Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(2.16) Величины а и Ь измеряют скорость прихода и ухода (г, е)-молекул в результате столкновений. Для того чтобы равенство (2.13) превратилось в уравнение для определения функции г(г, е!, 1), необходимо выразить а и ь в явном виде через г (что будет сделано ниже). В общем виде это выполнить довольно сложно, но в некоторых случаях (дальше будет показано, в каких именно) можно сделать простое предположение, что (2.16) где 1 †), †отклонен неравновесной функции распределения от равновесной, а время релаксации т(о) в общем случае зависит от скорости о (или энергии е=то»!2).
Для выяснения физического смысла т <выключим» в момент 1=0 внешнее поле г; если при этом плотность газа не зависит от координат ((д1/дг) = О), то дрейфовый член в (2.12) равен нулю, и из (2.13) и (2.16) следует (2.17) Производная по времени, стоящая слева, берется при е=сопз1, поэтому 1 ц ! — 1 ~ (~ !<1 — ( ! (2.18) —.= — Ь 7 ц о где 1 — начальное значение неравновесной функции распределения в момент 1=0.
Интегрируя (2.18), получим 1 — 1, =(1 — 1.) (2.19) т. е. за время т отклонение функции распределения 1 от 1, уменьшается в е раз по сравнению с начальным отклонением. Так как не- равновесная по скоростям функция распределения переходит в равновесное распределение Максвелла практически в результате нескольких (для каждой молекулы) столкновений, то время релаксации т по порядку величины равно среднему времени свободного пробега молекулы. 379 з 2) кинетическая уеьвнвнке вольцмьнА 2. Для определения разности а — Ь в (2.15) представляется целесообразным ввести понятие о дифференциальном сечении рассеяния о(б), Рассмотрим рассеяние однородного потока частиц, падающих с одинаковой скоростью и на сферически симметричный силовой центр, расположенный в начале координат О (рис.
74). Если рассматривать рассеяние по законам классической механики, то удобно Рис. 74. ввести прицельное расстояние Ь, равное длине перпендикуляра, опущенного из центра О на направление скорости и, т. е. расстояние, на котором частица пролетела бы мимо центра О, если бы,силовое поле отсутствовало. Угол рассеяния б равен углу между скоростями и и и' падающей и рассеянной частиц. При заданной скорости угол рассеяния 6 однозначно связан с прицельным расстоянием Ь, т. е. Ь=Ь(б).
Пусть 7 — плотность потока падающих частиц (число частиц, проходящих через площадь в 1 см' в 1 сек), йг=2л гйпбгВ— телесный угол, соответствующий растворам конусов б и б+ь(б, дй( (Й) — число частиц, отклоненных в угол г(Й за 1 сек; тогда дифференциальное поперечное сечение рассеяния о(б), по определению, равно (б) 1 ИУ (Я) (2.20) С другой стороны, в угол а(г отклоняются все частицы, которые в падающем пучке упали на площадь кольца 2пЬ(б)г(Ь(0), поэтому !.2иЬг(Ь=а)ч'((г); таким образом, из (2.20) следует (2.21) где взято абсолютное значение производной, так как Ы и дб обычно имеют разные знаки. Очевидно, что в общем случае дифференциальное сечение и зависит не только от угла О, но и от скорости падающей частицы и.
Интегральным или полным сечением рассеяния называется 380 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ [гл, х~ величина О,(и)= ~а(д, и)~И=2п~о(д, и)з(пддд. (2.22) о Размерность сечения: (а) =см', (2.23) как следует из (2.2!). Определения (2.20) и (2.22) сохраняются и при квантовомеханнческом рассмотрении рассеяния частиц. Из классической механики следует'), что при упругом рассеянии материальной точки на шарике радиуса а О(д) =па/4, (2.24) и, сладовательно, полное сечение рассеяния аа (б)НЙ 4 '4 =ж~, (2.26) т. е.
равно площади поперечного сечения шарика. 3. Рассмотрим теперь подробнее механику столкновения двух молекул с одинаковыми массами. Пусть до столкновения скорости молекул 1 и П равны в и е„а после столкновения их скорости равны в' и е',; такое столкновение мы будем обозначать символом (е, еД (в', еД. Сйлы взаимодействия молекул при столкновении значительно больше, чем внешние силы г'; поэтому можно считать, что сталкивающиеся молекулы образуют замкнутую систему, для которой законы сохранения количества движения и энергии имеют вид (после сокращения на массу и и и/2) (2.26) (2.27) за+в,=в'+и'„ ,а О~+На=о +О1 . ') Л.
Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика, М., ! 958, $18, Векторное уравнение (2.26) и скалярное (2.27) дают четыре уравнения, связывающие !2 составляющих скоростей е, в„е' и е',. Если нам заданы скорости молекул до столкновения е и в„то четырех уравнений (2.26), (2.27) все равно недостаточно для определения шести составляющих скоростей после столкновения е' и е',. Это связано с тем, что законам сохранения (2.26) и (2.27) соответствует бесконечное множество столкновений с различными значениями прицельных параметров. Другими словами, при заданных скоростях в н е, может существовать бесконечное множество столкновений, приводящих к различным скоростям в' и в'„удовлетворяющим соотношениям (2.26) и (2.27).
кинетическОе КРАВнение ВольциАнА Введем скорость центра масс (инерции) сталкивающихся молекул е,= —.'= — „, ~ ')= — ( +е,)= — ( +е,), (2.28) которая не меняется после столкновения; правая часть равенства (2.28) следует из (2.26). Скорости молекул в координатной сис- теме, связанной с центром масс, равны ее=е — е„еед=ед — е., ее'=е' — е„еед'=ед — е,.
(2.29) Подставляя в правую часть этих равенств е, из (2.28) и исполь- зуя (2.26) и (2.27), получим ее+ее,=О, егу'+ее', =О, ий'=си, д=ий =Од . йй й (2.30) (2.31) ий Айй ! / и и' Рнс, 75. Прибавляя ко всем скоростям ее, ее„... Скорость е„мы придем к рис. 76, б, изображающему то же столкновение в лабораторной системе. Скорость молекулы 1 относительно молекулы П до, и после столкновения равна Ф =е — ед, и' = е' — е',.
(2.32) Из (2.29), (2.28) и (2.32) следует, что скорости молекул в системе Мы видим, что в системе центра масс столкновение имеет весьма простой вид. Молекулы 1 и П до столкновения летят навстречу друг другу со скоростями ее и еед = — ее; после столкновения они разлетаются в противоположных направлениях, с теми же по абсолютной величине скоростями ее' и еед = — ее' (ий' =ий). На рис. 75, а представлена схема такого столкновения. 382 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. х! центра масс равны 1 . 1 те= — (е — е) = — и= — ее, 2 ' 2 1,, ! ее'= — (е — е',) = — и = — ее'„ 2 г 2 (2.33) Полное число столкновений, испытываемых в 1 сек в единице объема всеми е-молекулами, т.
е. убыль (уход) этих молекул, равно б = 7 (е) ~ !(е, ~ йг а (д, и) ( е, — е ~ 7 (е,). (2.37) Аналогично определяется величина а для обратных столкновений типа (е', еД вЂ” (е, е,), ведущих к увеличению числа е-молекул. Число е',-молекул, рассеянных в ! Сек в единице объема на угол д на е'-молекулах с образованием при каждом столкновении одной е-молекулы, равно 1(е',) !(е', ~ е,' — е' ( О (д, и') гЯ.7 (е') де', (2.38) где е',— е'=е — е,; очевидно, е и е, надо рассматривать как функции е', е', и (). Так как и =и', то дифференциальные сече- причем, как следует из (2.30), и= — и'.
На рис. 76 представлено рассеяние обеих частиц в системе центра масс О. Мы видим, что движение обеих частиц совершенно симметрично, поэтому достаточно и' рассмотреть движение одной из ш них; оно может быть описано как 1 ггг,l рассеяние на неподвижном центре О. Г ш и Плотность потока е,-молекул, ггг г '')" падающих на е-молекулу, нахоггг г дящуюся в «той же точке» прост- ранства г, равна / ~г 'и = 7 (е,) г(е, и. (2.34) ш,' Из этого числа частиц отклоняются в телесный угол г((г 7О(д, и)г((г=1(е,)г(егио(д, и)!(4г (2.35) частиц.
Здесь О(б, и) — дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс, т. е. д — угол между и и и'. Полное число частиц, рассеянных в 1 сек на одной е-молекуле, равно ) де, ~ д(го(б, и))е,— е(г(е,). (2.36) 383 з 21 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАННЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ния а(б, и) и о(б, и'), входящие в (2.37) и (2.38), равны, т. е.
о(0, и) = О(б, и'). Далее, рассмотрим ансамбль из двух сталкивающихся молекул, скорости которых до столкновения лежат в интервалах (е, е+де) и (е„е,+де,). Если прицельные расстояния для всех сталкивающихся молекул ансамбля одинаковы, то скорости всех молекул ансамбля после столкновения будут лежать в интервалах (е', е'+с(е') и (е'„е',+де',).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
