Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В классической термодинамике систему можно было заключить в жесткие стенки, но само представление о твердом теле или абсолютно жестких стенках неприемлемо в рамках теории относительности — абсолютно твердое тело передавало бы сигналы с бесконечной скоростью, так как движение, сообщенное одной точке тела, незамедлительно вызовет движение всех остальных точек тела.
В релятивистской термодинамике в отличие от классической стенки влияют на систему. Таким образом, выбор давления в качестве предпочтительного независимого переменного и соответственно энтальпин в качестве естественного термодинамнческого потенциала связан с теорией относительности. Обобщим выражение (8.8) на движущиеся системы. Согласно теории относитечьности, при действительных координатах х =сг, х, =х, х,=у, хе=к преобразования компонентов 4-вектора А(Ае, А,, А,, А,) имеют вид Аю~+()А(о~ А~о~+()А~щ Ао= А = Аз=А1о~ Аз=Азы г~ ()з ' д ()з Объем Р; давление р, импульс й и внутренняя энергия (Г ограниченной в некотором сосуде системы преобразуются по формулам: Раа /~ Из р рю> (Пни+ (о~ р'ю)) (гю)+Вз гл 1 щ> (8.10) ',г'): р' ',у):р' Переход тела из системы К'ы в систему К можно осуществить без сообщения теплоты (адиабатно) и, следовательно, без изменения энтропии. Таким образом, энтропия является ннвариантом преобразований Лоренца: 5 ел (8.11) Этот результат непосредственно следует также из статистического выражениа для энтропии Я=к!п И', согласно которому энтропия макросостояния системы ы См.
Каллеи Г., Горниц Дж. Релятивистская термодинамика Д УФН. 1972. 107. Вып. 3. С. 489. 151 определяется числом реализующих его микросостояний, а число состояний, как и число частиц Н, не зависит от скорости тела и, следовательно, не изменяется при преобразованиях Лоренца. Если лоренц-инвариантные величины б, р и Н взяты в качестве независимых переменных, то и термодинамический потенциал при этих независимых переменных — энтальпия (8.8) — также лоренц-инвариантен.
В собственной системе отсчета энтальпия равна Н'в'=Н'в'+р'в' Р'в'. Чтобы получить выражения для энтальпии движущегося тела, воспользуемся следуюшим. Из теории относительности известно, что энергия и импульс изолированной системы образуют 4-вектор (Цс, 8„, 8н 8, ). Энергия же и импульс системы в сосуде [см. (8.9) ) не образуют 4-вектора.
Это связайо с тем, что система в сосуде сама по себе не является изолированной, поскольку на нее действуют силы давления со стороны стенок сосуда. Согласно формулам (8.10), для такой системы 4-вектор образуют энталытия и импульс: (ич-рР 8 8р 8. (8.12) с В собственной системе энтальпия представляет собой (умноженный на с) нулевой компонент 4-вектора энтальпии-импульса М'в'=~ .
а. о, о~. с Поэтому энтальпию Н движущегося тела можно отождествить с инвариантной функцией 4-вектора Ле, к= ~ '~=итог~и'- *е. (8.13) Это выражение для энтальпии в соответствии с (8.8) будет иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Поскольку знание термодинамнческого потенциала системы позволяет определить все ее термодинамические свойства, то нахождением выражения (8.13) для инвариантной энтальпии в принципе завершается построение релятивистской термодинамики.
Теперь остается получить основное уравнение релятивистской термодинамики и определить все термодинамические следствия соотношений (8.8) и (8.13). 8 37. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ Интенсивные параметры Т, р и другие, будучи лоренц-инвариантамн, определяются точно такими же соотношениями, как и в нерелятивистской термодинамике: Т=(дН(дБ)р,я, (84) р=(дН/дФ)в,р. (8.15) так как (дН/дб)ен=(дН") дбт)ли и= Т в'= Т, (дН(дН)в е=(дНы) дН)в.
<о~ В противоположность этому экстенсивные параметры в релятивистской термодинамике нельзя определять такими же соотношениями, как в классической термодинамике. Действительно, так как Р= Р'в' сс) — бх, то (д '")"~ ~и)'. ег' е Таким образом, дифференциал энтальпии движущегося тела имеет вид дН=Тдб+ дрч-рдН. (8.17) Г) ()з Это дифференциальное уравнение для инвариантной энтальпии является основным уравнением релятивистской термодинамики. 152 Уравнение (8.17) с помощью преобразования Лежандра можно привести к другим независимым переменным, например Ь, (г, )У.
Тогда, вычитав из обеих частей уравнения (8.17) дифференциал г)(рР7 !) -()з), получаем г) Н вЂ” =Т6Ь вЂ” р Ь +рЬН. Леваа часть этого уравнения представляет собой дифференциал лоренцинварианта, который в собственной системе отсчета равен внутренней энергии (7'е'. !) Ьз Таким образом, при независимых переменных Ь, У, Н основное уравнение релятивистской термодинамики определяет не (7(Ь, )г, Н), а (7ш' (Ь, 1; Ф). Аналогично, при независимых переменных Т, 1; Ж, основное уравнение определяет не г(Т, 1', Ф), а гче( Это указывает на то, что для релятивистской системы энтальпия, а не внутренняя энергия, является естественным термодинамическим потенциалом.
Пользуясь основным уравнением релятивистской термодинамики (8.17), можно решить любой вопрос термодинамики движущихся систем. Ь 38. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ РАБОТА И КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ В собственной системе отсчета элементарная работа термодинамнческой системы равна рд)'е'. Чтобы подсчитать работу системы в движущейся системе отсчета, будем исходить из формулы (8.10) для внутренней энергии, предполагая, что термодинамическая система совершает только работу, так что ЬИ'= — д(/ и д(7'е'= = — ргП«е( Тогда Ь(гш)+г)(г)зр)г~о)) рб)«м Ь(()зр)г<е>) Ь Иг= — гП! —— ,7Ь,78 и работа термодинамической системы в движущейся системе равна онз~ Ь ЬИ =до~ з.
()з (8.19) 153 Если энергия термодинамической системы изменяется не только при совершении работы, но и за счет сообщения ей теплоты, то <)(/=ЬД вЂ” ЬИ', Ь(гш'=бауш' — рд)«е' и с помощью (8.10) и (8.19) находим г)(7(о)+Ь(агар)г(о)) Ьдш~ лги«ш1г)(()зр~ (о)) Ьд(о) ьд=ьи+ьи = +ьи = +ьи = Д ()з ,!):о' Таким образом получаем выражение для релятивистского количества теплоты Ьм ~ш ьд= (820) ,ут-Ь' совпадающее с результатом Отта (8.2). Из формулы (8.!9) видно, что выражение для работы термодннамической системы в движущейся системе координат содержит не только слагаемое с рЬГ, но и с г)р. Такой дополнительный вклад в релятивистскую работу обусловлен относительностью одновременности. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим систему в закрытом цилиндре (длиной ! и плошадью сечения г), коаксиальном с направлением движения.
Пусть в системе происходит процесс, при котором давление Ро Ро Г( Г? (з Е Рис. 26. Рис. 25. (8.22) 154 возрастает от ро до р,. В собственной системе отсчета этот процесс описывается графиком, приведенным на рис. 25. В движущейся системе давление на передней 1, 2 и задней 3, 4 стенках начинает возрастать не одновременно и конечное давление также достигается в различные моменты времени (рис. 26): 01 (о( 2 т 6 01 (о(!с? (2= (2 = ,2 Г) !)2' Г) пг?' () !)2 Следовательно, работа, совершаемая над системой на задней стенке, не равна работе, совершаемой системой на передней стенке.
Обусловленная относительностью одновременности передача энергии системе равна заштрихованной на рис. 26 площади, умноженной на 20. Легко видеть, что эта дополнительная работа приводит к увеличению внутренней энергии системы, равному вычнтаемому в выражении (8.19)( (0( (12 1, (0((!р он? )?()р (р р) (8.21) с?.1) В „ГР =1-8' где р(?Р Р( — сила давления; р(2001(0)(с? '! — ()?) — работа этой силы при перемещении 001(0(1(с? (1 — !3?) тела за время 01(0(((с? 11 — 8?) релятивистского запаздывания изменения давления на передней стенке по сравнению с ее изменением на задней стенке.
Заметим, что вследствие относительности одновременности ограничивающие систему стенки оказывают на нее нетривиальное влияние. Действительно, при движении системы в цилиндре задняя его стенка совершает за 1 с работу р?о над системой, такую же работу совершает система на передней стенке. Таким образом, через систему вперед протекает энергия, которая возвращается обратно через боковые стенки. В результате импульс системы увеличиваетсл, а импульс стенок уменьшается. Импульс, переносимый этим потоком энергии, нетрудно вычислить (см. задачу 8.2): Д8 12 р (о(/(с? (г) !)2) Поэтому длл движущегося наблюдателя импульс системы равен т о (((о( о р Р(о( о ((((о( Ьр )?(о( ) 8=то+Д8= +Д8= + = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
