Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 57
Текст из файла (страница 57)
$5. Применение статистики ферми к электронам проводимости в металлах 1. Важной областью применения статистики Ферми являются электроны проводимости в металлах. Электроны проводимости в кристаллах движутся в сильном поле, создаваемом атомами (ионами), расположенными в узлах кристаллической решетки. В металлах, в которых концентрация электронов проводимости велика, необходямо, казалось бы, учитывать взаимодействие межру электронами. Однако, как было впервые предположено Ф.
Блохом (1928 г.), а впоследствии обосновано теоретически, можно ограничиться одно- электронным (одночастичным) приближением, рассматривая движение каждого электрона проводимости во внешнем поле, создаваемом ионами металла и остальными электронами. Это внешнее самосогласованное поле обладает той же периодичностью, как и кристаллическая решетка металла.
Из квантовой механики известно, что движение электрона в трехмерно-периодическом поле во многом напоминает движение свободного электрона. Для некоторых кристаллов (например, для щелочных металлов) энергия электрона проводимости е зависит от импульса (квазиимпульса) так же, как у свободного электрона в вакууме. Тогда е=рз12те, где т"* — эффективная масса электрона проводимости в кристалле, которая может быть как меньше, так и больше массы свободного электрона в вакууме т,=0,91 10 " г. В этом случае выражение для плотности состояний д(в) (2.14) сохраняет свой внд, если понимать под и эффективную массу электрона ').
Эгнм объясняется успех применения модели свободных электронов к электронам проводимости в металлах. ') Для более подробного ознакомления с этим вопросом читатель может обратиться к книге автора «Введение в теорию полупроводников», гл. 1Н. 305 [гл. зх СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ В $ 1 мы отмечали противоречие, которое существует между классической теорией свободных электронов в металлах и экспериментальным значением их теплоемкости. В то время как теплоемкость одновалентных металлов (один электрон проводимости на один атом) должна была бы быть в полтора раза больше теплоемкости диэлектриков, она практически не отличается от нее. Это кажущееся противоречие сразу же разрешается, если учесть, что электроны проводимости в металле при всех доступных температурах представляют собой сильно вырожденный ферми-газ свободных электронов. Определим значение параметра А, (2.19) в случае какого-либо типичного металла, например, серебра.
Серебро — одновалентный металл, поэтому концентрация свободных электронов в нем равна концентрации атомов, л=рЛ/л/М=5,9 10" сн ', где плотность р=10,5 г/сиз, атомный вес М=107,9 и число Авогадро Л/А= =6,03.10зз. Так как масса свободного электрона т=0,91 10 " г, его спин з=1/2, то при комнатной температуре 0=й7'=1,38 10 зз х х 300=4,14 10 " эра параметр Аз = ~ 3.10з 2(2иззз)ззз Из выражения (2.22а) следует, что такому большому значению параметра вырождения А, соответствует температура вырождения Т, = 5 10"К. Таким образом, свободные электроны в металлах при любых температурах, вплоть до температуры плавления, сильно вырождены. Поэтому энергия свободных электронов в металлах дается выражением (3.24), а теплоемкость в расчете на один электрон равна (5.2) Так как теплоемкость кристаллической решетки при Т ~ Тл в рас- чете на один атом равна с„, =3/т, то (5.3) Оценим энергию Ферми е„=[з, по формуле (2.37) для серебра.
При концентрации п=б,9 10" см ' р,=8,5 10 " зрг=5,3 эв. Тепловая энергия ИТ при комнатной температуре равна 4,1 1О зз эрг= =0,025 эв, поэтому отношение (5.3) порядка 10 '. Таким образом, при температурах порядка или выше дебаевской теплоемкостьэлектронного газа не превышает нескольких процентов теплоемкости решетки. Выражение (5.2) весьма наглядно. В самом деле, в условиях сильного вырождения в теплоемкости могут принимать участие только электроны в зоне размытости ЕТ распределения Ферми, так как только они способны к тепловому возбуждению.
Так как относи- $ 51 пенмвнвннв стлтнстнкн нвемн к элвктеонлм пеоводнмостн 307 Рнс. 62 пивн 'нТ (5.5) а магнитная вос приимчивость Х = ~ = — ж 10 'эрг/гс'см'. Мо лев о (5.6) Между тем опыт дает для Х значения примерно на два порядка меньшие и не подтверждает сильной зависимости восприимчивости от температуры (Х,сл 1/Т). Применим к свободным электронам в металле статистику Ферми.
Если в — энергия электрона без магнитного поля, то в магнитном поле Н его энергия равна е.ч- рэН, где верхний знак соответствует ориентации магнитного момента вдоль поля, нижний знак — против поля. Намагниченность, т. е. магнитный тельное число этих электронов равно йТ/р„ то теплоемкость в расчете на один электрон порядка й(йТ/р,), что по порядку величины совпадает с (5.2). При низких температурах (Т((Тр) теплоемкость решетки пропорциональна Т', т. е. убывает при понижении температуры быстрее, чем (5.2), поэтому при некоторой температуре Т, обе тепло- емкости становятся равными, а при температурах Т<. Т, теплоемкость гг электронов (5.2) становится больше теплоемкости решетки (рис.
62). в Для определения Т, надо приравнять (5.2) и (Ч1; 2.26) (заменив в нем предварительно /7 на Й), тогда й г =0145 )I — Р Тп (54) нв Для /еТр/р,-10 ' имеем Т, ж10 'Тп, т. е. порядка нескольких градусов Кельвина. Рассматриваемые особенности теплоемкости металла наблюдались на опыте.
2. Первым применением статистики Ферми к электронам в металле была работа В. Паули (1927 г.) о парамагнетизме свободных электронов в металле. Известно, что электрон обладает спином э = 1/2 и магнитным моментом р = ей/2тс= 0,93 10 " эрг/гс, равным магнетону Бора. В полях Н = 10' — 10' гс при комнатной температуре рвН фйТ, поэтому„ согласно (Ч; 2.26), ориентационная намагниченность М, системы электронов равна 808 [гл. ~х статистики воза н езгми момент единицж объема, равна И М=рз~У(з — рвН) — 1(з+РвН))й(з)дз, (57) о где д, (е) — плотность состояний (2.14), отнесенная к единице объема (У=! см') без учета спина (т. е.
множителя 2з+1). Действительно, число электронов с энергией в интервале (е, е+йз) равно 1 (з — рзН) и, (з) йе, если магнитные моменты электронов направлены вдоль поля, и ~(з+рзН)д,(з)де, если их магнитные моменты направлены против поля. Так как рзН((е = р, то с точностью до Н в первой степени 1(з ~= рзН) = 1 (з) ~ —,,з рзН. (5.8) Подставляя (5.8) в (5.7), получим для магнитной восприимчивости Х= Н =Рв ) — (~~) К(з)г(з, о (5.9) где 28,(е)=д(з) — плотность состояний (2.14) (при У=1 см').
При этом, однако, возникает вопрос, не должны ли мы учитывать влияние магнитного поля на химический потенциал р. Последний определяется из условия (2.32), которое в нашем случае имеет вид 0 и = ~ (1 (е — рзН)+~(е+рзН))д,(з)г(е= о =2) 1(е)д (з)г(з+0(Н~), (5.10) о так как при разложении (5.8) линейные члены по Н в (5.10) сокрашаются. Таким образом, при определении химического потенциала магнитное поле сказывается только в квадратичном приближении и, следовательно, прн вычислении (5.9) может не учитываться. Интеграл (5.9) вычисляется по формуле (2.42). В этом случае ~р(т))=(р+йТт1)м' (д(з)глзм'), поэтому О Ыз д! э а' йТ а ,7= ~(р+Иц)"'(- — ") Ь|=р'"~1-,"-,( — ") ].
Подставляя сюда вместо ры* его выражение (2.45), получим с точностью до (йТ/р,)'. ~'-'-'(ЕЛ (5.1!) $ 51 пгимзнзиие статистики аегми к элактгонхм пговодимости 309 Из (5.9) и (6.1!) следует: Х= Рва(Р.) ~1 — Тз ( —,„,) ] ° (5.12) где д(р,) †плотнос состояний (2.14), отнесенная к единице объема, при е= р,. Отсюда видно, что )( слабо зависит от температуры, как это и наблюдается иа опыте.
Далее из (5.6) и (5.12), еслй воспользоваться (2.14) и (2.37), следует, что х ьт х Кь~т (5.13) где Ь и ч~ — среднее расстояние между электронами с концентрацией л. Так как Ь/тб* порядка нескольких электрон-вольт, то вычисленная нами магнитная восприимчивость т меньше 1(, примерно на два порядка, что соответствует наблюдениям.
Не зависящая от температуры часть т в (5.12) может быть получена иа основании следующих простых соображений (Я. И. Френкель, 1923 г.). На рис. 63 изображены одиочастичные уровни энергии свободных электронов в металле и их магнитные моменты (Ц1). Слева (рис. 63, а) магнитное поле отсутствует (Н=О) и электроны с попарно антипараллельными спинами в ячейках й' заполняют, прн абсолютном нуле температуры, все энергетические уровни до значения з=р,— энергии Ферми. При включении магнитного поля'Н (рис. 63, б) магнитные моменты всех электронов стремятся установиться по нолю. Электроны внутри одной ячейки й' не могут иметь НФО ~+ гр,н б) И=О а) Рис. 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
