Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 58
Текст из файла (страница 58)
параллельные спины из-за принципа Паули, но если уменьшение энергии электрона, связанное с переориентацией его магнитного момента по полю (равное 2рэ77), больше увеличения его энергии при переходе в свободную ячейку, расположенную на более высоком энергетическом уровне, то такой переход, связанный с общим уменьшением энергии электрона, осуществится. Таким образом, вблизи энергии е=р, ориентируются по полю электроны в энергетическом 31О [гл.
~х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ ж=~,— '(»,— ', А,)', (5.15) где р; — = (Ры, Р;„, Рм) — прямоугольные составляющие импульса 1-го электРона, А;=(А„(хо Уо г,), А (х„Уь ге), А,(хи У,, г,))— прямоугольные составляющие вектор-потенциала, зависящие от координат хо уо г; 1-го электрона. Статистический интеграл для свободных электронов в магнитном поле л = ~ е ее~от (е(х) (е(у) (дг)(г(р„) (т(р ) (т(р,), (5.16) где Я равно (5.15), а (дх) = дх, е(хо... Нх ~, ..., (е(р,) = е(р„... е(р,~,. Так как Я~ (5.15) состоит из суммы 51 слагаемых, одинаково за- висящих от составляющих р; и Ао то (Ю е=[111Ф.оо111е.,ео,е.,х х ехр 2м ЕТ (5. 17) Введем новые переменные интегрирования: Р„'= р„— — А„, е р„'=Р— — 'А, р,'=Р,— — 'А„х'=х, у'=у, г'=г; тогда Рх РЕ +Ро ~ ~~ е(х Ф е(з Ц ~ т(ркг(РРт(рое отот — Ф е=~ слое толщиной ЬБ=21АБН (рис.
63, б). Соответствующий им магнитный момент 1овуо ((Ао) 2рБН=1ов Ы(ро) Н, (5.14) что совладает с температурно независимой частью (5.12). 3. Рассмотрим кратко с классической точки зрения вопрос о диамагнетизме свободных электронов.
На первый взгляд кажется, что электроны, двигаясь по круговым орбитам в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, создают магнитные моменты, направленные против поля, ответственные за диазеагнетиэм. Однако простой расчет показывает, что в классическом приближении диамагнитная восприимчивость свободных электронов равна нулю. В самом деле, для свободных электронов в магнитном поле функция Гамильтона равна (1; 2.12) В 51 пнимнннннн статистики ннгми к эликтнонам пнонодимости 311 (5.20а) где е и т †зар и масса электрона, с †скорос света.
Термодинамический потенциал й для электронов, подчиняюшихся статистике Ферми, согласно (3.4) равен Й= — йТ,Эа'1 т(Р,й(п, Ра)!п(1+ига '" аац ), (5 21) а,1 где интегрирование по энергии заменено суммированием по кван- товомУ числУ и и интегРиРованием по Р;1 д(п, Ра)ЙР,— число квантовых состояний при заданном и в интервале (р„р,+с(ра). Мы не будем определять в явном виде д(п, ра) и производить интегрирование и суммирование в (5.21). Заметим только, что ') Л. Д. Л а н д а у и Е.
М. Л и ф ш и н, Квантовая механика, М., 1зба, $111. Мы видим, что статистический интеграл для свободных электронов в магнитном поле не зависит от магнитного поля. Из (1Ч; 4.48) следует, что магнитный момент, создаваемый орбитальным движением свободных электронов, у '1рнхт у ( щ т =О, (5.19) как это следует из определения свободной энергии т и (5.18) (теорема ван Леевен).
Впервые это было иным способом доказано Бором (1911 г.) в его докторской диссертации. Бор показал, что магнитные моменты, образованные круговыми орбитами электронов, компенсируются магнитными моментами незамкнутых орбит вблизи поверхности (рис. 64). Результат (5.19) й1=0 не зависит от того, подчиняются ли электроны статистике Больцмана или Ферми. В 1930 г. Л.
Д. Ландау в интересной работе показал, что если учесть квантование свободных электронов в магнитном поле, то их диамагнитная восприимчивость, в противоположность (5.19), не равна нулю. Из квантовой механики известно, что уровни энергии свободного электрона в магнитном поле Н=Н, (Н„=Н =0) равны ') илаг = йшс (и+ З ) + 2 †. (5.20) Рис. на. Здесь квантовое число магнитного осциллятора п=О, 1, 2, ..., р,— импульс электрона вдоль магнитного поля (оси г) и ц11клотронная частота еН шс ' 312 [гл. ~х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ если ьа(Т, )г, Н, р) определено, то полное число электронов (5.22) а магнитный момент М= — — 1 — ) 1 /дЯ) (5,23) 1г ~дН ~г, Р.
и как это следует из (Ч1П; 1.38, 1.41). Исключая из (5.22) и (5.23) химический потенциал )ь, получим диамагиитный момент (восприимчивость) свободных электронов, обусловленную их орбитальным движением'). 4. При нагревании металла до высокой температуры его свободные электроны могут приобрести скорость, достаточную для преодоления потенциального барьера иа поверхности металла, и выйти в вакуум (термоэлектронная эмиссия).
Если приложить между нагретым металлом (катодом) и другим металлическим электродом (анодом) разность потенциалов, ускоряющую электроны по направ- лению к аноду, возникнет термоНем зла Рыуун электронный ток. Максимальная величина плотности этого тока 1, (тока касаи(ения), соответствующая достаточно большой разности приложенного потенциала, опрег(е! деляется количеством электронов, испаряющихся с 1 см' поверхности металла в 1 сек. Ток 1, может быть определен посредством следующего простого приема.
Рассмотрим нагретый металл, испускающий электроны, в равновесии с газом электронов над его поверхностью. В равновесии число электронов, испускаемых в 1 сек единицей поверхности металла, равно потоку электронов на него из газообразной фазы. На рис. 65 представлен порог потенциальной энергии электрона )( при переходе его из металла в вакуум и распределение Ферми для свободных электронов в металле. Если скорость электрона в металле в направлении, перпендикулярном к поверхности, удовлетворяет условию тоз !2)у„, то электрон может вылететь в вакуум. Для того, чтобы металл удерживал подавляющее большинство свободных электронов, необходимо, чтобы ()( — )ь)~>йТ, где р — химический потенциал электронов.
В равновесии р имеет одинаковую величину как в металле, так и в вакууме (Ч[П; 2.13). ") Более подробное изложеиие смл Г. Бете, А. 3 о м и е р ф ел ьд, Электронная теория металлов, Л. — М., 1936, 4 26. Недавно Ю. Н. Образцов и И. Б. Куликов (ФТТ 11, 972 (1969)) показали, что в некоторых интервалах зпачеиий напряженности магнитного поля орбитальное двиягеиие электронов вНосит парамагиитиый вклад в намагниченность электронного газа. й 51 птимкнкник статистики ькгми к элкктгонхм пгоаодимостн 313 Если потенциальная энергия электрона в металле равна нулю, то в вакууме она равна )(, поэтому концентрации электронов в металле и вакууме равны 8 т~ 2п(из(в ~ )авек и кез аз в(в-юыт+( о 8)Х 2яоззтз ~ )те ((з п взв аз (вэх-кнзт+( е о (5.25) Здесь к = р'/2т — кинетическая энергия электрона. Так как ехр 1(у — (х)(/йТ'1>) 1, то можно в знаменателе подинтегрального выражения (5.25) пренебречь единицей, и 8 ь~ 2 по(з(з п взк з е- (х-кпвт е-еlзт~' кх(е= а о 4~ 2пз(зтз~з „.,з(з -(х-Ю!вт (5.26) где интеграл по х= к/йТ равен Г (3/2) = )х п(2 (Приложение 3).
Значение р в (5.26) определяется из (5.24), т. е. равно (2.37). Из (5.26) следует, что концентрация п„к настолько мала ( Х вЂ” ((1 ехр ( — —, х ((1), что электроны в вакууме подчиняются классический статистике; поэтому поток электронов из вакуума на 1 ем' поверхности металла определяется выражением (11; 4.20), а равный ему поток электронов из металла в вакуум создает ток насыщения — Гааг / =е п — о= — еп тот з ввк 4 4 взк Г (5.27) 4пыз,йТ,з -(х-киот (5. 28) — так называемую формулу Дэшмена для термоэлектронного тока насыщения.
Универсальная константа 4птейз/йз = 120 а/см'град'. Величина (р = )( — р называется работой выхода электрона из металла. Она имеет порядок нескольких электрон-вольт. Дая где о — средняя скорость электронов в вакууме. Подставляя (5.26) в (5.27), получим 314 [гл. ~х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ чистых вольфрама, тантала, цезия, железа она равна: ф, = 4,52 вв, фт, = 4,12 вв, фс,= 1,81 вв, фв, =4,48 вв. Эксгюненциальная зависимость тока насыщения 1, (5.28) от температуры хорошо оправдывается на опыте. Однако коэффициент, стоящий множителем при Т' в (5.28), для большинства металлов не имеет универсального значения 120 аlсм' град'.
Это может быть связано с тем, что в выражении (5.27) для потока электронов, падающих из вакуума, надо учитывать их коэффициент отражения от поверхности металла. Из квантовой механики известно, что этот же коэффициент отражения войдет в выражение для потока электронов (5.28), вылетающих из металла в вакуум. Представляется вполне естественным, что кинетическая величина (ток насыщения 1,) не может быть полностью определена из соображений статистической физики равновесных состояний.
Глава Х Флуктуации и брауновское движение 5 1. Флуктуации и обусловленный ими предел чувствительности измерительных приборов 1. До настоящего времени мы уделяли мало внимания тому, что различные величины для системы, находящейся в статистическом равновесии, испытывают колебания (флуктуации) вблизи своих средних значений. (Конечно, это не относится к тем величинам, которые в условиях равновесия строго постоянны, например, энергия для замкнутой системы, число частиц в закрьпой системе и т, д.) Существование таких флуктуаций неизбежно вытекает из атомного строения вещества, а возможность их количественного описания— из хаотического (беспорядочного) движения частиц. Из (1; 4.39) следует, что относительная флуктуация аддитивной величины 6г по порядку величины равна л( ~*, где У вЂ” число частиц (частей) рассматриваемой системы.
Для макроскопической системы число частиц У 10*', поэтому относительная флуктуация бн-10 ", т. е. пренебрежимо мала. Однако в некоторых случаях флуктуации проявляются на опыте. Молекулярное рассеяние света связано с флуктуациями плотности рассеивающей среды и обусловленными ими колебаниями диэлектрической постоянной. Флуктуации теплового движения молекул проявляются в нерегулярном движении микроскопических частичек, взвешенных в жидкости или газе (брауновское движение), наконец, флуктуации ставят естественный предел точности измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
