Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(8.23) (1 п? /1 82 с? (! !)2 с? (г) !)2 Нетрудно видеть, что он совпадает с импульсом (8.10), который следует из преобразования 4-вектора энтальпии-импульса (8.12). Поэтому приведенное рассуждение обосновывает введение 4-вектора (8.12). Из него также видно, что появление р!'0' в (8.12) обусловлено потоком энергии, возникающим в результате действия стенок, и связано с относительностью одновременности.
Особенно наглядно в этом можно убедиться на примере фотонного газа (см. задачу 8.3). 8 39. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ ПЛАНКА И ОТТА Получим релятивистские преобразования Планка и Отта для температуры и количества теплоты и обсудим причину их различия. Прежде всего заметим, что принимаемые Планком и Оттом неизменность вида уравнения второго начала во всех инерциальных системах отсчета (Ь!З'о'= = Тю'6Бю', ЬД= Тг)5) и инвариантность энтропии ЬЩТ=ЬЯач/Тю' приводят к тому. что Ь!7 и Т должны изменяться по одному и тому же закону. Рассмотрим расширение газа (жидкости) в сосуде, покоящемся в системе К'о' 5 Равнение первого начала для этого процесса в системе К Ь(э =г((/-РЬ Вг, Ь)р=р 0 Р-(», 08), причем (8.24) где первое слагаемое соответствует работе расширения газа при изменении его объема, а второе — механической работе внешних сил над системой в термо- динамическом процессе.
Действительно, исходя из уравнения движения 08 — =р, йг (8.25) (Р— суммарная сила, действующая на газ), для элементарной механической работы силы над термодинамической системой находим (Рм тг)г)=(т, г)й). Таким образом, ЬСг=г)(Г+рг)У вЂ” (т, г)8). Подставляя в правую часть этого уравнения выражения (8.!0), получаем г)(/!о~ ого)(рР!о!) ог г)(/!о'+г)(руге!) Ь!'З = Ч- +р г))гш' Г1 — )3г — —, гг! — (У с' /г! — (3' с' /! (3г ~0(7(о>„0)г<о~~ /! онг Ьд(о~ /! онг Следовательно, по Планку, а=ага) /! ()г, Т=тго) т — Т1, В отличие от Планка Отт исходил из уравнения движения (8.26) 155 г) ч (8.27) /! ()г называя (в соответствии с физикой Галилея) силой то, что вызывает ускорение, и принимая (в противоположность взглядам Аристотеля), что для поддержания постоянной скорости движения никакой силы не требуется.
Поэтому, по Отту, механическая работа в термодинамическом процессе равна работе движущей силы (8.27) и, следовательно, должна определяться изменением не полного импульса 8, а только его части 8 — цт/сг, не солержащей импульса !'„!т/с массы г2/с, переданного телу при теплообмене. Действительно, уравнение движения (8.25) можно записать в виде <1 гг пгот гг г) ч агат — — /=ш,— + =р,=р-ьп, (8.28) где П вЂ” немеханнческая потеря импульса за !с, обусловленная потерей массы покоя с определенной скоростью (как у ракеты или при сообщении телу теплоты, или при излучении). Если за ! с телу сообщается количество теплоты м, то оно получает при этом массу д/сг и импульс дт/сг, поэтому г) Д и элементарная механическая работа равна ЬД (И «й)= «, дй- — «).
з ) Таким образом, Ь(„3 3 с' ЬИ'=рг))с — «, г)8 — — «)=рдК вЂ” («, г)8) — — ЬД сз ) сз (8.29) 8 40. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В качестве примера применения релятивистской термодинамики рассмотрим одноатомный идеальный газ и равновесное излучение. В собственной системе отсчета термическое и калорическое уравнения состояния, выражения для энтропии и термодинамических потенциалов моля идеального газа имеют такои вид*': " Для получения соответствующих выражений для « молей идеального газа надо в формулах для мола газа заменить Я иа «й, где )3 — молярная газовая постоянная. 156 и уравнение первого начала в системе К имеет вид Ьд=о(!+рб)с — («, г)8) Ч-(3«ЬО, откуда с помощью уравнений (8.10) получаем преобразования Отта: 0=('.)ю!) ГГ1:Р', Т=Т!е) ~~ — бз.
(8.30) Как видно из уравнения (8.28), сила Еи определяемая как временная производная импульса, равна сумме истинной механической силы р, определяемой по ускорению и импульсу Н, немеханически теряемому телом за 1 с. Отсюда следует, что механическую работу в термодинамическом процессе определяет сила Р, а не Р„, т. е. в уравнении первого начала надо учитывать работу только силы Е Это подтверждается также тем, что работа (8.29) именно этой силы совладает с работой (8.!9), полученной в релятивистской термодинамике с инвариантной температурой. Действительно, с помощью (8.10) и (8.30) выражение (8.29) принимает вид сз гл11!о1+ л (р)с!о!Ц з Ь~З Ьцс=рбр- + сз П (3' сз Г1 ()з бг(Ьд(о>+ ~«о) ! ) (3«Ьд~о) !3«)сб =рбУ- ч- =рбичто совпадает с (8.19).
Из (8.31) замечаем, что механическая работа давления в термодинамическом процессе (Р, «г)г) равна — ()з)сдр/(1 — ()з) н, следовательно, обусловлена относительностью одновременности. Таким образом, в релятивистской термодинамике с инвариангной тем- пературой только релятивистские выражения Отта для работы (8.29) являются правильными. Тем не менее (см. Ь 35) никакого физического различия между формализмами Планка и Отта в применении к различным процессам нет.
Однако все же наиболее естественным релятивистским обобщением термодинамики является, как мы видели, релятивистская термодинамика с инвариантными температурой и энтальпией. рр252=КТ и242=2/ Кт Т 522 К1п(тз221252)+С 111п +С р и(оз(122оз Я)- 2(/гиз)22з Р252(122о' У) и251 ТК з/ КУ1в (1 1п т) КТ1п Р зоз УС С з (р, Т)=5/ КТ(1 — 1п Т) +КТ1п р — ТС, Г 2(Я вЂ” С)1 Н 252( р Я 5/зйр225 ехр ~ ~ 5К ~ В движущейся системе отсчета соответственно получаем: рг =Кт,/~ — Р', и и(оз+Рзр/2(оз з/ КУ 1 Рзйт (34 2Р2) изоз 2 /1 — (32 /1 — рз 3 /т- р2 у зпу ут522 Я=К!и +С=К!п — +Сз, (3+грз) к ( 2(к с)1 и( ) = 2 (1 рз)пз 12222 ехр (2 3+гр' тз22/ Е(, Т)= и — ТЯ= КТ вЂ” КТ1п — ТС, С(р, У)=С '(р, Т), Н(р, К)=Н '(р, К). Для равновесного излучения в собственной системе отсчета имеем; р=з /заТ4 и2о\ от412242 '2 НЗ 4/ птз/2242 изоз(К Р) о/2(оз 4о Р'и Р242(12щз Т) 2/зт4122зза Сиз(р Т) 0 Нззз(Б р) К(3р/о)224 В движущейся системе соответственно имеем: р= ~/ оТ4 и=з/ (35-рз)отзыв Ю=, и(Р;К)= о ~ : 3 1, 4оР р(у, т)=и — тк= ' ыт4У, (3+ рз).
/Г- р' -4 / Зрй 224 С(р, т)=б, Н(р, К)=К~ — ) Термодинамика релятивистского газа развита в работах Н. А. Черникова на основе кинетического уравнения Больцмана — Черникова. 157 8 41. эВОлюция ВселеннОЙ ИО сОВРеменнОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ До сих пор в этой главе термодинамические свойства тел рассматривались на основе специальной теории относительности (СТО) без учета гравитационного поля.
Рассмотрим теперь вопрос об эволюции Вселенной на основе современной релятивистской теории гравитации. Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский„ состоит в установлении единой абсолютной пространственно- временной формы бытия материи †пространствен-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами у„„(х) пространства- времени.
Например, в произвольной неинерциальной системе координат о' метрические коэффициенты у'„„оказываются функциями координат х этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно о' и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора у'„„по соответствующим координатам. Кинематически силы инерций характеризуются тем, что «вызываемые» ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс.
Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором е„„, но уже в римановом пространстве-времени. По Эйнштейну, все физические процессы протекают в гравитационном поле совершенно так же, как и без гравитационного поля, но в соответствующим образом ускоренной (трехмерной) системе координат.
Гипотеза Эйнштейна о том„что поле тяготения можно полностью заменить ускоренной системой отсчета, называется принципом эквивалентности. При построении теории тяготения, названной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), он всецело исходил из принципа эквивалентности гравитационного поля нужным образом ускоренных систем отсчета.
А так как разным системам отсчета соответствует разная метрика пространства-времени, то Эйнштейн принял за гравитационное поле метрический тензор е„„ риманова пространства-времени. Так принцип эквивалентности привел к отождествлению метрики и гравитации: компоненты метрического тенэора в ОТО являются в то эке время потенциалами тяготения.
Гравитационное поле я„„зависит от распределения и движения материи и определяется уравнениями Гильберта — Эйнштейна для тензора кривизны А„„: 158 (В.Зг) где 0=6,67 1О " мз/(кг с') — гравитационная постоянная; Я— скалярная кривизна, которая, как и Я„„, выражается через я„„; Т„„— тензор энергии-импульса вещества.
Основанная на уравнениях Гильберта — Эйнштейна теория тяготения (ОТО) иногда может привести к результатам, прекрасно совпадающим с экспериментом. Так, по данным наблюдений, перигелий Меркурия поворачивается на 43 угл. с в столетие; по теории тяготения Ньютона и по другим теориям, использующим измененный ньютонов потенциал, этот поворот раза в три меньше наблюдаемого, по ОТО поворот равен 42,98 угл. с, т. е.
в точности совпадает с действительным! Аналогично, как было установлено во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 г., близкие к наблюдаемым дает ОТО и результаты для отклонения лучей света, проходящих вблизи Солнца (1,75 угл. с). Вместе с тем в своем развитии ОТО пришла как к неустранимому внутреннему противоречию, так и к ряду физически неприемлемых результатов.
Действительно, при создании ОТО Эйнштейн, обосновывая эквивалентность сил инерции и гравитации, исходил из равенства инертной и тяжелой масс, экспериментально установленного с очень большой точностью. Однако, как оказалось, в окончательной теории равенство инертной и тяжелой масс не выполняется! Впервые на это указал В. А. Фок. Кроме того, как отмечал еще в 1917 г. известный немецкий математик Д. Гильберт, в ОТО не выполняются законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения вещества и гравитационного поля вместе взятых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
