 нм). з— Р е ш е н и е. Для температуры Дебая находим 8л —— ртбпз и сф'(Дй) = 618 К для продольных волн и Ох=297 К для поперечных.
При температуре 900'С теплоемкость может рассчитываться по формуле (59.9), так что для малярной теплоемкости получаем 25 Дж/(К моль). При температуре — 200' С (73 К) используем формулу С = 12 84 з )тТ, Дь птьзсз из которой для продольной ветви получаем 1,16 Дж/(К моль), а для поперечных — по 1О Дж/(К моль) (объем (т определяем по отношению атомной массы к плотности). ГЛАВА 10 СТАТИСТИКА ФЕРМИ вЂ” ДИРАКА 9 60.
Фермионы Частицы, обладающие полуцелым спинам (в единицах й), на- зываются фермионами. В отличие от базанов они помимо принципа неразличимости подчиняются еще и принципу Паули, Это накла- дывает особые ограничения на распределение фермионов по воз- можным состояниям, так что статистика фермионов, или, иначе, ста- тистика Ферми — Дирака, сильно отличается от статистики Бозе— Эйнштейна, рассмотренной в предыдущей главе. К фермионам относятся: 1) электроны, 2) позитроны, 3) нуклоны (протоны и нейтроны), 4) некоторые ядра и атомы. Основной интерес представляют электроны, так как позитроны в естественных условиях встречаются редко (они быстро аннигили- руют с электронами), а массы нуклонов, ядер и атомов настолько 174 велики, что к иим в большинстве случаев можно применять классическую статистику.
Как уже упоминалось выше, при очень низких температурах, когда квантовые эффекты становятся особенно существенными, вещество обычно находится в твердом кристаллическом состоянии и тогда статистические свойства удобно рассматривать, вводя представление о фононах (см. $69). Фононы являются частицами Бозе независимо от того, построена решетка кристалла из бозонов или фермионов. $61. Распределение Ферми — Дирана (61. 1) Формально статистическая сумма, входящая в (61.1), подобна сумме (66.4), которая была написана для бозонного газа. Существенная разница, однако, появляется вследствие учета принципа Паули. Если для бозонов суммировние по чвслу частиц в данном состоянии проводилось от л=О до и=со, то для фермионов и может принимать по принципу Паули лишь два значения: п=О н и=1.
Таким образом, ма — ппн(кг), ~ (и — пп!яг! Е;=~~е и о';= — АТ!п(1+ е<е — 'И"г!). (61. 2) !15 Рассмотрим идеальный газ электронов, т. е. будем предполагать, что взаимодействием электронов между собой можно пренебречь. На первый взгляд такое предположение кажется необоснованным, так как электроны обладают зарядом и электрические силы, с которыми они взаимодействуют, весьма значительны. Можно, однако, приближенно учесть взаимодействие электронов методом самосогласованного поля (см. $ 28), т. е.
принять, что они находятся во внешнем электрическом поле, эквивалентном полю, создаваемому самими электронами. В частном случае плазмы газового разряда или электронов в твердом теле (металлы, полупроводники) эквивалентное поле часто равно нулю или очень мало, так как отрицательный заряд электронов компенсируется в среднем равным ему зарядом положительных ионов.
Система невзаимодействующих электронов может быть охарактеризована указанием совокупности возможных состояний отдельных электронов и их распределением по этим состояниям. Аналогично тому, как это было сделано для идеального газа бозонов, выберем в качестве подсистемы одно-единственное состояние с номером й Если энергия этого состояния еь то в соответствии с большим каноническим распределением (подсистема все время обменивается электронами с остальной системой, принятой за термостат) для омега-потенциала подсистемы получается а;= — йт!пЛ,= — йт~'е!"" 'юд" !. и 1ге ='~' 1г; = — йТ ~)' 1п (1+ е!' '>!1 ). (61. 3) ! Из соотношений (61.2) и (61.3) следует еся термодинамика идее>льного электронного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
