Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 76
Текст из файла (страница 76)
определитель (2з — 1)-го порядка, который получается из О, если в нем вычеркнуть 1-ю строку и я-й столбец. Алгебраические дополнения Ам удовлетворяют соотношению зз ~ Амам — — Оби, а=! (П2. 12) где ба †симв Кронекера. Учитывая (П2.6), получим зз зз до!а д да! дО) д0г Щ дчг — — — — — — =~~' а, — '. (П2.13) и! дгзаз дпаз ддг д1)1 м д0! з) В. И. С м и р в о в, Курс высшей математика, 1951, т.
!1, гл, !!1, разделы 57 в 50. ') В. И. С ма р лов, Курс высшей математики, 1951, т. 1И, ч. 1, $1. Если исключить все Я,' из (П2.4) и подставить их в (П2.5), то Ф;=Ф(()ы Я„..., ()з.. 1). (П2.6) Переход от (П2.4) к (П2.6) соответствует переходу в динамике сплошных сред от метода Лагранжа к методу Эйлера. Для того чтобы сравнить Г, и Г„проще всего в интеграле (П2.2) перейти от переменных интегрирования Я, к переменным Я,'. В этом случае область интегрирования В, перейдет в В, и Г,=('...(~ "0ы0' '')'*) ~цз О О (П2.7) д я, д ) д(Ж Ж ..., Оз,) ) где якобиан преобразования') (~ь ~" '" 0") = Р(аг ) (П2.8) д(01,01 ...
дз,) — определитель порядка 2з с элементами д(;); аг»= з дг)аз ' Покажем, что если ф удовлетворяют уравнениям Гамильтона (1; 2.13), то О(а;а) = 1 для всех моментов времени, и, следовательно, справедлива теорема Лиувилля. Дифференцируя по времени (П2.8), получим (П2.10) ь «=! 412 ПРИЛОЖЕНИЯ Отсюда, из (П2.10) и (П2.11) следует д/2 (П2. 14) Если 2 ~1, то при суммировании по й получим нуль, как это следует из (П2.12). При 1=1 получим 25 д/, д02 ' (П2.15) Из уравнений Гамильтона (1; 2.13) следует 25, 5, . 5 ~,— =~ ( — '+ — '/1=~~' ( ' — — ') =О. (П2.16) д0/ /де/ др ~ / даЯ даЯ т дО/ (,деп д/П) (,де; др/ дйт да/;/ Таким образом, (П2.17) т. е, Р от 1 не зависит.
Следовательно, определитель Р равен своему значению в начальный момент времени 1 = О, но а;2= — =ЬМ, дпа д93 (П2.18) поэтому в начальный момент времени Р=1. Следовательно, н при любом / величина Р=1, т. е. выполняется равенство (П2.3) (теорема Лиувилля). Приложение 3 1. В статистической физике часто встречаются следуюшие определенные интегралы: (ПЗ. 1) (П3.2) а/ а (ПЗ.З) а /' (П3.4) Ю ~е а(х Ф М е- «» ха а(х 6 аа е х'а(х Ф О ~е ~ха(х о 2) е ' а(х=— а 1/и а/ о 2) е ' ха а(х =— г а 1 Т о а 2 ) е-аа ха а(х Г а 3 4 о пРилОжениЯ 413 (П3.6) (П3.9) 1"' -Ь е-ах~ хз е(х (П3.5) 0 Ю е х Их= —. „в 1 ио 0 Вывод этих формул можно найти, например, у В. И. Смирнова, «Курс высшей математики», т. П, М.— Л., 1954, стр.
253. 2. Определим гамма-функцию Г(г) посредством равенства Г(е) ~ хг-1е-» Дх (П3.7) о Определенный интеграл в правой части, взятый по вещественной переменной х, зависит от г как от параметра. Равенство (П3.7) определяет гамма-функцию для любых комплексных значений г с положительной вещественной частью. Выведем важное рекуррентное соотношение: Г (е+ 1) Р е Г (Е). (П3.8) Интегрируя по частям, получим ~0 Г(а+1)= ) х'е "Нх= — ~ х*ое "= о а Ш ~О 1а = — х'е " + ~ гх* 'е "о(х Р г ~ х* 'е "о(х=гГ(г). о о Для того чтобы определить значение Г(г) для целых и полу- целых значений г, вычислим (О Г(1)=1е- дх=1 а и О Г(1) = ) х ' е- пх='к" и, (ПЗЛО) 0 где мы ввели переменную интегрирования г=хч». Используя рекуррентное соотношение (П3.8) и значения Г(1) и Г(1/2), получим Г(2)=1, Г(3)=1 2, Г(4)=1 2 3, Г(п)=(п — 1)1, (ПЗ.11) (-)=- (-)=- -"= — ' 7 '1 5 3 1 у — !5 )/и (2п+1~ (2л — 1)11) г— Г( — )= — — — и=, Г( )= „и, (ПЗ.
12) где (2в — 1) — произведение последовательных нечетных чисел от 1 до (2п — 1). 414 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 4 Существуют разные способы вычисления объема У-мерного шара, т. е. объема шара в У-мерном пространстве. Мы воспользуемся простым методом, изложенным в книге Р. Кубо «Статистическая механика», М., 1967, стр. 50.
Радиус У-мерного шара Я=,Г...+„,+ +х« (П4.1) Р =СЕЯ ', (П4.2) где Сж — безразмерный коэффициент, подлежащий определению. Для определения Сл мы вычислим двумя способами некоторый определенный интеграл по бесконечному У-мерному пространству. С одной стороны, О 1 = ~... ~ ЕХР ( — а(Х«,+Х,'+... +Х~л)) «(Х,«(Х,...«(ХЛ,= ю ~л =~ ) е «"«бх,~ =( — ), (П4.3) где мы воспользовались (П3.1). Из (П4.2) следует, что объем бесконечно тонкого шарового слоя равен л',,=с„и~ - ()~, (П4,4) поэтому интеграл (П4.3) может быть вычислен и так: ) е-«Я'С, й()«ю-««Я о (П4.5) что после введения переменной интегрирования г = а)7» дает л о где Г (У/2) — гамма-функция (см. Приложение 3).
где х„х„..., х,д — прямоугольные (декартовы) координаты точки поверхности шара. Из соображений размерности (объем шара может зависеть только от его радиуса) следует, что объем У-мерного шара 415 пеиложкния Приравнивая (П4.3) и (П4.6), получим „нм г ("— +!) Если учесть, что Г1(Ж(2)+!] =(й(!2)Г(М)2), то из (П4.7) следует, что С, =и, С, =4п!3, С,=-п'(2 и т. д, (П4.7) Приложение 5 Рассмотрим шар в пространстве )У измерений; его объем равен (П4.2). Объем шарового слоя Л)с равен йУ,„=СнРн — С,„(й йй)к=С„Рн 1~ 1 ††)"1.
(П5.1) Разложим бином: — 1 ( — ! +... (П5.2) з. Приложение 6 Для установления связи между различными частными производными в термодинамике (например, между (дБ(дТ) и (дЗ~дТ)„) можно пользоваться методом функциональных определителей (якобианое) . Сохранение в этом разложении первых членов при очень большом М может оказаться неэффективным даже при ЛРЯ очень малом. Например, при 0=10'" и (ЛЯ/)с) =10 " получим для второго, третьего, четвертого слагаемых в правой части (П5.2) значения порядка 10", 10", 10". С другой стороны, лн (1 — ~.,) =)1 — ] е н (П53) если М достаточно велико по сравнению с У(Л)сЯ). В этом случае из (П5.1) следует: нлн; ЛУ, =Ун(! — е и ), (П5.4) н если У (ЛЯЯ) >) 1, что всегда осуществимо для (ЛЙЯ) ~ ! при достаточно большом Ж, то бУн Ун, т.
е. весь объем шара Ун сосредоточен в тонком слое вблизи его поверхности. 416 пРилОжения Пусть величины х„х„..., х„являются функциями от у„ у„..., у„, т. е. х,=х;(у„у„..., у„), (П6.1) а последние, в свою очередь,— функциями от переменных г„ г1 . гх: у,=у,(г„г„..., г„). (П6.2) Якобианами называются определители вида д() = д( > =П~( (д ) (П6.3) где дх;/дух и дуудгх — элементы определителей п-го порядка, стояшие на пересечении (-й строки и й-го столбца. В случае двух переменных якобиан имеет вид дх, дх, ду1 дд2 дхе дх, дх1 дк2 ду1 ду2 дд1 ду д(х) д(х,, х,) д(у) д(у1, уг) Всякая частная производная может быть записана в форме якобиана второго порядка: ( — =; ='"'"=; д)) д((,У) = дх д д(У, 7) д) д) дх у д (х У) () 1 д (9, х) При перестановке х; х„ или у; у„ якобиан меняет знак, так как это соответствует перестановке в определителе двух строк или двух столбцов.
Например, для якобиана от двух пере- менных д(хе, х1) д(хг, хе) (П6.6) д (д,, д,) д (д,, д,) . д(хо х ) д(ю, уе) Для якобианов имеет место важное соотношение: д (х) д (х) д (у) д (х) д (у) д (х) ' (П6.7) Это равенство непосредственно вытекает из выражения для элемента якобиана: 417 приложения Но Здесь мы воспользовались (1Ч; 4.20) для замены (дБ(ду)г. В результате получим Учитывая, что (дЧ(дР)т=1:(дР1ду)г, получим Ср СР (д Р!дт) Ро т = т (дР(др),' что совпадает с (1Ч; 5.28). Приложение 7 Интеграл Ф хо-' дх Х= ак а (П7.1) может быть вычислен следующим способом. Умножим и знаменатель подинтегрального выражения на е " и в ряд выражение: Ф (1 е-Ф) 1 — 1+о Ф 1 е ™ ( = ~~а ЕФ гФо числитель разложим (П7.
2) Подставляя зто разложение в интеграл, получим Ф Ф „, Ф ,7 = ~х" 'о "~о е '"а(х = ~ ~х" 'е '"'а(х. о '=' о (П7.3) Вводя переменную интегрирования у =1х, получим Ф Ф Х=~~~, )„') у" 'е Р а(у. о (П7.4) которое следует из правила дифференцирования сложных функций: х;=х, (у(г)).
Сумма в (П6.8) выражает собой правило умножения определителей, стоящих в правой части (П6.7). В качестве примера применения метода якобианов рассмотрим вывод выражения (1Ч; 5.28). Используя (П6.5) и (П6.7), получим ( ),— дд ') д(5, Р) д(5, Р) д(Т,Р) дт /р д(Т, Р) д(Т, Р) д(Т, Р) 418 ПРИЛОЖЕНИЯ Интеграл, по определению, равен гамма-функции: О Г (и) = ) у" 'е-У ду о (П7.5) а сумма равна дзета-функции Римана: О ь(п) = ~~~ 1=1 (П7.6) Таким образом, Ю =Г(п) 9(п). о (П7.7) Можно показать'), что ь(2)= —, ь(4) =- —. (П7.8) Приведем для справок приближенные значения дзета-функции для некоторых значений аргумента: ь (3) = 1,202; ь (б) = 1,037; ь (372) = 2,812; ь (872) = 1,341. (П7.8) Интересующий нас интеграл ОР ЛЗ ОЛ п~ па — = Г (4) ь (4) = 3! — = —.
90 15' о (П7.10) Приложение 8 1. В 9 3 гл. 1Ъ' мы установили связь между энтропией 5 и термодинамической вероятностью Ю идеального одноатомного газа (ГЧ; 3.22). Мы показали, что 5=/г!п Йу, (П8. 1) т! В. И. С м и р и о в, Курс высшей математвки, 1951, т.
11, стр. 402, 408. где й — постоянная Больцмана. Термодинамическая вероятность 1Р' равна числу способов, которым можно осуществить заданное распределение частиц У, по ячейкам фазового р-пространства (1Ч; 3.19). При этом частицы считались одинаковыми, но различимыми. В гл. 1Ч (93, п.3) было показано, что из требования максимальности энтропии (П8.1), при дополнительном условии постоянства полного числа частиц и энергии сис- пРилОжения 419 1 х б ~ б б РЯС.
81. Для полного числа микросостояний всей системы при заданных числах л(; получим )Р=П"'1=П ''Л~.'(," .1!! (П8.3) темы, для чисел заполнения У„получается распределение Мак- свелла — Больцмана. Покажем, что если при вычислении термодинамической вероят- ности (числа микросостояний) (Р' учитывать принципиальную не- различимость квантовых микрочастиц и принцип Паули (для фер- мионов), то из условия максимума энтропии 3 (П8.1) получаются распределения Бозе и Ферми. Следует отметить, что в 5 3 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
