Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Из (4.20) и (4.29) следует, что коэффициент внутреннего трения или вязкости газа равен х)=Х )а=ллТт. (4.30) По порядку величины время релаксации т равно среднему времени свободного пробега (4.8), поэтому у' лтМТ 4о, (4.3)) где ( — о„'1) — поток частиц в отрицательном направлении оси у то„' — составляющая количества движения молекулы вдоль оси х. Так как произведение о„'1,(о„'1„) — нечетная функция о,' (о„'), слагаемое 1„в (4.26) вклада в интеграл (4.27) не дает, поэтому Ху — — — тта ~ о,'оу' —, 1„(о„', о„', о,') е(о; доу'до,', (4.28) дох 4 4) ПРИМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К ГАЗАМ 399 Наиболее парадоксальным для современников Максвелла, который первым вычислил коэффициент внутреннего трения газа (4.31), была независимость последнего от плотности газа.
Однако уже в семидесятых годах прошлого столетия этот результат был хорошо подтвержден на опыте, послужив тем самым веским доводом в пользу кинетической теории газов. Если приближенно считать скорости всех молекул одинаковыми, тО '),тио=о),'КТ И т=бп; ИСКЛЮЧаЯ ПОСРЕДСТВОМ ЭТИХ СООтНОШЕНИй йТ и т из (4.30), получим 1 т) = — ЛтОО з (4.32) Р =п,йТ,=ПН(Т,— ау), (4.33) откуда следует, что концентрация газа п= НАТО То ооу (4.
34) тоже зависит от координаты у. Таким образом, ° — "~2 ВТ) о ~ 2нк/ (Т „)о!о (4.35) Очевидно, это выражение превращает столкновительный член (д),'дГ)о, в нУль. ДлЯ опРеДелениЯ фУнкции РаспРеДелениЯ Т в первом приближении воспользуемся кинетическим уравнением (4.23). По тем же основаниям, как и в предыдущем случае, мы можем в левой части кинетического УРавнениЯ положить ) = То (4.35), тогда дГ' д~„ 1о ~КО д 1о тп д 1о+ Т, ( тоо +атпу У 2 (То — ащ)о~' (, а(То — Гон) — выражение, которое часто фигурирует при элементарном изложении кинетической теории газов.
3. В качестве второго примера применения кинетического уравнения к явлениям переноса в газах рассмотрим теплопроводность газа при наличии постоянного градиента температуры Го= — Г(ТЫу, направленного вдоль оси у. В качестве нулевого приближения для функции распределения мы опять воспользуемся локальной функцией распределения Максвелла ~т в которой температура Т=Т, — ау (Т, — температура на плоскости у=О). Условия механического равновесия в газе требуют в нем постоянства давления во всех точках, т. е.
400 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ (гл. х! В линейном приближении по градиенту температуры поток тепла вдоль оси у равен (4.37) где коэффициент теплопроводности х=д Ли. С другой стороны, по определению »У Л( 2 ) У~ (4.38) Так как 1« †четн функция О, то слагаемое 1« вклада в интеграл (4.38) не дает. Для того чтобы вычислить поток г)у в линейном приближении по и, достаточно во втором слагаемом в (4.36), пропорциональном а, во всех множителях положить и = О. Подставляя полученное выражение в (4.38) и считая т от скорости не зависящим, получим — ~ и ( и! ) ~ ~""«81 О»О~В 5»г г(ег (4.38а) Чу 6 пй»ТТ и= — = —— а 2 лг (4.39) где мы опустили индекс нуль у п, и Т„поскольку формула (4.39) относится к любой точке газа.
Более строгое рассмотрение показывает, что т, входящее в выражения (4:30) и (4.39), не вполне одинаково, поэтому простая связь между т! и н, следующая из (4.30) и (4.39), на самом деле не имеет места '). Мы рассмотрели только два простых примера применения кинетического уравнения к газам. Мы не касались вопроса о получении из кинетического уравнения законов сохранения массы, импульса и энергии и следующих из них уравнений гидродинамики идеальной и неидеальной жидкости. Мы не рассмотрели также решения кинетического уравнения с помощью последовательных приближений (метод Чепмена — Энскога). Читателю, который хотел бы подробнее ознакомиться с этим кругом вопросов, мы рекомендуем, в первую очередь, гл.
5Г и(г'! книги К. Хуанга «Статистическая механика», Изд. «Мир», М., 19бб. ') См., например, Сг, Н. У!Г а и и ! е г, 6!а!!5!!Са! Рйуыса, Лойп У!Г!1еу ап6 Яапа, 1пс. !Чеиг Уог!г, 1опаоп, зуапеу, 1966, р. 426. Проще всего вычислить этот интеграл, вводя полярные координаты с полярной осью, направленной вдоль у; тогда О = Осоз 0 и г(ег= О» гЬВ1пба(бг(гр. Применяя формулы Приложения 3 и используя определение (4.37), получим для коэффициента тепло- проводности 401 й 5) ЭЛЕКТРОНЫ ПРОВОДИМОСТИ В КРИСТАЛЛЕ 9 5. Электроны проводимости в кристалле') 1. В конце прошлого столетия немецкие физики Э. Рикке и П.
Друде выдвинули гипотезу о том, что электрический ток в металлах обусловлен движением <свободных» электронов, т. е. валентных электронов, отщепившихся от атомов металла. Так как электроны обладают отрицательным зарядом — е (а=4,803 10 " СГСЭ), то они движутся в направлении, противоположном приложенному внешнему электрическому полю Е. В результате столкновений свободных электронов с ионами металла средняя (дрейфовая) скорость электронов оказывается пропорциональной электрическому полю, что непосредственно приводит к закону Ома. Если, однако, предположить, как это сделал Г. А. Лорентц, что в отсутствие поля свободные электроны находятся в тепловом равновесии с ионами металла и обладают поэтому максвелловским распределением скоростей, то теория приводит к ряду противоречий, одним из которых является отсутствие вклада свободных электронов в теплоемкость металла.
В гл. 1Х (9 5, и. 1) мы видели, что это противоречие объясняется тем, что к свободным электронам в металле неприменима классическая статистика и они подчиняются статистике Ферми. Однако и после устранения этого противоречия осталось непонятным, почему, например, электроны проводимости в металлах и полупроводниках ведут себя в большой мере как свободные частицы и имеют такую большую длину свободного пробега. Только квантовая механика, изучившая поведение электрона в трехмерно периодическом поле кристалла, объяснила это, показав одновременно, что в кубических кристаллах возможна ситуация, при которой электрон проводимости приближенно ведет себя как свободная частица с пере- нормированной массой т~те (т,=9,11 10 " г — масса электрона), получившей название эффекгпивкой мпссыз).
В этом случае кинетическая энергия электрона в=то»!2=р»)2лт=ЬА»l2т (р=лге — импульс, Й=2п!А — волновой вектор и А=А!р — де-бройлевская длина волны электрона). Как показали теоретические исследования, выполненные в последние 10 †лет,мы можем во многих случаях не учитывать взаимодействия между свободными электронами не только в полупроводниках (когда их концентрация п мала, пж10»< — 10" слг '), но и в металлах (где пж 10»» — 1О" сл< '), т. е.можем рассматривать их как идеальный газ. Если электроны проводимости в кристалле характеризуются эффективной массой т и находятся в неравновесном состоянии, от В Для более подробного ознакомления с этим вопросом читатель должен обратиться к специальной литературе.
См., например; А. И. А н с е л ь и, Вве. дение в теорию полупроводников, Физматгиэ, !962. з) А.И. Ансельм, там же, стр. !2З. 402 ОснОВы теОРНН неРАВнОВесных пРОцессОВ [гл. х! их поведение описывается кинетическим уравнением Больцмана (2.13). При этом столкновительный член (2.4!) будет иметь более простую структуру, связанную с тем, что мы будем учитывать не столкновения свободных электронов друг с другом, а их столкновения с примесными атомами (ионами) или с колебаниями решетки.
В этом смысле рассеяние электронов в кристалле обусловливается некоторыми внешними агентами, пространственная нерегулярность (хаотичность) которых играет роль молекулярного хаоса в кинетическом уравнении для газов. 2. Пусть [и'(е, е', г, () [1 — 1(е', г,()) с(е' — вероятность электрону со скоростью е в единице объема вблизи точки г за единицу времени приобрести в результате рассеяния скорость, лежащую в интервале (е',е'+с(е'). При этом мы посредством множителя П— — 1(е', г, (![ учитываем принцип Паули, т. е.
вероятность того, что конечное состояние является незанятым'). Для определения величины 6 (2.37), ухода электронов из состояния е, необходимо приведенное выше выражение для вероятности помножить на 1(е, г, () и проинтегрировать по е'. 5= ~1(е) ((У(е, е') [1 — 1(е')] г(е' (5 1) где мы для краткости опустили аргументы г и г в [Р' н 1. Аналогично величина а (2.40) будет равна а = ) 1(е')((у (е', е) [1 — 1(е)] с(е'. (5.2) Таким образом, член столкновений (~() = — б='] [1(е')(Р'(е', е) [1 — 1(е)]— †1 (е) [Р' (е, е')[! †1 (е')] ] г[е'. (5.3) В случае равновесного состояния электронного газа 1(е) = 1,(о) и 1(е') = 1„(О'), где 1, †равновесн функция распределения Ферми или Максвелла.
Если рассеяние электронов происходит упруго, т. е. без изменения энергии (е=тоа(2=е'=то'*(2), то о=о'. В этом случае при равновесии ( —,) 0=1,(о) [! — 1,(о)] ] [[Р (е', е) — %'(е, е')]г[е'. (5.4) Отсюда следует, что %'(е', е)=Чу(е, е'), (5.5) т. е. вероятности прямых и обратных переходов одинаковы.
Условие (5.5) носит название принципа детального равновесия. ') строга говоря, для этого функция ((в', г, г) должна быть нормирована так, как функция распределения Ферми (!Х; 2.11); однако мы увидим, что в нашем случае множитель [! — 1(о', г, 0! выпадает, поэтому это обстоятельство не существенно. 403 9 51 ЭЛЕКТРОНЫ ПРОВОДИМОСТИ В КРИСТАЛЛЕ Очевидно, что соотношение (5.5), относящееся к элементарному акту рассеяния, не зависит от того, находится ли электронный газ в равновесном или неравновесном состоянии. Поэтому (5.5) можно использовать в (5.3); тогда (61) =~)р(, ')[П') — И Н~' (58) Таким образом, при упругом рассеянии электронов множители, соответствующие учету принципа Паули, выпадают. Это связано с тем, что уменьшения из-за принципа Паули прихода и ухода из е-состояния в точности компенсируются.
Положим, что неравновесность функции распределения вызвана электрическим полем, направленным вдоль оси х (Е=Е„). Ниже будет подтверждено, что в этом случае неравновесная функция распределе- 8 ния может быть представлена в виде 1(П) =1а (О)+1т =)е(О)+у(О) О„, (5.7) Р т. е. неравновесная добавка =7(О)О„. Подставляя (5.7) в (5.8),, и' учитывая, что О=О' и вынося из-под знака интеграла )((О) О„= 7„получим М (~~)„= а = — 7', ~Ч7(а, тт') ~1 — — "~ дат'. (5.8) Введем в тт'-пространстве полярные координаты с полярной осью, направленной вдоль т1 (рис. 80), тогда де' = О'НО'с(11', где с((а' = = в1пб'с(д'дф'. Если рассеяние происходит упруго, то вероятность рассеяния может быть представлена в виде Ю (а, Е') = Я7, (О, д') б (Π— О'), (5.9) где 8-функция обеспечивает условие О=О'.
Для сферического треугольника со сторонами 0', и н д, построенного на сфере для направлений тт, тт' и Е11х (рис. 80), имеем ') Рис. 60 сов а = сов д сов д'+ в1п д в1п д' сов <р Таким образом, (5.10) — = сов д'+1и 0 в!и 0' сов щ', (5.11) так как О=О'. ') Н. Е. К о ч и н, Векторное исчисление и начала тенаорного исчисления, Над. АН СССР, М., 1961, стр. 66. 404 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. х~ Подставляя (5.9) и (5.11) в (5.8), интегрируя по О' (с использованием 6-функцни) и Ч~', получим ( †) = — 1, 2п ) %',(6') !! — Соз 0'] з!п д'~Ю', (5.12) о где учтено, что интеграл по ~р' от созе' равен нулю и введено обозначение Ю,(б')=ОЧИ',(О, б') (5.13) для вероятности рассеяния электрона со скоростью О на угол б' (в единицу телесного угла).
Из (5.12) и определения времени релаксации (2.16) следует, что — =2п ~Ф',(д) (! — Созб) з!пдс(б (5.14) о (мы изменили обозначение переменной интегрирования). Мы видим, что в рассматриваемом случае упругого рассеяния столкновительный член может быть точно выражен через время релаксации. При рассеянии электронов в кристалле на примесных центрах удобно ввести вместо вероятности !Р,(д) сечение рассеяния о(б, О) (2.20) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
