Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Показать, что, согласно условиям устойчивости равновесия, при Т- 0 К в температурной зависимости теплоемкостей С и Сг вида С=аТ" (а=сопя!) показатель л> !. 6.10. Показать, что если в некотором устойчивом состоянии однородной системы (др(дЬ')г=О, то в этом состоянии (О'р(дУ»)г=О а (дзр)д?хз)г(0. 6.11. Показать, что если в некотором состоянии (дТ)дБ)»=0, то для устойчивости такого состояния должна одновременно обращаться в нуль также и вторая производная (ОзТ)джаз) =О, а (О»Т)дбз~ )О.
6.12. Показать, что если в некотором устоичивом состоянии (дТ)дЪ'),=О, то в этом состоянии (д'Т)дУ*)»=0, а (О»Т)дУ»)» может быть как положительной, так и отрицательной. 6.13. Показать, что если в некотором состоянии (Ор)дб)г — — О, то для устойчивости этого состояния должна одновременно обращаться в нуль и вторая производная, а (дэр!д5»)к~~О. 6.14. В некотором состоянии однородной системы (др/д)')»=0. Каковы условия устойчивости этого состояния? 6.15.
Свободная энергия Е неравновесной системы при данных внешних условиях, по Леонтовичу»', равна Г(х) =0(х)- и, где и †потенциальн энергия силового поля, при котором состояние х является равновесным; 6(х) †свободн энергия этого равновесного состояния, соответствующего измененным внешним условиям сисгемы— наличию внешнего поля. Показать, что общее условие равновесия системы в термостате при постоянном объеме †минимальнос свободной энергии при равновесии †установленн нами из основного неравенства термодинамики для неравновесных процессов, можно также получить из невозможности вечного двигателя второго рода (первая часть второго начала), используя выражение (1) для свободной энергии неравновесной системы. *' Смх Леонтович М.
А. О свободной энергии неравновесного состоя- нияЛЖЗТФ. 1938. 8. С. 844. ГЛАВА СЕДЬМАЯ ТЕРМОДИНАМИКА СИСТЕМ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ Исходя из второго начала термодинамики, мы установили (см. 5 14), что отношение абсолютных температур Т, и Т, двух состояний какой-либо системы выражается показательной функцией (7.1) где ( дЯ! дг). Ф (аи/да),+А ц Отсюда обычно делается вывод, что термодинамическая температура не может менять свой знак, что ее всегда можно считать положительной (или только отрицательной).
Такой вывод, однако, превышает то, что в действительности выражает соотношение (7.1), полученное при анализе квазистатических процессов и устанавливающее, что абсолютная температура Т не может менять знак при квазистатическом переходе иэ одного равновесного состояния в другое. Поэтому оно оставляет открытым вопрос об изменении знака Т, если система переходит из одного равновесного состояния в другое нестатическим путем.
5 Зь сущестВОВАние сОстОяний с ОтРицАтельнОЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ Вывод о постоянстве знака температуры Т из выражения (7.1) можно сделать только тогда, когда к нему дополнительно присоединяется утверждение, что состояния, достижимые из данного неравновесно, всегда достижимы из него и равновесно. Это утверждение, как показывает опыт, справедливо во всех случаях обычных, чаще всего встречающихся систем. Поэтому для таких систем термодинамическая температура не может менять знак и ее всегда можно считать положительной (или ~олько отрицательной).
Из одного же соотношения (7.1) без указанного дополнительного утверждения не следует невозмож- 136 ность существования наряду с положительными и отрицательных температур. Нельзя отрицать возможность существования отрицательных абсолютных температур и исходя из третьего начала термодинамики. Действительно, недостижимость О К температуры приводит лишь к невозможности перехода через него от положительных к отрицательным абсолютным температурам, но не исключает возможности существования отрицательных абсолютных температур (наряду с положительными температурами). Состояния с о~рица~ельными абсолютными ~емпера~урами не только возможны, но и существуют в действительности.
Многочисленные эксперименты по ядерному магнитному резонансу привели в 1951 г, к созданию состояний с отрицательными абсолютными температурами. Условия для существования системы при отрицательных абсолютных температурах, как мы увидим ниже, являются настолько жесткими, что такие системы редко встречаются в практике, исключая некоторые системы ядерных спинов.
Отрицательные термодинамические температуры достигаются не посредством отнятия у системы всей энергии теплового движения, а, наоборот, сообщением системе энергии больше той, которая соо~ветс~вуе~ бесконечной температуре. У большинства тел это сдела~ь невозможно, так как у них при бесконечно высокой температуре внутренняя энергия бесконечна. Такие системы не могут находиться в состояниях с отрицательной температурой, если для них уже выбрана положительная температура. Однако у некоторых систем внутренняя энергия с ростом температуры Т- <ю асимптотически приближается к конечному граничному значению, а это позволяет получить состояния систем с отрицательной температурой, когда ей сообщается энергия, большая данного граничного значения. В ~аких состояниях система, обладая энергией, большей энергии при бесконечной температуре, имеет «ультрабесконечную» температуру. Но в математике нет «ультрабесконечности» на числовой прямой, а есть ~олько бесконечно удаленная точка, и если мы эту ~очку перейдем, то будем приближаться к О К с отрицательной стороны (рис.
22): направо от нуля по числовой оси, покидая + со, 6 ТК 137 -3-г-1 а 1 г 3 Рис. 22. придем от — со к нулю. Числовую ось можно спроецировать на числовую окружность, где бесконечно удаленной точке соответствует самая верхняя точка окружности. Обходя окружность против часовой стрелки, получим всю числовую ось. Таким образом, при отрицательной температуре система не холоднее, чем при +О К, а горячее, чем при бесконечной температуре (+со К). Другими словами, область отрицательных абсолютных температур лежит не «под 0 К», а «над бесконечной температурой». Поэтому отрицательные температуры выше положительных. Температура в направлении ее роста проходит на шкале в последовательном порядке значения: +0 К, ..., +500 К, ... + оо, ..., — 500 К, ..., — 0 К.
(7.2) Температура +1000 К является промежуточной между +500 и — 500 К. Искусственность приведенного построения Т-шкалы является случайным результатом произвольного выбора обычной температурной функции. Если бы температурная функция была выбрана в виде — 1/Т, то самые низкие температуры соответствовали бы — со для этой функции, бесконечные температуры на обычной Т-шкале — нулю, отрицательные температуры — положительным значениям этой функции. Для такой температурной функции алгебраический порядок и порядок хода от меньшей к большей температуре были бы идентичны.
Функция — 11'Т часто используется в термодинамике при исследовании свойств сне~ем в области 0 К, так как она позволяет «расширить» температурную шкалу при низких температурах. Из изложенного видно, что для отрицательных температур Т* = — 11' Т-шкала*' по многим причинам более удобна, чем Т-шкала. 8 32. СИСТЕМА С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ Следующая простая модель показывает, как на практике осуществляются отрицательные термодинамические температуры.
Пусть имеется система «элементарных магнитов» (например, электронные, атомные или ядерные магнитные моменты) во внешнем магии гном поле Н. Согласно квантовой механике, положение этих элементарных магнитов в поле Н квантуется, т. е. угол между направлениями магнитного момента и напряженности Н поля может принимать только определенные значения.
В случае спиновых магнитных моментов этот угол имеет только два значения: 0 н 180'. Оба эти положения спина являются одинаково устойчивыми, хотя для магнитной стрелки компаса *' Эта шкала, предложенная В. Томсоном в 1848 т., не получила, однако, распространения. Позже им была предложена Т-шкала, в которой температура имеет конечный наименьший предел. !38 т ок т вк а) 4 к) Ряс.
23. устойчиво только одно ее положение — вдоль напряженности магнитного поля. В этом состоит отличие квантовой системы от классической. При низкой температуре молекулярные магниты устанавливаются в сильном магнитном поле, как показано на рис. 23, а, т. е. приходят в состояние с наименьшей энергией (или, как говорят, в системе заняты преимущественно более низкие энергетические уровни). При сообщении системе магнитов энергии (приводящей к увеличению ее температуры) уже не все магниты ориентируются по напряженности поля, и чем большую энергию получает система, тем более беспорядочным будет распределение магнитов.
Наступает такой момент, когда беспорядочность становится полной — система полностью утрачивает намагниченность. Это соответствует температуре Т= + со, характеризующей равномерное распределение частиц по всем энергетическим уровням (рис. 23,б). Продолжая сообщать энергию системе, можно достигнуть того, что элементарные магниты ориентируются против напряженности внешнего поля (рис. 23,в) так, что возникает преимущественная заселенность верхних энергетических уровней (инверсная заселенность уровней). В этом состоянии внутренняя энергия системы больше, чем при бесконечно высокой температуре, и, следовательно, система имеет отрицательную температуру. Сформулируем основное условие, которому должна удовлетворять система, находящаяся в состоянии с любой отрицательной термодинамической температурой: энергия термодинамической системы должна иметь конечное предельное значение при Т-+аз и конеч- 0 ное число энергетических уровней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
