Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 55
Текст из файла (страница 55)
8ау ~ 1п ( ! ~ е)е- ))е) р е (е. о (3.4) Интегрируя по частям, получим Ю 1п(!Те<" е))ер/е (е = 2 ('1п(1 Те(е-е))е) 1 м, 3,) о о = — !п(1)-е ) ем' ~-)- — — ) =)- — — )1(е)е )(е, (3.5) 2 )е-еие ~ ! 2 1Г ее~не 2 1Г е)е 3 3 е,)е(е-е))е~) 3 а,) о о о так как внеинтегральный член на обоих пределах равен нулю. Подставляя (3.5) в (3.3), получим й= — — 8, 2 (3.6) где В ОР о- = ак' ~ е) (е) егм )(е = ар ) 1 (е) ем*)1е (3.7) — внутренняя энергия газа. Учитывая, что Я= — РЧ (ЧП1; 1.42), получим РЧ = — б'. 2 3 (3.8) где верхние знаки соответствуют бозонам, нижние — фермионам.
Для идеального одноатомного газа в объеме Ч суммирование по й может быть заменено интегрированием по энергии частицы е с ве- сом а(е) (2;14): 294 [гл. ~х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ Справедливость этого соотношения для больцмановского газа была показана раньше (П; 6.5). Заметим, что соотношения (3.6) — (3.8) справедливы как для бозе-, так и для ферми-газа при любой степени вырождения, в частности, и в области конденсации бозе-газа, когда [о=О (в этом случае частицы конденсата на нулевом уровне И=О не вносят вклада в энергию ф"). 2. В случае слабого вырождения энергия Ф Ф ео~оло ф.Г ИУ] = аУА ~ е и и 11 ~ Ае-'~ з +...
] ем' о[е, (3. 9) 3 [ /А)." И о о где мы функцию распределения разложили в ряд по А ехр ( — е/6). Вводя переменную интегрирования х =е/6, получим Ф 4Ф ИУАОо~о ~ [хо~о е Ф ~ Ах т' е-оо +... ] о[х ФФ о (3.11) (см. Приложение 7). =аУОЕМГ ( — ) А ~1-ь —,~ (см. Приложение 3). Используя значение а (2.15), подставляя в поправочный член в квадратной скобке А =А, и заменяя множитель А перед квадратной скобкой выражением (2.20), получим е'= о пУО 1~ — '~ .
3 Г Ао (3. 1 0) Мы воспользовались для А, выражением (2.19) и тем, что Г (5/2) = =3]'я/4. Из (3.8) и (3.10) следует: РУ /Уйт [1~ ) . Здесь л/Ф ИУ вЂ” полное число частиц и О='ИТ. Таким образом, для слабо вырожденного бозе-газа РУ несколько меньше, чем для классического газа, а для слабо вырожденного ферми-газа — несколько больше. В случае сильного вырождения поведения бозе- и ферми-газов существенно отличаются и требуют поэтому раздельного рассмотрения.
3. Энергия бозе-газа в области конденсации ([о=О), т. е. при 6(О„при заданной концентрации равна Ф о/о ф =аУ ], З Ф аУО Т' ] „[ г-аУО~~'Г ( — ) Ь ( — ) (3 12) ф 3! твгмодинАмические свойствх вове- и фвгми-газов 295 (3.15) где п,=п,— удельный объем (на одну частицу) газовой фазы. Введем переменную интегрирования х = е/6, получим О о (см. Приложение 7). Переписывая (3.14) в виде др д„~т~ дТ Та, (3.1?) (3.18) Так как теплоемкость при постоянном объеме С равна производной от энергии й по температуре, то из (3.12) следует, что С„сг Тм' и, следовательно, в согласии с принципом Нернста, стремится к нулю при Т- О.
Отсюда и из (3.8) следует: Р= — ' —,'г= — ', а6"*Г Я) ~ Я) . (3.13) Мы видим, что давление бозе-газа в области эйиштейновской конденсации, так же как и при обычном фазовом равновесии газа над жидкостью, зависит только от температуры. Это представляется довольно наглядным, если учесть, что частицы в конденсате с импульсом Р=О давления не оказывают.
Покажем сейчас, что конденсация Эйнштейна есть фазовый переход первого рода, т. е. связанный со скрытой теплотой перехода. Продифференцируем (3.13) по температуре Т: $=-'" "'(-') (-') (3.14) Так как Р— давление бозе-газа, находящегося в равновесии с конденсатом, то (3.14) представляет собой соответствующее этому фазовому равновесию уравнение Клапейрона — Клаузиуса (ЧП1; 2.19). Для того чтобы определить скрытую теплоту перехода д„(Т), соответствующую этому фазовому равновесию, нам понадобится величина разности удельных объемов и,— п,жп,.
Для определения удельного объема газовой фазы и, заметим, что при повышении концентрации п в (2.25) (при постоянной температуре 9) химический потенциал р увеличивается, т. е. (ди) > О Это неравенство доказывается совершенно аналогично (2.26). Таким образом, при некоторой критической концентрации и, химический потенциал 9=0, и вместо (2.28) мы получим ( г рене ! (3.16) ,«/о ~ — о — юо о СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ [гл.
~х и полагая о, = о„ получим из (3.18), (3.17) и (3.14): 5 Г (5/2) С (5/2) 5 Г (5/2) дга(Т)= з йТг(з/2)~(з/г)=2 йТ~(з/2) =1,284йТ. (3.19) 3 Мы использовали соотношение Г(б/2) = — Г(3/2) и численные зна- 2 чения ь-функций из Приложения 7. Вычислим энтропию 8 бозе-газа в области конденсации.
Из (Ч111; 1.38), (З.б) и (3.12) следует: Я= — ( — ) = — (~— ) = — Г ( — ) ь (2) /гор(йТ)а(а. (3.20) Мы видим, что, в согласии с принципом Нернста, Я-ч-0 при Т вЂ” О. Если вычислить изменение энтропии бв (в расчете на одну частицу) при переходе бозе-частиц в конденсат, то Т бв=дга(Т) — скрытой теплоте перехода. Это свидетельствует о том, чтоинтерпретация конденсации Эйнштейна как фазового перехода первого родасамосогласована.
Единственной системой бозе-частиц, существующей при низких температурах не в твердом виде, является жидкий гелий. Из опыта известно, что жидкий Не' претерпевает при атмосферном давлении и температуре 2,!8 'К фазовый переход второго рода, со скрытой теплотой перехода 4„=0 и теплоемкостью, которая логарифмически расходится в точке перехода. В результате этого так называемого )-перехода в жидком Не' появляется сверхтекучая компонента, т.
е. гелий можно рассматривать как смесь двух жидкостей, из которых одна не обладает измеримой вязкостью'). Ф. Лондон (1938 г.) высказал мысль, что )с-переход является эйнштейновской конденсацией, видоизмененной межмолекулярными взаимодействиями. В пользу этого говорит следующее. Во-первых, в жидком изотопе Не', атомы которого являются фермионами, )с-переход не наблюдается. Во-вторых, критическая температура эйнштейновской конденсации (2.29) (в расчете на жидкий гелий) равна 3,13 'К, т. е. блиека к температуре )с-перехода (2,18 'К). В-третьих, Н. Н. Боголюбов показал, что в слабо неидеальном бозе-газе наблюдается переход, приводящий к появлению сверхтекучести.
Следует отметить, что интерпретации )с-перехода в жидком гелии как эйнштейновской конденсации противоречит тот факт, что при Х-переходе в гелии скрытая теплота перехода равна нулю. 4. Рассмотрим свойства сильно вырожденного ферми-газа. Внутренняя энергия ч и ег =а$' ') е/(е) е»' де= а)г — ( /(е) с(еы' = — а)г ~( ес и ( — — ) г[е. (3.21) т) См., например: К.
Х у а н г, Статистическая механика, М., 1966, гл. 16. ф 3] тегмодннлмическне свойствл возя- и оетми-глзов 297 Здесь /(е) †функц распределения Ферми (2.11); виеинтегральный член, появляющийся в результате интегрирования по частям, исчезает аналогично (2,35). Вводя переменную интегрирования Ч = (е — р)/О, получим 5 д т(т]) ( д ) ее (3.22) где т]т(т])=(]е+йт])ме. Используя (2.42) и поступая аналогично тому, как было сделано при вычислении К (2.41), получим ') (р+От])ем ( — — ) т]т]=]е! [1+ — ( — ) 1, (3,23) Для того чтобы получить результат с точностью до (О/]ее)е, необходимо в множитель ]тете вместо химпотенциала подставить (2.45) и затем в вычислениях удерживать члены порядка не выше (О/р,)*.
В результате получим 5 1 е [ + 12 (ре) 1 Мы воспользовались при этом (2.15), (2.37) и положили лУ=/е/— полному числу частиц. При 0=0 энергия на одну частицу 3 3 Зле т'зл~е/е тт Ф 5 е 5 г 1Оят (,зл) (3.25) Б= — ( — ) = — арй-~ ]'(е) зете т(е= — ат' ') ( — ) еетет(е. (3.28) 2 тдв1е~ 21т д Г . 3 тдТ )н,т 3 дО,] =З 3~88), е е ') Для электронов (2э+1=2], Из (3.24) и (3.8) следует, что давление вырожденного ферми-газа р ' 3 е/= З л]ее [1+-12 ( ) 1 При температуре О= 0 нулевое давление (3.27) т.
е. пропорционально пете. На первый взгляд казалось бы, что для определения энтропии сильно вырожденного ферми-газа можно аналогично (3.20) исходить из (У111; 1.38), (3.6) и (3.24). Однако (3.24) является приближенным выражением для энергии 5', учитывающим члены порядка (8/р,)', поэтому вычисление (де7/д7')„при ]в =сопз1 затруднительно. Мы будем исходить из (т/1П; 1.38) и (3.5): 298 (гл. Ох стьтистики Бозе и ФеРми Легко видеть, что д( д7 е — зз дд де В (3.29) поэтому 3 = — — ~ (е — р) ( — — ) ез/О з(з = 2Йиу г г д(т =3 Од (, дз) О Ф Ф 1""( — $)Ф вЂ” з~г ° ( — ",)з.). (О.зз> О О Первый интеграл в фигурной скобке равен (3.23), второй — (2.43), поэтому (3.31) Я= — й Урн'0="— Й7зз' ( ~~ ) 3 2 если положить р'~' =)О',~' и воспользоваться (2.37). Мы видим, что, в согласии с принципом Нернста, энтропия ферми-газа при Т- О равна нулю. 94.
Фотоны и фононы 1. В $ 1, обсуждая затруднения, с которыми сталкивается классическая статистика, мы уже отметили, что энергия равновесного газа фотонов (черное излучение) должна была бы быть распределена по частотам согласно (1.2), т. е. по закону излучения Вина, а не по формуле Планка, хорошо оправдывающейся на опыте. С другой стороны, при выводе (1.2) не учитывалась принципиальная неразличимость фотонов. Поскольку спин фотонов в единицах Й целочислен, к ним должна применяться статистика Бозе, т. е.
распределение (2.9). Для фотонов химический потенциал р = О. В самом деле, равновесное число фотонов 7зз' в замкнутой полости объема У при температуре Т не может быть задано независимо, как это может быть сделано для молекулярных газов, а определяется значениями У и Т. Из (4.5) следует, что число фотонов 7з(, содержащихся в равновесии в полости объема У при температуре Т, пропорционально УТ'. Очевидно, что )О' может быть определено из условия минимума свободной энергии при фиксированных У к Т, т. е.
из условия (4.1) Отсюда и из определения химического потенциала (У(П; 1.7) следует, что для фотонов он равен нулю (р=О). Это же может быть показано и другим способом. При комбинаторном выводе распределения Бозе (см. Приложение 8) неоп- 299 ФОТОНЫ И ФОНОНЫ 1 ~в = еамыт 1 (4.2) Определим число квантовых состояний фотона на интервал частоты (вз, гв+дгв). Если решить задачу о стоячих электромагнитных колебаниях в кубе с отражающими стенками, то для числа колебаний в интервале частот (гв, гв+г(гв) получится формула, аналогичная выражению (Ч1; 2.11 или 2.12) для упругого континуума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
