Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так как интегралы движения могут быть выражены через начальные координаты и импульсы 4 и Р1, то эргодичность макроскопических систем, обладающих неимоверно большим числом степеней свободы, как-то связана с чрезвычайно сложным характером их движения. В результате такого движения они почти полностью «забывают» свое начальное состояние, сохраняя только «воспоминание» о своей полной энергии. Конечно, такое антропоморфное описание эргодичности не дает ее научного объяснения, которое остается не полностью выясненным до настоящего времени (см. п. 3 настоящего параграфа).
Необходимо также отметить, что если равновесная замкнутая система движется поступательно и равномерно или равномерно вращается относительно наблюдателя, то равновесные значения ее внутренних параметров зависят не только от энергии системы, но и от ее полного импульса и вращательного импульса. Такая ситуация встречается при рассмотрении астрофизических и геофизических проблем и в этой книге мы с ней сталкиваться не будем.
Конструктивный подход для вычисления средних значений внутренних параметров для макроскопических систем был намечен Больцманом и затем развит в последовательную теорию Гиббсом. Идея заключается в том, что наблюдаемое в равновесии Р опреде- 40 РАСпРЕделения В клАссической стАтистикк (гл. и ляютне как среднее повремени, а как среднее по соответственно выбранному статистическому ансамблю систем. Так как, согласно (1; 3.3), Ат'=р(д, р, 1)й),с(д,... г(г),г(р,г(р,...
Йр, — число систем'), У котоРых кооРдинаты дг и импУльсы Р; лежат в интеРвалах (дь дг+Й~;) и (РО Р;+г(Р,), то — Щ) (г(р) =в(д, Р, 1)с(Г, (2.2) где ги= (р/)))) йà — вероятность того, что для случайно выбранной системы ее координаты и импульсы лежат внутри объема с(Г = = Ф)) (с(Р). Из (1; 3.4) следует: ~ ю (д, р, 1) г(Г = 1, что совпадает с условием нормировки вероятности.
Из (1; 4.20) следует, что для данного статистического ансамбля с функцией распределения р (д, р) = ЛЪ(д, Р) среднее значение Р (д, р) равно Р = ~ Р(р, Р)ю((, Р)(йр)((Р). (2.4) Проблема, таким образом, заключается в том, чтобы выбрать статистический ансамбль так, чтобы средние по нему совпадали с опытом.
2. Мы введем для замкнутой системы, находящейся в состоянии статистического равновесия, функцию распределения р(д, р) постулативно, обосновывая наш выбор тем, что все полученные из нее результаты блестяще совпадают с опытом'). Причем это совпадение имеет место не только для вычисляемых средних значений величин, но и для малых отклонений от средних, наблюдаемых в системах (флуктуаций). Такой подход является принятым и в других разделах теоретической физики.
Уравнения классической механики Ньютона или уравнения электромагнитного поля Максвелла не выводятся из более простых принципов, а постулируются как законы природы, справедливость которых подтверждается огромным числом полученных из них следствий. Введем постулативно для замкнутой системы, находящейся в статистическом равновесии, так называемое микроканоничаское распределение, для которого плотность р постоянна вдоль гиперповерх- ')Мы для краткости будем говорить «число снстем» вместо «чнсло фазовых точек систем».
») В области применимости класснческой статнстнкн, основанной на классической механике. й 21 ИНКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ности постоянной энергии ЯР (д, р) =6 . Заметим, что если система обладает очень большим числом степеней свободы а, как это имеет место для макроскопического тела, то число измерений гиперповерхности Я~(!/, р)=б"., равное 2а — 1, «почти совпадает» с числом измерений 2Е самого фазового пространства. Можно показать (см. Приложение 5), что для пространства очень большого числа измерений объем, ограниченный некоторой замкнутой поверхностью, практически весь сосредоточен в очень тонком слое вблизи этой поверхности.
Это обстоятельство лежит в основе так называемой «нечувствительности» формулы Больцмана для энтропии, рассмотренной в 9 3 гл. 1Ч. Микроканоническое распределение может быть представлено в виде !а= сопз( в слое 4' <Я~(!/, р) ( 8+ ц4', '( и!= О вне этого слоя; ( (2.5) при этом предполагается выполненным предельный переход ЬК7 — О. Из (2.5) видно, что !и (или р) определено, если известно значение Яг" (д, р), т. е, функция распределения р=р(ЯР). Из теоремы Лиувилля мы знаем, что в этом случае распределение стационарно, т.
е. др/д! = О. Это во всяком случае необходимо для того, чтобы ансамбль описывал статистически равновесное состояние. Микроканоническое распределение можно представить в виде в(!/, р)=СЬ® — Я~(д, р)), (2.6) где С вЂ” нормировочная константа, Ь вЂ” дельта-функция ширака '). Если энергия системы 8 задана и система финитна, т. е. ее координаты !/! могут изменяться только в конечных пределах, то гиперповерхность ЯР(!/, р)=К7 замкнута и ограничивает конечный 2а-мерный объем фазового пространства, равный Г(8)= ~ ...
~ ЩН!/,... й/,«(р,а(ра... «(р,. (2.7) х«!а, Р!<и Объем слоя Г-пространства, заключенный между поверхностями Я~(!/, р)=4' и Я~(!/, р)=ку+Нку, равен „, !1«7= — а(8) Ю, где величина й(~) =!(Г(ф".)/!1ЕУ называется статистическим весом системы. Подставляя (2.6) в (2.3) и интегрируя по слоям 45"', получим С~б(г — г)а(г) (г =1 (2.9) х) Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, М., 1959, иад. второе, $!1, 42 ГАСПГЕЛЕЛЕИИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ [гл. и или Сд(~)=1, т.
е. С=!ф(8). (2.10) Микроканоническому распределению (2.5) или (2.6) соответствует гипотеза о равновероятности равновеликих областей фазового пространства, доступных системе, т. е. предположение, что вероятность некоторого состояния пропорциональна соответствующему объему фазового пространства.
В самом деле, если состоянию системы соот. ветствует конечный объем фазового пространства йГ, то соответствующая этому состоянию вероятность гаьг = ) гэдГ=в ~ дГ= сопя!.ЛГ, (2.1!) ьг ьг так как гэ=сопз1. Микроканоническое распределение может быть наглядно сопоставлено с теоремой Лиувилля. В самом деле, пусть некоторому начальному состоянию системы соответствует объем фазового пространства ЙГ, конечному состоянию — объем ЬГ'. По теореме Лиувилля ЛГ'=ЛГ, но тогда, как следует из микроканонического распределения, вероятности обоих состояний одинаковы. Таким образом, мы приходим к правильному выводу, что механически детерминированному (т.
е. с вероятностью, равной единице) переходу системы из начального состояния в конечное соответствует одинаковая вероятность обоих состояний. Было бы неправильно думать, что такие рассуждения доказывают справедливость микроканонического распределения, так как в общем случае мы не знаем, как фазовая траектория системы проходит в доступной ей области фазового пространства. Вообще, введение некоторых аариорныл вероятностей в статистическую физику является, по-видимому, необходимым для статистического рассмотрения вопроса.
С этой точки зрения попытки обоснования статистического распределения р(д, р) на основе детерминированного поведения механических систем вообше представляются необоснованными. В конечном итоге это является следствием того, что всякое статистическое (вероятиостиое) описание системы является менее полным, чем ее детерминированное механическое поведение.
3. В историческом аспекте отметим, что Больцман и его последователи пытались обосновать выбор микроканонического распределения посредством сравнения полученных с его помощью средних со средними по времени (2.1). В связи с этим Больцман выдвинул так называемую эргодичискую гипотезу' ), согласно которой движение замкнутой механической системы (ф.=сопи!) с большим числом сте- г) От греческого еруоу — работа (используется здесь а смысле энергии) и обоа — путь. 6 81 КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ достаточно большой промежуток времени проходит сколь угодно близко к любой точке энергетической поверхности Я~(днв)=й'. Хотя квазиэргодическая гипотеза справедлива для широкого класса механических систем и также позволяет обосновать (2.18), мы не будем заниматься ее изучением, так как она, по-видимому, не имеет отношения к статистической физике. Как мы увидим в гл. Х1, время, в течение которого фазовая точка системы проходит, с разумной точностью, вблизи всех точек поверхности постоянной энергии системы, столь велико, что никакого отношения к времени ее релаксации не имеет„поэтому переходы Т-«-оо в (2.!) и (2.17) относятся к существенно разным промежуткам времени.
Таким образом, обоснование соотношения (2.18) посредством квазиэргодической гипотезы лишено основания '). $ 3. Каноническое распределение 1. Микроканоническое распределение, рассмотренное в предыдущем параграфе, достаточно для исследования всех вопросов классической статистической физики.
Однако практическое использование микроканонического распределения наталкивается на серьезные математические трудности, связанные стем, что при вычислении средних значений функций, зависящих от координат и импульсов частиц системы, интегрирование по фазовому пространству надо вести по многомерной поверхности Я~(г), р)=8. Этим недостатком не обладает другая форма статистического распределения, предложенная Гиббсом, так называемое каноническое распределение. В этом случае энергия системы Гу не имеет строго фиксированного значения, но вероятность различных значений энергии имеет острый максимум вблизи среднего значения кг.
Если относительная ширина этого острого максимума гзгкгпорядка относительной флуктуации энергии системы, гз/б.-1/)г У, где й! — число частиц в системе, то результаты, полученные с таким распределением, совпадают, с точностью до 1!)г Ж, с результатами, полученными при применении микроканонического распределения. Пусть, например, вероятность того, что система имеет энергию, лежащую в интервале от ф до е-+Щ определяется гауссовским рас- пределением гйн= Се ( А ) г(б"-, (8,1) где кг — наиболее вероятное (среднее) значение энергии, гз — эффективная ширина максимума и С вЂ” нормировочная константа, ') На такой же точке зрения стоят Р. Толнзн («ТЬе рг!Пс!р!ез о! 81а1!з1!еа! Мееьап!сз«, Ох!огй, !938, р. 69) и Р. Фаулер («81а1!з!!са! Меейапкз», Сапгьг!48е, 1936, й 1.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
