Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 63
Текст из файла (страница 63)
И. С и и р и о в, Курс высшей математики, М.— Л., 1951, т. !1, Рл. И, рааделы 27, 28. 340 Флуктуации и ЕРАуиовское движение (гл. х где С, =С . Сравнивая (4.6) с (4.8), мы видим, что х' отличается от х' слагаемым йТ(г». Если при 1=0 х'=х'„то из (4.6) следует, что а а( (1 -т*ш)+ е -~иВ( (4.9) 2. Рассмотрим теперь движение брауновского вибратора иным методом. При этом мы будем близко следовать оригинальной работе Смол уховского ') .
Рассмотрим вначале движение брауновской частицы в пеле постоянной силы. Из (3.22) следует, что вероятность свободной брауновской частице в момент г иметь координату в интервале (х, х+((х), если в момент 1=0 она находилась в точке х=х„ равна (~-~„)~ йу (х)((х= — и (х, 1)((х = е аг" ((х. (4.10) )г 4нЖ Как изменится это выражение, если на брауновскую частицу дополнительно действует в направлении оси х постоянная сила (г Под действием такой силы частица приобретает постоянную скорость х=В1, где. — подвижность; поэтому за время г частица пройдет путь ВЦ. Если считать, что брауновское движение частицы и движение ее под действием силы 1 просто складываются, то в формуле (4.10) надо заменить х на х — В~( '), тогда (а-»,— В((н Яу (х) ((х = — е 'ш ((х.
(4.1!) 1( 4п1)Г Элементарный расчет, подобный (3.24), показывает, что (х — х,)' = 2Р(+ (В(1)а. (4.12) Рассмотрим теперь движение брауновской частицы в произвольном консервативном поле. Пусть Ф'(хе; х, 1) — вероятность того, что частица, имевшая в момент г= (,=0 координату х„будет иметь в момент 1 координату в интервале (х, х+((х). Эту вероятность можно представить себе как сумму (интеграл) вероятностей перехода через все возможные промежуточные состояния х=$. Последняя же вероятность равна произведению вероятности перехода в состоянии ($, 9+(19) за время д, на вероятность перехода из состояния $ в сос- ') «Брауновское движение», сборник статей Эйнштейна н Смолуховскога под редакцией Б.
И. Давыдова, ОНТИ, 1936, стр. 905. а) Праще всего обосновать это, рассматривая свободное движение браунов- ской частицы в координатной системе, которая движется в положительном направлении оск х с постоянной скоростью В). 341 з 41 ВРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВИВРАТОРА таяние (х, х+г(х) за время 1 — д. Таким образом, \О йУ(хе; х, 1)г(х=с[х ~ с$%'(хе; $, д) ))У ($, д; х, 1 — 6).
(4.13) м Очевидно, что вероятность 1[7(хе; х, 1) должна обладать такой структурой, чтобы интеграл в правой части не зависел от 6 (в примере, рассматриваемом ниже, видно, как это получается). В основе соотношения (4.!3), называемого интегральным уравнением Смолуховского, лежит предположение, что вероятность того, что в момент 1 координата заключается в интервале (х, х+ах), полносгью определяется заданием координаты частицы х, в предшествующий момент времени 1,=0. Здесь существенно, что на вероятность Чу(х„1е; х, 1) не влияет состояние системы в моменты 1(1е. Стохастические процессы, удовлетворяющие такому условию, называются марковскими (цепями Маркова' )).
В марковском процессе вероятность состояния системы в момент 1 однозначно определяется ее состоянием в любой предшествующий момент времени, аналогично тому как состояние системы в классической механике однозначно определяется начальным состоянием. То, что брауновское движение — марковский процесс, кажется весьма правдоподобным.
Но не следует думать, что все стохастические процессы принадлежат к марковскому типу'). В некоторых случаях вероятность определенного состояния системы в момент 1 не определяется заданием ее состояния в более ранний момент, а зависит от истории системы за весь предшествующий период времени. Рассмотрим брауновский вибратор, т. е. брауновскую частицу, на которую действует квазиупругая сила 1= — схх. Вероятность перехода в течение очень малого промежутка времени т, за который частица мало сместится из своего начального положения х„ можно рассматривать как движение в поле постоянной силы 1= — ах„ поэтому числитель в показателе экспоненты (4.11) будет равен [х — х,+Вахах)'=[х — х,(1 — тт)1', где мы положили Ви= Р.
(4.14) Таким образом, [х — х, М-тт11' Ю (х,; х, т)с[х = е 'о' Йх. (4.15) Вероятность частице иметь координату в интервале (х, х+с[х) в момент 2т, в результате перехода через промежуточное состояние ') А. А. Марков (1856 — !922 гг.) — выдающийся русский математик, профессор Петербургского университета, один иа основоположников теории вероятностей. ') Теория неноторых более общих процессов была рааработана А, Я. Хинчиным, УМН, 1938 г.. вып. 5, стр.
42. 342 [гл. х елуитухции и БРАуноВское дВижение с х=$, равна согласно (4.13): (л-$ (о-оо(1о (т-л, ((-оон' [[Р (хо, х, 2т) г( в ооо е ооо ([$ )/ 4л(%,) к +ло (1 — оо1 о ! — е ооо ') ехр ( 7 4л(Эт [1+(1 — ут)о[ Р— 2(х+хо) (1 — от) $~ ~ 4!!т (4. 16) Интеграл в (4.16) берется по формуле о о ЕХР( Ро ~([о)([о ) ЕХР [ Р(о~ 2 ) + 4 ~ ((о (л Ф =ехр(4 ) )/ —, (4.17) где использовано (П3.1).
В результате получим [[['(хо; х, 2т)= 1 ехр [ — ' [. (4.18) [ [х — хо(! — Ут)о[о[ У(гл Ргтрк: Р 1 олооо- Р~(' Поступая так же дальше для последующих интервалов времени Зт, 4т, ..., пт, получим 1 [[У(х,; х, лт) Х ф' 4л.0т )(1+(1 — ут)о+(1 — тт)о+... -1-(! — ут)о(л-(( Х ех . 9) р ( 40т[1+(1 — ут)о+(! Ут)о+ +(! т,!о(п-о[( ( 4.1 Перейдем в этом выражении к пределу: т- О, л- оо при пт = ! = Сопз[. Геометрическая прогрессия 1+(1 — тт)о+(! — тт)о+...
+(1 — тт)о(" "= —, (4.20) Таким образом, у(Х л 1ПП (1 — тт)л= !ПП (1 — — У! =Е-" л л о о Р (! Ут)ол 1 ! о- оо( 1пп т (1 — ут)о — 1 2у о О (4.22) 2Ло1(1 — Е-Оо!) [ 2(З(1 Е-ЪО!) ' Используя два последних равенства, получим после предельного перехода для (4.19): 343 $41 ВРАуновское йВиженне ВнВРАТОГА Таким образом, нам удалось получить выражение для вероятности брауновскому вибратору иметь в момент г координату в интервале (х, х+пх), если в начальный момент времени 1= 0 он имел координату х,. Используем (4.23) для вычисления х и х', О х = ) х %' (х,; х, () дх = Ф Н 2НА) (! — е-В г) ~ ! 2О(! — е-Вл)) =у Вводя переменную интегрирования г=х — х,е ", получим х=хе ".
(4. 24 ) Аналогично О~ х'= ) х'()у (хо' х, Г)йх= — (1 — е м')+х1е '"' (4.25) ч 6 что совпадает с (4.9), если учесть (4.14) и (3.25). Рассмотрим движение брауновского вибратора за малый промежуток времени ((<1/ч; тогда ехр( — 2чг) = 1 — 2чг и х' — х, '= (х — х,)' = 2Р(, (4.26) как следует из (4.25), если учесть, что х х, (см.
(4.24)). Формула (4.26) совпадает с (3.18) для свободной брауновской частицы. Распределение (4.23) имеет в этом случае вид (4.10). Для больших промежутков времени (>) 17ч получим из (4.25) (если ехр( — 2чг) ж О): — А) МТ х' (4.27) а ' если использовать (4.14) и (3.25). Выражение (4.27) совпадает с (!.41), т. е. является простым следствием закона равнораспределения энергии по степеням свободы.
Вероятность перехода (4.23) в этом случае равна ам!в Г 2л0 Г 2Ал АТ 1пп (Г (х,; х, () = )ч (х) = 1 — е '" ~'~= 1 —,е Ат, (4.28) если подставить ч(77=а7МТ. Правая часть (4.28) является частным случаем общего выражения (2.24), в-котором А„=их'72— работа, необходимая для того, чтобы обратимо и изотермически перевести вибратор из равновесного состояния в состояние с заданным х.
Отметим, что (4.27) и (4.28) не зависят от х,— начального состояния вибратора. ФЛУКТУАЦИИ И ВРАУНОВСКОЕ ДВИЖИНИН [гл. х 344 3. Выражения (4.23) и (4.28) позволяют наглядно проследить, как возникает переход от обратимого механического поведения системы к термодинамическому необратимому. Учитывая связь между энтропией и вероятностью (2.4), получим, используя (4.28), следующее выражение для энтропии брауновского вибратора: тха Я(х) = !е 1п йт = сопз1 — й — = сопз( — — ( — ), (4.29) ! (х-ха' 1Р (х; х !)= е —,о,' 1' АЖ (4.30) что совпадает с (4.10) †вероятност распределения для свободной частицы.
Вероятность (4.30) симметрична относительно точки х„ поэтому в начальные моменты времени энтропия вибратора Я(х ) = сопз( — — ( †') может с одинаковой вероятностью как о 2 ( 1) расти, так и убывать, т. е. система ведет себя обратимым образом. Другая ситуация возникает, если наблюдать систему в течение большого промежутка времени. Покажем, что в этом случае система ведет себя необратимым образом, релаксируя к состоянию с большей энтропией. Определим, пользуясь (4.23), «время релаксации» б(, в течение которого число вибраторов (случаев), у которых х становится меньше х„превышает нх число с х) х„например, в пять раз'). В этом случае «е О ~ Я7 (х,; х, б!) дх = 5 ~ Ю (х,; х, Ь!) г(х.
(4.31) Подставляя сюда вместо Ю'(х„; х, б!) (4.23) и вводя вместо х переменную интегрирования р' ( —.-"') (4.32) $' 2ЬР(! — Е Втвв) '] Числа пять выбрано совершенно проиавольнп, где координата вибратора х играет роль параметра а в выражении (2.4). Как следует из (4.27), величина ив= 1)/у='КТ(о.=х'— среднее квадратичное смещение вибратора из равновесного положения. Значению х = $ соответствует максимальная энтропия внбратора. Из (4.23) следует, что для малых промежутков времени !(<1/У=!/Ва, когда экспоненты можно разложить в ряд, веро- ятность 345 9 4) вналиовскон движинни вин»итога получим е м — !" е"У с(у= — ! е-У Иу 1 Г е 5 Г е (4.33) где (4.34) как это следует из (4.32). Выражение (4.33) может быть переписано в виде г — !елду= —, 2 !' а 2 (4.35) о если учесть, что О е-У,(у а рц 2 о (см.
Приложение 3). Из (4.35) следует, что') к=0,68. (4.36) (4.38) видим, что при х, *> 9» величина х' со временем уменьшается и стремится к 9», а при х,*(йа величина х' увеличивается до значения 9«. То есть во всех случаях вибратор стремится к а) См. любыетаблнцы интеграла вероятностей, например: Е. Я н к е, Ф. Э мд е и Ф. Л е ш, Специальные функции, Над. «Наука», 1988.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
