Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Можно показать, что интеграл энергии связан с однородностью времени, а интегралы количества движения и момента количества движения — с однородностью и изотропностью пространства. Замечательной особенностью этих семи интегралов является то, что они могут быть написаны на основании некоторых простых и общих правил. В статистической физике особую роль играет интеграл энергии: эс (Ч Р) = ЕГ = сопз(. (2.14) Существование этого интеграла для консервативной системы не- посредственно вытекает нз уравнений движения (2.13): Другие простые интегралы движения — количества движения и момента количества движения — играют в статистической физике меньшую роль (некоторые вопросы астрофизики и геофизики). 1) См.
Приложение 1. з 2! ОписАние движения е клАссической меххннке 19 Вычислим производную по времени от некоторой функции Т(д, р, 1), зависящей от канонических переменных и времени: Б 5 =- д, + 1У,Я1 (2.15) Выражение дЖ р =- —. =тд. дд (2.19) Функция Гамильтона Я(д, р) =Ос+Я= — р'+ — хд'=в. 1 ! 2 (2.20) Канонические уравнения движения имеют вид — — р= — — '= — хд. д~ р дта др в' дд (2.21) Исключая из этой системы р или д, получим д+ в'д= О, р+ оРр = 0 (в= Ух/т) (2,22) Если в начальный момент времени 1= О координата д = д' и обобщенный импульс р= р', то уравнения (2.22) имеют решения рО д= Р з1пв/+д'созв/, р= — твд'з!Пв/+р'созв1, (223) где были использованы соотношения (2.21).
называется скобкой Пуассона. Если К (д, р) †интегр движения, явно от времени не зависящий, то скобки Пуассона для него равны нулю. В самом деле, в этом случае согласно (2.15) Ы/о( = [т, Я! =О. Канонические уравнения движения (2.13) могут быть записаны в весьма симметричном виде посредством скобок Пуассона: 4;=ГЧП~1, Р;=Ьь~> (!=1,2,...,Е). (217) 3.
В качестве примера применения канонических уравнений рассмотрим линейный гармонический осциллятор. Пусть частица с массой т колеблется вдоль оси д под действием квазиупругой силы /= — хд (х — коэффициент жесткости). Кинетическая и потенциальная энергия этой системы с одной степенью свободы равны 31.' = — пну', Я = — хд'. 1 1 2 ' 2 (2.18) Обобщенный импульс 20 !гл. 1 ВВЕДЕНИЕ 5 3. Фазовое пространство. Теорема Лиувилля 1.
В статистической физике для описания движения механических систем успешно используется понятие фазового пространства: Под фазовым пространством или Г-пространством системы с я степенями свободы понимается абстрактное пространство 2я измерений, по прямоугольным (декартовым) осям которого отложены я обобщенных координат ц; и я сопряженных им импульсов ро Величины цг и р; имеют, вообще говоря, разную размерность. Это не должно смущать нас, если мы условимся единице длины по осям координат в нашем многомерном пространстве сопоставлять какие-либо произвольные единицы измерения величин цг и ро В этом случае в прямоугольной (декартовой) системе координат квадрат «расстояния», считаемый от начала координат до какой-либо точки пространства (ц,, р,), равен (*=Я (ц)+р)).
Механическое состояние системы изображается в фазовом пространстве некоторой точкой (изображающей или фазсвой точкой). При движении системы фазовая точка описывает в 2я-мерном пространстве одномерную кривую (фазовую траекторию), параметрическое уравнение которой имеет вид ц, ц,(! цо ро) р, р,(Г ц«рю) (1 1 2 я) (3 1) где ц,' и р,' — начальные значения координат и импульсов. Если система замкнута и консервативна, то у нее существует интеграл энергии (2.!4). В этом случае одномерная фазовая траектория лежит на гиперповерхности (2я — 1)-го измерения, уравнение которой имеет вид (2.14). Элементарный объем Г-пространства, точки которого лежат между ць р; и ц;+йцн рг+с1р,, т. е. внутри бесконечно малого параллелепипеда 2я измерений с ребрами йць йро равен 5 йГ=йц,йц»".йц,йр,йр« "йр,=Пйцгйр;=(йц)(с(р) (3.2) Согласно (2.7) размерность произведения ц;р; равна (энергия х время) = (действие) = МРТ '.
Отсюда следует, что размерность Г-пространства для системы с я степенями свободы равна (действне)'. 2. В некоторых случаях, например для идеального газа, удобно ввести фазовое пространство, соответствующее координатам и сопряженным импульсам одной молекулы (!»-пространство). Для одно- атомного газа, положение атомов которого определено прямоуголь- ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ТЕОРЕМА ЛНУВНЛЛЯ 21 й 3) ными координатами хо у„го 1А-пространство будет шестимерным пространством с осями х, у, г, р„, рв, р,. Состояние идеального газа из л1 молекул изображается в р-пространстве л( фазовыми точками. Иногда удобно р-пространство представлять себе в виде двух подпространств: координатного и импульсного.
Равномерно движущемуся атому газа соответствует, в шестимерном фазовом )л-пространстве, траектория в виде прямой, перпендикулярной к осям р„, р„и р,. 3. Для обоснования методов статистической физики представляется существенным рассматривать движение совокупности большого (в пределе — бесконечно большого) числа 1Р' тождественных (т. е. с тем же Ус" (о, р)) систем. Этой совокупности, называемой ансамблем, соответствует в Г-пространстве л1 фазовых точек. Если сделать гу' достаточно большим, то можно ввести понятие о плотности или функции распределения р (ч р г) (3.3) где ЛП1 — число фазовых точек в малом объеме фазового пространства гАГ (в пределе л1 - аа, ЬГ О).
Очевидно, что функция распределения р(д, р, 1) нормирована так, что (3.4) Фазовые траектории изображающих точек ансамбля не могут пересекаться или касаться. Если бы это имело место, то механическая система, находящаяся в определенном состоянии, могла бы далее двигаться различным образом, что противоречит принципу механической причинности (т. е. однозначности решений уравнений Гамильтона). Движение фазовых точек ансамбля подчиняется доказыВаемой ниже теореме Лиуеилля.
Так как для заданного. ансамбля (мы для простоты рассматриваем 1Ч большим, но заданным) точки не исчезают и не рождаются, то в континуальном приближении плотность или функция распределения р(о, р, г) должна удовлетворять соответствующему уравнению неразрыаности в Г-пространстве. В механике сплошной среды закон сохранения вещества описывается следующим уравнением неразрывности'): йТ+ д(У(ртг) = О. (3 5) Здесь р (х, у, г, 1) и ег(х, у, г, 1) — плотность и скорость вещества в точке х, у, з в момент времени 1. Уравнение (3.5) может быть ') В. И.
С м н р на в, Курс высшей мвтемвтнкв, М.— Л., 1951, т. 11, гл Гу', рввдел 114. 22 ВВЕДЕНИЕ записано в виде З! +5 йгаб 9+р а!чФ = 0 др или — +рб!че=О, и(э й если ввести скорость изменения плотности, связанную с движущейся частицей среды, или субстанииональную производную: — = — +пагадр.
вр ар (3.8) Здесь 1~ — это 2з-мерный вектор «скорости» с прямоугольными составляющими ои о„..., д„ро р„..., р„а Р!ч — символ 2з-мерной дивергенции с производными д/дд;, д/др,. Вместо (3.7) получим Р ч',Р' 1+рР!ч К=О, щ (3.10) где др/с(! — скорость изменения плотности р(д, р, !) вблизи дви- жущейся фазовой точки. С другой стороны, с(р/Ж есть полная производная по времени от р(д, р, г), поэтому она может быть вычислена по формуле (2.18): (3.11) где Я(д, р, !) — функция Гамильтона системы.
В нашем случае 5 Р!ч У=с'.и( л . + в . ) =с'.,(~ я — л д ) =О, (3.12) если воспользоваться уравнениями движения (2.13). Уравнение (3.12) означает, что изображающие точки движутся в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. Из (3.10) и (3.12) следует, что плотность р (о, р, 1) в изображающей точке, движущейся вдоль фазовой траектории, остается постоянной-. Отсюда и из (3.3) следует, что объем ЛГ, содержащий заданное число экземпляров ансамбля цй!, при движении их остается постоянным, хотя форма его, вообще говоря, меняется. Легко видеть, что последнее утверждение остается При выводе уравнения (3.8) определяется баланс вещества внутри объема кубика бх Ьу.бг; при этом рассматривается приход и уход вещества через каждую пару параллельных граней кубика.
Если рассмотреть таким же образом движущиеся фазовые точки ' в 2з-мерном пространстве, то аналогично может быть получено уравнение: 1+Р (рУ)=О. (3.9) $ 3] ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ТЕОРЕМА ЛИУВНЛЛЯ 23 справедливым и для конечного объема фазового пространства, со- держащего заданное число экземпляров ансамбля. Доказанные выше эквивалентные утверждения: о несжимаемом характере движения фазовых точек ансамбля (Р!у У=О), о посто- янстве плотности в изображающей точке, движущейся вдоль фазо- вой траектории, и о постоянстве фазового объема 1АГ, содержащего выделенную совокупность движущихся систем ансамбля, составляют содержание так называемой теоремы Лиувияля1). Из (3.1!) и теоремы Лиувилля следует: д1 (3.13) Таким образом, если скобка Пуассона от плотности р равна нулю, то плотность стационарна, т.
е. др/д1=0. Отсюда можно получить одно важное для статистической физики следствие: если р зависит от д, и ре только через интегралы движения С, (д, р) =сопз1, С, (див) = =сонэ! и т. д., то функция распределения р стационарна. В самом деле, если р=р(с,(д, р), се(д, р),..., !], то 5 1= 1 др, дС, до, дСе дси 1 е так как скобки Пуассона от интегралов движения равны нулю (см. 2 2, и. 2).
Отсюда и из (3.13) следует, что р стационарно, т. е. не зависит от времени. Заметим, что теорема Лиувилля имеет место только в фазовом пространстве переменных дь р; и не справедлива, например, в про- странстве дь дп Дальше выяснится существенная роль теоремы Лиувилля в построении основ статистической физики; отсюда ясно удобство формулировки уравнений движения в канонической форме (2.13). 4. Проиллюстрируем теорему Лиувилля на простом примере ли- нейного гармонического осциллятора. Из (2.20) видно, что фазовая траектория в этом случае представ- ляет собой эллипс (У 2~1]лиле] (У 2л1~1]1 + ~ =1 (3.14) с полуосями $'26/тае и ]У 2т8 (рис.
1), 11 Приложение 2. 24 [гл. ! вввдвиив Рассмотрим совокупность одинаковых осцилляторов, фазовые точки которых в момент 1=0 заяолняют площадку аЬс«[ на рис. 1. Покажем, что при движении осцилляторов изображающие их точки в момент 1)0 заполнят равновеликую площадку а'Ь'с'с['. Изображающие точки, заполняющие площадку аЬс«[, меняются от д«, р' до д, р согласно уравнениям (2.23). Преобразование (2.23) можно рассматривать как состоящее из трех последовательных преобраб зований: 1) переход от координат 4«, р' к координатам х=у«, у=р«[тс»; (3.15) 2) переход от координат х, у к координатам х'=х соз м1+у з[пь»б, у = — к 5!и 0»(+у соз ь»1; 3) переход от координат х', Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
