Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 77
Текст из файла (страница 77)
1Ч мы показали, что из опреде- ления энтропии (П; 3.23) вытекает соотношение (П8.1), если под (Р" понимать число микросостояний классической системы (1Ч; 3.19). Здесь мы предполагаем, что для идеального одноатомиого кваято- вого газа соотношение (П8.1) тоже имеет место, если правильно вычислять !р', учитывая неразличимость микрочастиц. Это можно было бы доказать, исходя из определения энтропии для квантовых систем (П1; 3.8). 2. Выберем некоторую группу одночастичных квантовых состоя- ний, соответствующих определенной энергии е; (или для газа в со- суде — интервалу энергии (е, в+бе)). Пусть д,— число одночастич- ных квантовых состояний, соответствующих энергии е„а а) ! ! ! ! ~оо ~ ~ооо (о оооо Л1; — число заполняющих их частиц.
В статистике Бозе Г 8 3 .Г 5 б каждое квантовое состояние может быть занято любым числом частиц. На рис. 81, а показано Ю ~ ° ~ ~ ~ ~ ° ~ ~е~ ~в~| шесть состояний (д;=6), заполненных десятью частицами (й1;=10). Мы считаем, что частицы заполняют состояние справа от перегородки, так что в первом состоянии име- ются две частицы, во втором — нуль частиц, в пятом — четыре ча- стицы и в шестом — нуль частиц. Так как частицы неразличимы, то разные микросостояния характеризуются разным числом частиц в квантовых состояниях а;.
При заданном У; и д; число микросо- стояний В'~ (соответствующее энергии е;) равно числу перестановок между собой частиц и перегородок (кроме одной перегородки — са- мой левой), из которых надо исключить перестановки частиц между собой и перестановки перегородок между собой. Таким образом, р (У;+ш — 1) 1 (П8.2) М11 (д; — 1)! 420 пРилОжения Из (П8.1) и (П8.3), применяя формулу Стирлинга, получим — „=1п (!г = ~ (!п(У;+а,— 1)! — 1п У,! — 1п(д,— 1)!)= =Х ((Уг+ а; — 1) !п (У;+ а; — 1)— ! — У; 1п Уг — (д; — 1) 1п (д; — 1)). (П8.4) Мы будем искать максимум этого выражения в зависимости от чисел Уо при условии постоянства полного числа частиц ХУ;=У и энергии системы (П8.6) Для того чтобы все йУ; можно было считать независимыми, достаточно искать максимум не функции (П8.4), а выражения 3 — — аУ вЂ” Ц', Ф где а и р — неопределенные множители Лагранжа. В максимуме дифференциал функции (П8.7) при изменениях У; равен /5 д~ — — иУ вЂ” ~8~ = ~~' 11п(У;+а,) — !пУ; — а — ре;! дУ;=О, (П8.8) где мы пренебрегли единицей по сравнению с большим числом до Здесь все е(У, можно считать независимыми; следовательно, все фигурные скобки в сумме (П8.8) в отдельности равны нулю, т.
е. )п (У;+ дг) — 1п Уг = а+ ~ео (П8.9) где У, — равновесное (среднее) число частиц, соответствующее энергии ео Равновесное число частиц в одном квантовом состоянии равно (П8.10) Из равенства нулю дифференциала левой части (П8.8) следует (П8.11) (П8.12) 421 п гиле жян ия Сравнивая эти равенства с (ЧП1; 1.25) и (П; 3.32), имеем (П8. 13) ! =лт (П8. 14) Подставляя эти значения в (П8.10), получим ! Р!;-ЯНЛГ (П8.
15) л.! ))Р = тт хд м!! (д; — !у!)! (П8. 16) Поступая аналогично предыдущему, получим !(( — — а!Ч вЂ” Ц') = д ()п ((Р— ай! — рб) = 1!п (д,— Ф,) — 1п У,— а — ре!! д!Ч! = О, (П8. 17) ! откуда 1п (д! — У;) — )п У; = а + ()е!. (П8.18) Среднее число частиц в одном квантовом состоянии — Ф. ! ! ц я! еа вн+! е!',-Рнлт+! ' так как я и р имеют тот же смысл (П8.13) и (П8.14). Выражение (П8.19) совпадает с распределением Ферми (1Х; 2.11).
(П8.19) т. е. распределение Бозе (1Х; 2.9). 3. Для того чтобы вывести распределение Ферми, надо учесть не только принципиальную неразличимость микрочастиц, но и принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии не может одновременно находиться больше одной частицы. На рис. 81, б изображены шесть квантовых состояний (соответствующих энергии е,) и четыре заполняющие их частицы ф!=6, !Ч!=4).
Так как в каждом квантовом состоянии не может находиться больше одной частицы, то для подсчета числа микросостояний осуществим все возможные перестановки д! квантовых состояний между собой (например, при перестановке состояний 1 2 первое состояние станет пустым, а второе будет содержать частицу) и исключим из них перестановки !Ч! заполненных квантовых состояний между собой (частицы неразличимы) и перестановки (д! — У!) пустых состояний между собой. Для 1-й группы состояний число микросостояний бу.
дет равно д!У!Ч!1(й! — М!)!, а полное число микросостояний всей системы 422 пРилОжения Приложение 9 В силу дельта-образного характера функции — (д//де) в интеграле (1Х; 2.40) играют роль только значения е, близкие к р, т. е. малые Ч; поэтому разложим тр(Ч) в ряд по степеням т), ограничиваясь квадратичным членом: т(Ч)=тг(0)+тР (О) т!+ 2 тр (О) т)е+... (П9.1) Далее: д/ д/ д / 1 '1 еа — « = — (Ч= — ( — ! (Ч= — (Ч де дт) дт) !ее-1-1/ (ео-1-1)е (П9.2) Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на ехр ( — 2Ч), получим ев е-в (П9.3) (ев+!)е (е-в+1)' откуда следует, что †(д//дЧ) †четн функция от т!.
Подставляя (П9.1), (П9.2) и (П9.3) в интеграл (1Х; 2.42), получим Ю Э (Ч) ( дя) е(Ч = е!'(0) д! — (д†) е(Ч + Ф В й а +ф' (О) ) (,, е(Ч+ — ер'(О) д! 1+,)а е(Ч. (П9.4) Первый интеграл правой части равен 1, второй, в силу нечет- ности подинтегральной функции,— нулю, третий равен М О с( = е( ! !" Чее-в !" Чае-е ) (1 1 е-а)а Ч = (1 ! е-в)е Ч— Ф = ') Ч' (е т — 2е та+За ев —...) е(Ч = о 1 1 ~ ие 2а За 2 1 + ...
= а, (П9,5) При вычислении последнего интеграла мы разложили множитель (1 +е а) ' подинтегральной функции в ряд по е а, а в конце воспользовались формулой для суммы знакопеременного ряда обратных значений квадратов натурального ряда чисел'). Окончательно ,/=ф(0)+ — ", фа(0), что совпадает с (1Х; 2.42).
т) В, И. См и р и о в, Курс высшей математики, 1951, т. И, раздел 144. пги ложен ия 423 Приложение 1О Придадим теореме Пуанкаре следующую форму: докажем, что внутри объема у вблизи точки Р не может существовать конечная область у'(у, фазовые точки которой по истечении достаточно большого промежутка времени 1 не возвратились бы обратно в объем у. Проследим за областью у' в моменты времени О, т, 2т, Зт,...
и выберем интервал времени т таким, чтобы области у'(0) и у'(т) ие имели общих точек. Легко видеть, что в этом случае у' для всех моментов О, «, 2т,... не могутиметь общих точек. В самом деле, если бы области у'(т) и у'(2т) имели общую точку (перекрывались), то она соответствовала бы пересечению двух различных фазовых траекторий, что противоречит однозначности уравнений движения механики.
С другой стороны, по теореме Лиувилля у' (0) =у'(т) =у'(2т) =... Таким образом, по истечении достаточно большого промежутка времени гг пт сумма неперекры ающихся объемов ~~.", у'(пт) должна л была бы стать больше конечной энергетической поверхности («объема») Я(д, р)=8, что невозможно. Поэтому не может существовать конечный объем у', точки которого не возвращаются в объем у, Андреа Иванович Ансельм ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ М., 1973 г., 424 стр.
с влл. Редактор В. А. Григорова. Техн. редакторы С. /7. Шклнр, Г. А. Полонснан. Корректор Л. Н. Воровино. Сдано в набор 13/Х! 1972 г. Подписано к печати 18/У 1973 г. Бумага 60х90Ны. Фнз. печ, л, 26,8. Услозн. печ. л. 26,6. Уч.-изд. л, 24,88. Тираж 22000 экз. Т.03788. Цена кяиги 1 р. 01 к. Заказ Дь 3401. Издательство «Наука» Главяеа редакция физико-математической литературы 117071, Москве, В-71, Леяинский проспект, 16 Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая тяпографня имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома прв Государственном комитете Совета Министров СССР по делам яздвтельстз, полигрефнн и книжной торговля. Москва, М-34. Валовая.
28 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
