Главная » Просмотр файлов » Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики

Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 76

Файл №1185105 Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики.djvu) 76 страницаАнсельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105) страница 762020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

определитель (2з — 1)-го порядка, который получается из О, если в нем вычеркнуть 1-ю строку и я-й столбец. Алгебраические дополнения Ам удовлетворяют соотношению зз ~ Амам — — Оби, а=! (П2. 12) где ба †симв Кронекера. Учитывая (П2.6), получим зз зз до!а д да! дО) д0г Щ дчг — — — — — — =~~' а, — '. (П2.13) и! дгзаз дпаз ддг д1)1 м д0! з) В. И. С м и р в о в, Курс высшей математика, 1951, т.

!1, гл, !!1, разделы 57 в 50. ') В. И. С ма р лов, Курс высшей математики, 1951, т. 1И, ч. 1, $1. Если исключить все Я,' из (П2.4) и подставить их в (П2.5), то Ф;=Ф(()ы Я„..., ()з.. 1). (П2.6) Переход от (П2.4) к (П2.6) соответствует переходу в динамике сплошных сред от метода Лагранжа к методу Эйлера. Для того чтобы сравнить Г, и Г„проще всего в интеграле (П2.2) перейти от переменных интегрирования Я, к переменным Я,'. В этом случае область интегрирования В, перейдет в В, и Г,=('...(~ "0ы0' '')'*) ~цз О О (П2.7) д я, д ) д(Ж Ж ..., Оз,) ) где якобиан преобразования') (~ь ~" '" 0") = Р(аг ) (П2.8) д(01,01 ...

дз,) — определитель порядка 2з с элементами д(;); аг»= з дг)аз ' Покажем, что если ф удовлетворяют уравнениям Гамильтона (1; 2.13), то О(а;а) = 1 для всех моментов времени, и, следовательно, справедлива теорема Лиувилля. Дифференцируя по времени (П2.8), получим (П2.10) ь «=! 412 ПРИЛОЖЕНИЯ Отсюда, из (П2.10) и (П2.11) следует д/2 (П2. 14) Если 2 ~1, то при суммировании по й получим нуль, как это следует из (П2.12). При 1=1 получим 25 д/, д02 ' (П2.15) Из уравнений Гамильтона (1; 2.13) следует 25, 5, . 5 ~,— =~ ( — '+ — '/1=~~' ( ' — — ') =О. (П2.16) д0/ /де/ др ~ / даЯ даЯ т дО/ (,деп д/П) (,де; др/ дйт да/;/ Таким образом, (П2.17) т. е, Р от 1 не зависит.

Следовательно, определитель Р равен своему значению в начальный момент времени 1 = О, но а;2= — =ЬМ, дпа д93 (П2.18) поэтому в начальный момент времени Р=1. Следовательно, н при любом / величина Р=1, т. е. выполняется равенство (П2.3) (теорема Лиувилля). Приложение 3 1. В статистической физике часто встречаются следуюшие определенные интегралы: (ПЗ. 1) (П3.2) а/ а (ПЗ.З) а /' (П3.4) Ю ~е а(х Ф М е- «» ха а(х 6 аа е х'а(х Ф О ~е ~ха(х о 2) е ' а(х=— а 1/и а/ о 2) е ' ха а(х =— г а 1 Т о а 2 ) е-аа ха а(х Г а 3 4 о пРилОжениЯ 413 (П3.6) (П3.9) 1"' -Ь е-ах~ хз е(х (П3.5) 0 Ю е х Их= —. „в 1 ио 0 Вывод этих формул можно найти, например, у В. И. Смирнова, «Курс высшей математики», т. П, М.— Л., 1954, стр.

253. 2. Определим гамма-функцию Г(г) посредством равенства Г(е) ~ хг-1е-» Дх (П3.7) о Определенный интеграл в правой части, взятый по вещественной переменной х, зависит от г как от параметра. Равенство (П3.7) определяет гамма-функцию для любых комплексных значений г с положительной вещественной частью. Выведем важное рекуррентное соотношение: Г (е+ 1) Р е Г (Е). (П3.8) Интегрируя по частям, получим ~0 Г(а+1)= ) х'е "Нх= — ~ х*ое "= о а Ш ~О 1а = — х'е " + ~ гх* 'е "о(х Р г ~ х* 'е "о(х=гГ(г). о о Для того чтобы определить значение Г(г) для целых и полу- целых значений г, вычислим (О Г(1)=1е- дх=1 а и О Г(1) = ) х ' е- пх='к" и, (ПЗЛО) 0 где мы ввели переменную интегрирования г=хч». Используя рекуррентное соотношение (П3.8) и значения Г(1) и Г(1/2), получим Г(2)=1, Г(3)=1 2, Г(4)=1 2 3, Г(п)=(п — 1)1, (ПЗ.11) (-)=- (-)=- -"= — ' 7 '1 5 3 1 у — !5 )/и (2п+1~ (2л — 1)11) г— Г( — )= — — — и=, Г( )= „и, (ПЗ.

12) где (2в — 1) — произведение последовательных нечетных чисел от 1 до (2п — 1). 414 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 4 Существуют разные способы вычисления объема У-мерного шара, т. е. объема шара в У-мерном пространстве. Мы воспользуемся простым методом, изложенным в книге Р. Кубо «Статистическая механика», М., 1967, стр. 50.

Радиус У-мерного шара Я=,Г...+„,+ +х« (П4.1) Р =СЕЯ ', (П4.2) где Сж — безразмерный коэффициент, подлежащий определению. Для определения Сл мы вычислим двумя способами некоторый определенный интеграл по бесконечному У-мерному пространству. С одной стороны, О 1 = ~... ~ ЕХР ( — а(Х«,+Х,'+... +Х~л)) «(Х,«(Х,...«(ХЛ,= ю ~л =~ ) е «"«бх,~ =( — ), (П4.3) где мы воспользовались (П3.1). Из (П4.2) следует, что объем бесконечно тонкого шарового слоя равен л',,=с„и~ - ()~, (П4,4) поэтому интеграл (П4.3) может быть вычислен и так: ) е-«Я'С, й()«ю-««Я о (П4.5) что после введения переменной интегрирования г = а)7» дает л о где Г (У/2) — гамма-функция (см. Приложение 3).

где х„х„..., х,д — прямоугольные (декартовы) координаты точки поверхности шара. Из соображений размерности (объем шара может зависеть только от его радиуса) следует, что объем У-мерного шара 415 пеиложкния Приравнивая (П4.3) и (П4.6), получим „нм г ("— +!) Если учесть, что Г1(Ж(2)+!] =(й(!2)Г(М)2), то из (П4.7) следует, что С, =и, С, =4п!3, С,=-п'(2 и т. д, (П4.7) Приложение 5 Рассмотрим шар в пространстве )У измерений; его объем равен (П4.2). Объем шарового слоя Л)с равен йУ,„=СнРн — С,„(й йй)к=С„Рн 1~ 1 ††)"1.

(П5.1) Разложим бином: — 1 ( — ! +... (П5.2) з. Приложение 6 Для установления связи между различными частными производными в термодинамике (например, между (дБ(дТ) и (дЗ~дТ)„) можно пользоваться методом функциональных определителей (якобианое) . Сохранение в этом разложении первых членов при очень большом М может оказаться неэффективным даже при ЛРЯ очень малом. Например, при 0=10'" и (ЛЯ/)с) =10 " получим для второго, третьего, четвертого слагаемых в правой части (П5.2) значения порядка 10", 10", 10". С другой стороны, лн (1 — ~.,) =)1 — ] е н (П53) если М достаточно велико по сравнению с У(Л)сЯ). В этом случае из (П5.1) следует: нлн; ЛУ, =Ун(! — е и ), (П5.4) н если У (ЛЯЯ) >) 1, что всегда осуществимо для (ЛЙЯ) ~ ! при достаточно большом Ж, то бУн Ун, т.

е. весь объем шара Ун сосредоточен в тонком слое вблизи его поверхности. 416 пРилОжения Пусть величины х„х„..., х„являются функциями от у„ у„..., у„, т. е. х,=х;(у„у„..., у„), (П6.1) а последние, в свою очередь,— функциями от переменных г„ г1 . гх: у,=у,(г„г„..., г„). (П6.2) Якобианами называются определители вида д() = д( > =П~( (д ) (П6.3) где дх;/дух и дуудгх — элементы определителей п-го порядка, стояшие на пересечении (-й строки и й-го столбца. В случае двух переменных якобиан имеет вид дх, дх, ду1 дд2 дхе дх, дх1 дк2 ду1 ду2 дд1 ду д(х) д(х,, х,) д(у) д(у1, уг) Всякая частная производная может быть записана в форме якобиана второго порядка: ( — =; ='"'"=; д)) д((,У) = дх д д(У, 7) д) д) дх у д (х У) () 1 д (9, х) При перестановке х; х„ или у; у„ якобиан меняет знак, так как это соответствует перестановке в определителе двух строк или двух столбцов.

Например, для якобиана от двух пере- менных д(хе, х1) д(хг, хе) (П6.6) д (д,, д,) д (д,, д,) . д(хо х ) д(ю, уе) Для якобианов имеет место важное соотношение: д (х) д (х) д (у) д (х) д (у) д (х) ' (П6.7) Это равенство непосредственно вытекает из выражения для элемента якобиана: 417 приложения Но Здесь мы воспользовались (1Ч; 4.20) для замены (дБ(ду)г. В результате получим Учитывая, что (дЧ(дР)т=1:(дР1ду)г, получим Ср СР (д Р!дт) Ро т = т (дР(др),' что совпадает с (1Ч; 5.28). Приложение 7 Интеграл Ф хо-' дх Х= ак а (П7.1) может быть вычислен следующим способом. Умножим и знаменатель подинтегрального выражения на е " и в ряд выражение: Ф (1 е-Ф) 1 — 1+о Ф 1 е ™ ( = ~~а ЕФ гФо числитель разложим (П7.

2) Подставляя зто разложение в интеграл, получим Ф Ф „, Ф ,7 = ~х" 'о "~о е '"а(х = ~ ~х" 'е '"'а(х. о '=' о (П7.3) Вводя переменную интегрирования у =1х, получим Ф Ф Х=~~~, )„') у" 'е Р а(у. о (П7.4) которое следует из правила дифференцирования сложных функций: х;=х, (у(г)).

Сумма в (П6.8) выражает собой правило умножения определителей, стоящих в правой части (П6.7). В качестве примера применения метода якобианов рассмотрим вывод выражения (1Ч; 5.28). Используя (П6.5) и (П6.7), получим ( ),— дд ') д(5, Р) д(5, Р) д(Т,Р) дт /р д(Т, Р) д(Т, Р) д(Т, Р) 418 ПРИЛОЖЕНИЯ Интеграл, по определению, равен гамма-функции: О Г (и) = ) у" 'е-У ду о (П7.5) а сумма равна дзета-функции Римана: О ь(п) = ~~~ 1=1 (П7.6) Таким образом, Ю =Г(п) 9(п). о (П7.7) Можно показать'), что ь(2)= —, ь(4) =- —. (П7.8) Приведем для справок приближенные значения дзета-функции для некоторых значений аргумента: ь (3) = 1,202; ь (б) = 1,037; ь (372) = 2,812; ь (872) = 1,341. (П7.8) Интересующий нас интеграл ОР ЛЗ ОЛ п~ па — = Г (4) ь (4) = 3! — = —.

90 15' о (П7.10) Приложение 8 1. В 9 3 гл. 1Ъ' мы установили связь между энтропией 5 и термодинамической вероятностью Ю идеального одноатомного газа (ГЧ; 3.22). Мы показали, что 5=/г!п Йу, (П8. 1) т! В. И. С м и р и о в, Курс высшей математвки, 1951, т.

11, стр. 402, 408. где й — постоянная Больцмана. Термодинамическая вероятность 1Р' равна числу способов, которым можно осуществить заданное распределение частиц У, по ячейкам фазового р-пространства (1Ч; 3.19). При этом частицы считались одинаковыми, но различимыми. В гл. 1Ч (93, п.3) было показано, что из требования максимальности энтропии (П8.1), при дополнительном условии постоянства полного числа частиц и энергии сис- пРилОжения 419 1 х б ~ б б РЯС.

81. Для полного числа микросостояний всей системы при заданных числах л(; получим )Р=П"'1=П ''Л~.'(," .1!! (П8.3) темы, для чисел заполнения У„получается распределение Мак- свелла — Больцмана. Покажем, что если при вычислении термодинамической вероят- ности (числа микросостояний) (Р' учитывать принципиальную не- различимость квантовых микрочастиц и принцип Паули (для фер- мионов), то из условия максимума энтропии 3 (П8.1) получаются распределения Бозе и Ферми. Следует отметить, что в 5 3 гл.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,12 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее