Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 68
Текст из файла (страница 68)
е. они не выделяют определенного направления времени, другими словами †дают возможности приписывать событиям понятия «раньше» и «позже», как это делает второе начало термодинамики. Процесс измерения в квантовой механике выделяет направление времени. Б. И. Давыдов (ЖЭТФ 16, 105, 1946; 17, 845, 1947) пытался связать с этим обстоятельством необратимость второго начала, однако вряд ли можно считать эту попытку удавшейся. Обычная постановка задачи в теории излучения и рассеяния также позволяет судить о том, что было «раньше» и «позже», но как использовать это для обоснования второго начала термодинамики †неяс. Быть может в наиболее общем виде противоречие между законами классической механики и вторым началом термодинамики было продемонстрировано в так называемом парадоксе возврата (%!ебегкепге!пц апд), рассмотренном Э. Цермело в 1896 г.
Возражение Цермело было основано на так называемой теореме возврата Пуанкаре„сущность которой сводится к следующему. Рассмотрим финитную консервативную механическую систему, т. е. систему с заданной полной энергией «7, заключенной в конечный объем 1~. Пусть на рис. 70 Р— фазовая точка в Г-пространстве на поверхности Я(д, р)=8, изображающая систему в начальный момент времени !=О, когда ее состояние сильно отличается от равновес- 5 1! прналнжанне снстамы к тегмодинлмнчасконг равновесию 369 ного. Теорема Пуанкаре заключается в утверждении, что какой бы малой ни была выбрана область у вокруг точки Р, всегда существует такое конечное время Т, называемое циклом Пуанкаре (тем большее, чем меньше область у), в течение которого фазовая точка, изображающая систему, возвратится в область у (рис. 70)').
Таким образом, движение финитной консервативной системы носит квазипериоднческий харак- 7 тер, т. е. начальное состояние системы будет воспроизводиться с любой степенью точности за конечные промежутки времени. На первый взгляд, это обстоятельство кфр/ =а находится в решительном противоречии со вторым началом термодинамики, согласно которому система монотонно (с точностью до флуктуаций) эволюционирует в сторону возрастания ее энтропии, переходя в конце концов в равновесное состояние, которому соответствуют какие-либо другие точки (не Р) на поверхности Я~ (р, д) =еу.
Больцман в очень интересной работе дал решение парадокса возврата Цермело. Он рассмотрел систему, состоящую из 10" атомов идеального газа, движущихся с одинаковой скоростью 5 10' см/сек и заключенных в объем, равный 1 см'. Если потребовать воспроизведения начальных положений атомов с точностью до 10 ' сн и начальных составляю1цих скорости с точностью до 1О'сн/сек, то по оценкам Больцмана цикл Пуанкаре Т= 10"" лет. До того как мы поймем, насколько колоссален этот промежуток времени, оценим цикл Пуанкаре для более простой, но также разумной физической ситуации.
Рассмотрим У молекул идеального газа в объеме )/, которые в состоянии равновесия заполняют этот объем равномерно. Пусть в начальный момент времени все молекулы газа занимают половину объема )г/2; чему равен цикл Пуанкаре для носпроизведения этого сильно неравновесного состояния газае Так как переход газа к равномерному распределению по объему происходит очень быстро, то цикл Пуанкаре равен времени, в течение которого возникает описанное выше неравновесное состояние из равновесного. Вероятность того, что в результате беспорядочного теплового движения молекулы идеального газа займут объем $'/2, согласно (1; 4.40) равна ш, (й/)=(1/2)м=2 я=10 лм з; так как !я1е2=0,301, то можно считать ю,ч=10 ') См. Приложение 1О. 370 [гл.
х~ основы тнотнн не»ланов«оных пгоцнссов Согласно принципу Больцмана (Х; 2.4) вероятность ш связана с энтропией соответствующего состояния 5, поэтому очень малым вероятностям будет соответствовать сильное уменьшение равновесного значения энтропии. Рис. 69 (стр.
358) представляет такое изменение энтропии нашей системы во времени, если под флуктуирующим параметром а~ понимать энтропию с обратным знаком, т. е. а~= — В. Относительная флуктуация энтропии в нашей системе очень мала, она порядка 6 У ч'=!О ' (если мы положим Ж= =10"). Большие флуктуации, подобные рассмотренной выше, будут происходить чрезвычайно редко.
Естественно предположить, что отношение времени релаксации гигантской флуктуации т, (см. пик на рис. 69) к промежутку времени между такими флуктуациями Т (циклу Пуанкаре) порядка вероятности шло т. е. Т = — ' = т, 10к сек, (1.2) если т, выражено в секундах. Для того чтобы понять, насколько огромен этот промежуток времени, достаточно сказать, что он с практически одинаковой (логарифмической) точностью равен 10к сек, 10' лет и 10~ возрастов Вселенной '). Отсюда следует, что теорема возврата Пуанкаре для макроскопических систем из атомов(молекул) физического смысла не имеет.
Этими замечательными соображениями Больцман разрешил парадокс возврата Цермело. 2. Сравним равновесное и неравновесное состояние идеального газа в фазовом Г-пространстве. Больцман показал, что равновесному состоянию идеального газа соответствует подавляющая часть фазового объема, доступного газу при заданной энергии и заданном объеме сосуда. Для микроканонического ансамбля вероятность определенного состояния системы пропорциональна соответствующей этому состоянию величине фазового объема; поэтому если принять микроканоническую гипотезу, то переход газа к равновесному состоянию можно интерпретировать как «переход к более вероятному состоянию».
Будем описывать состояние идеального одноатомного газа по- . средством задания числа фазовых точек в ячейках его р-пространства (гл. 1У, 9 3, п. 2). Пусть 1«'„— число молекул (фазовых точек) в ячейке (Ар)„и пусть полное число молекул )у=2.м„, (1.3) а полная энергия газа еу =~,н.М„, (1.4) а где е,— энергия атома в а-й ячейке. Заметим, что, в силу «размазанности» задания энергии атома в пределах объема ячейки, '1 Во»наст Вселенной оненнвается в 1О" лет. ф 1! пгивлижеиие системы к твемодинхмическомх»хвиовасию 371 а а««$а Ь Ь+ 1 энергия ф в (!.4) задается с некоторой неточностью, что соответствует некоторому слою толщины Д«7 вблизи энергетической поверхности Я (а, р) =«7 в Г-пространстве.
Мы выбираем ячейки (Др)„ такими, чтобы числа У„ были много больше единицы, аналогично тому, как мы поступали в гл. 1У, 3 3, п.2. Числа У, определяют некоторое немаркированное состояние газа с точностью до величины ячеек (Д1«)„. Такое описание газа, которое может быть названо полумикроскопическим, не определяет, конечно, координат и импульсов всех атомов. Если доступное газу р-пространство разбито на 7И ячеек, то объем Г-пространства, соответствующий состоянию газа с заданными числами У„равен В самом деле, Г-пространство можно представить себе в виде произведения У 1«-пространств, соответствующих У атомам газа.
При переме1ценни первого атома в пределах ячейки (Д1»), в 6У-мерном Г-пространстве выделяется шестимерное подпространство объема (Д(»),. При перемещениях У, атомов внутри ячейки (Др), в Г-пространстве фиксируется область размера (Др),". Наконец, при перемещении всех атомов в их ячейках в Г-пространстве выделяется объем (др)м (Др)ив (Д1«) а (Др) (1.6) Если два атома поменять местами, то объем Г-пространства (1.6) удвоится, если же произвести все возможные перестановки атомов (из разных ячеек), то он увеличится в У1 В+А с с (1, ) ГГ,'Ч й раз.
Поэтому полный объем ! 1 1 С' Г-пространства, соответствую- а+да щий фиксированным числам У„, равен произведению (1.6) на (1.7), т. е. выражению(1.5). ~ 1 1 иди Для лучшего уяснения сказанного рассмотрим Г-пространство двух измерений, распадающееся на два и-прост- Рис. 71. ранства х, и х„соответствующие «атомам» №1 и № 2 (рис. 71). Пусть фазовая точка «атома» № 1 лежит в 1«-ячейке Да, а «атома» № 2 — в р-ячейке ДЬ, тогда обоим «атомам» в Г-пространстве соответствует «объем» Да Да, изображаемый площадкой С. Если мы поменяем «атомы» местами, то им будет соответствовать в Г-пространстве площадка С' ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ !гп. х! того же объема Ьа бд и, следовательно, полный «объем» Г-пространства будет равен 2ба ЛЬ.
При одинаковом размере ячеек (бр)„=бр (для всех а) выражение (1.б), равно (бр) а — (А)А)!Р и зависимость Й от У„совпадает с зависимостью от них термодинамической вероятности ЯГ (1Ч; 3.19). Покажем, что максимуму ь) (или !п(е), при дополнительных условиях (1.3) и (1.4)„ тоже соответствует для У„распределение Максвелла — Больцмана (1Ч; 3.27). Из (1.5) следует 1и еп = 1и У! — ~; 1п У, ! + ~ч' „У„)п (Л!А)„. Считая У„достаточно большими для применения формулы Стирлинга, получим 1п й = — ~ (У„)п ӄ— У„1п (Лр),1 + оопп(, а где сопз! в правой части от чисел заполнения У„ не зависит. Из (1.9), (1.3) и (1.4) можно показать, точно так же как из (1Ч: 3.21) и (1Ч; 3.24), что максимуму 1п !1 соответствует распределение Максвелла — Больцмана: У,=С(бр)„е В'«; (1.10) зто распределение отличается от (1Ч; 3.27) только тем, что в предэкспоненциальном множителе в явном виде выделен объем ячейки (бр)„.
Неопределенный множитель Лагранжа р определяется из условия (1.4) (и=1!йТ). Для того чтобы оценить Остроту максимума фазового объема 11, соответствующего равновесным числам заполнения У„(1.10), разложим 1п !1 (У„) =!и !1 (У„+ ЛУ„) (1.9) в ряд по ЬУ„до'членов второго порядка: ., Гд!и й1 1п Й(Уп+ЛУц)= 1пй(Уп)+2~~ дФ ~п ЬУц+ ! Гд'!НЯ1 2 ХХ (дй„д!РВ~ У„л!В «' и ( ' ) Так как числа У„определялись из условия максимальности 1и 11, то (д !пй/дУ„]л =0; с дРУгой стоРоны, дР!пй ! дл!„дА!~ Л/~ 4 !] п»ивлижкиик системы к тк»моднилмичвскомг глвиозесию 373 Из (!.11) и (1.12) следует !Пи(У„+ АУ„) — 1п и (У„) = — — )", У = — 2 ((=') ) У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
