Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поэтому число нормальных электромагнитных колебаний (квантовых состояний фотона) в объеме )т на интервал частот (гв, гв+Йв) равно я(гв) г(г» = 2 —,гв'Й», )т где с — скорость света в вакууме, а множитель 2 в правой части учитывает два возможных направления поляризации колебаний поперечной электромагнитной волны. Таким образом, равновесное число фотонов в интервале частоты (вз, ге+с(гв), согласно (4.2) и (4.3), равно )т ыз пы г(М„= лв д (га) с(гв = —, (4.4) з) Фотонная гипотеза света была впервые высказана Эйнштейном (1905 г.).
ределенный множитель Лагранжа а связан с условием постоянства полного числа частиц в системе. При отсутствии этого условия и = О, что на основании (П8.13) эквивалентно тому, что химический потенциал р = О. Из квантовой электродинамики следует, что плоская монохроматическая электромагнитная волна эквивалентна совокупности ьы квазичастиц — фотонов с энергией в=лез и импульсом )э= — пв= =М, где гв — круговая частота волны, гв — постоянная Планка/2п, с — скорость света в вакууме, и,— единичный вектор в направлении распространения волны и й:=(гв/с) а, =(2л/Х) пв — волновой вектор (Х вЂ” длина волны)'). Связь между энергией и импульсом у фотонов непосредственно вытекает из теории относительности.
Согласно последней, энергия и импульс частицы с массой покоя т, раВНЫ: в=твен/Г'1 — (%)' И р=т,йз/)т1 — (О/С)з, ГдЕ ЗЗ вЂ” СКО- рость частицы. Отсюда следует, что при Ое о масса покоя та=О (в противном случае энергия и импульс частицы стали бы бесконечными). Из приведенных соотношений следует, что р=в%', т.
е. для фотонов (ОФ ц) импульс р= з/с= Фгв/с. Так как для фотонов энергия в=гага и химпотенциал р=О, то распределение Бозе (2.9) для них имеет вид 300 [гл. ~х стктнстнкн эозе н фкгмн Эта формула для спектрального распределения энергии в равновесном электромагнитном излучении впервые была выведена Планком (1900 г.) и получила название формулы Планка. В этой формуле впервые в истории науки фигурировала фундаментальная физическая константа †настоянн Планка Ь= 2па = = 6,626 10 " эре сек.
На рис. 61 представлена зависимость функции Планка Ч) (точнее — того множителя в ней, который зависит от частоты а) от х= ило7ИТ. Кривая спектрального распределения черного излучения обладает характерным максимумом, положение которого определяется из условия Ех( е"' — 1 ) (4.7) или (3 — х)е"=3 (4.8) Это трансцендентное уравнение имеет корень х= 2,822... Таким образом, частота в максимуме а,„= 2,822 — =сопз1 Т, ь'т (4.9) т. е.
пропорциональна абсолютной температуре (закон смеи1ения Вина). Соотношение (4.9) может быть использовано для определенна а. Рассмотрим понедение функции Планка Чо(а) при низких (инфракрасных) и высоких (ультрафиолетовых) частотах. В области низких частот, когда Тио((ИТ, экспонента в (4.6) может быть разложена в ряд (ехр х=1+х), тогда 'Чэ (в) Йо = яТ вЂ”,. а' дв. (4.
10) Полное число равновесных фотонов У в полости равно интегралу от (4.4) по всем возможным частотам, т. е. о о = — „,, ( — „) Г (3) ь (3) = 2,40 —,, (+ (4. 6) если ввести в интеграл переменную х=уио7йТ и воспользоваться Приложением 7. Энергия, соответствующая интервалу частот (в, в+йо), может быть получена умножением числа соответствующих фотонов (4.4) на ав, т. е. '[~ш =ТкогУУш= ла,з а ог =Ф (м)'(ы' (4 6) 501 $ 41 оотоиы и ооноиы Это соотношение известно как формула Рэлея — Джинса.
Она может быть получена на основании очень простых классических соображений. В самом деле, рассматривая каждое нормальное электромагнитное колебание в полости г' как классический осциллятор со средней энергией яТ и считая, что их число на интервал (а, ог+йо) равно (4.3), г —, получим (4.10). ы Формула Рэлея — Джинса хорошо оправдывается на опыте в области инфракрасного излучения (Йа(<йТ). Одна- ов ко в области высоких частот она нетолько расходится с опытом, но и приводит к принципиальным противоречиям. В самом деле, полная энергия черного излучения равна интегралу от $(а) йо по э ~ г э в э в в всем частотам от 0 до ьь. В случае (4.10) Рис.
61. она равняется бесконечности. Эта расходимость, обусловленная неприменимостью классических представлений к излучению в области высоких частот, получила название ультрафиолетовой катастрофы. Для высоких частот (йло)~МТ) экспонента в (4.5) много больше единицы, так что Чг(в)йо= —,, ы'е "~~ йо, (4.11) что совпадает с законом излучения Вима (1.2). Это выражение оправдывается на опыте в области ультрафиолетового излучения, на спадающей части кривой Планка (рис.
61). Оно содержит постоянную Планка Й, что свидетельствует о том, что для его обоснования требуются квантовые представления. Полная энергия черного излучения, согласно (4.6), равна ~Ю О И г в'йо о о О а если воспользоваться Приложением 7. Это выражение соответствует закону Стефана — Больцмана (1Ъ'1 5.19). Заметим, что зависимость черного излучения от температуры могла быть определена из общих термодинамических соображений и классической электродинамики. В то же время численное значение константы а=к'И'/15 сей' могло быть определено только на основе квантовой теории. 302 (гл. !х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ Из (4.12) видно, что теплоемкость фотонного газа т.
е. зависит от температуры так же, как теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах (Ч1; 2.26). Из (3.3) следует, что для фотонов Ш 11 = —,, ') соз 1п (! — е- ~' 1зт) доз = о — = — *Р'пз †. (4.14) (Дт)а Г „з з( (ЬГ)а Злзсзвз,) е" — 1 4вс Вз ' о Мы проннтегрировали по частям интеграл по оэ и ввели переменную х=мсо/ЙТ. Отсюда а (АТ)а 4Ь,зР— З (4.15) если воспользоваться (4.12). Мы видим, что для фотонного газа связь между РУ и энергией ку'отличается от той, которая имеет место для нерелятивистского газа (3.8)').
Отметим, что соотношение (4.15) непосредственно вытекает из электродинамики'). Из (4.14) следует, что энтропия (4.16) что отличается от (3.20), хотя тоже удовлетворяет принципу Нернста. При квазистатических адиабатических (Я=сонэ() изменениях ЧТз = сопз(, (4.17) как это следует из (4.16). Используя (4.15), получим в этом же случае: УР л=сопз1 (4. 18) Так как давление зависит только от температуры (см. (4.15)), то при изотермических изменениях )т давление остается постоянным.
Экспериментально соотношения (4.12) и (4.6) могут быть проверены посредством исследования электромагнитного излучения, выходящего из нагретой полости через очень малое (по сравнению с поверхностью полости) отверстие*). Излучение покидает полость со з) Это связано с тем, что я(е) сл "Р' е, а я (и) со мз. з) Б е к к е р Р., Теория электричества, т. 11, Электронная теория, Гостехиздат, Л.— а(., 1941, 4 7. ') В этом случае излучение Б полости находится з почтя рааноаесном состояния. зоз 6 41 еотоны и фоконы скоростью с, поэтому энергия, испускаемая единицей площади отверстия в 1 сек, равна ! (Т) = ~ — /1 С = = пТ'. Г ~г Х пз(йТ)4 (4.
19) Величина о= пз/г'/1бсзгьз называется постоянной Стефана — Больцмана. Изучая посредством соответствующих спектрометров распределение выходящего излучения по частоте, можно исследовать (4.6). Опытные данные находятся в превосходном согласии с теорией. 2. Аналогично тому, как квантование электромагнитного поля приводит к квазичастицам фотоналг, квантование звукового поля в твердом теле приводит к квазичастицам фононам. Нормальному колебанию атомов твердого тела с частотой ог соответствует фонон с энергией е=гзьго и импульсом') р= (гзьго/ое) гза=йу, где о,— скорость звука и ау=(ог/о,) п,=(2л/)ь) п,— волновой вектор фонона ()ь †дли волны звука, газ †единичн вектор в направлении распространения звука). Так как фононы соответствуют нормальным колебаниям (осцилляторам) твердого тела, а осциллятор может находиться в возбужденных состояниях, когда его энергия равна нескольким квантам Йгл, то фононы подчиняются статистике Бозе; так как число их не сохраняется, то химический потенциал для них тоже равен нулю.
Для кристалла из г)/ атомов, обладающего З)Ч степенями свободы, имеется ЗФ нормальных колебаний с частотами (4.20) некоторые из которых могут совпадать. Определение этих частот для кристалла — весьма сложная задача. П. Дебай показал (1912 г.), что калорические свойства твердого тела хорошо описываются при аппроксимации нормальных колебаний атомов твердого тела волнами упругого континуума.
Это приближение хорошо оправдывается для длинных волн в кристалле (низких температур), когда длины волн много больше постоянной решетки. Теория Дебая была рассмотрена нами в гл. Ч!. Представление о фононах, связанное с нормальными колебаниями атомов твердого тела, перестает быть строго применимым при высоких температурах, когда колебания атомов становятся ангармоничными. Между фононами и фотонами существуют принципиальные отличия.
Во-первых, фононы не релятивистские квазичастицы, ') Если учитывать периодическую структуру кристалла, то фонон характеризуется не импульсом, а квазиилпульсолп мы можем не входить здесь в обсуждение этого вопроса, отсылая читателя к соответствующей литературе, например, к книге автора «Введение в теорию полуправодниковз, М. — Л., 1962, гл.
1!1. 304 [гл. |х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ поэтому их масса покоя не равна в точности нулю. В самом деле, МаССа ПОКОЯ т,=БР 1 — (О/С)е/Се=ТТЕОР'1 — (О/С)е/Се. ДЛя фОтОНОВ О=с, поэтому т„= О. Для фононов (О/с)е =(о,/с)' = 10-"', поэтому те=йв/с' = 10 " г при частоте ео=10ее сек-'. Во-вторых, фонон обладает тремя независимыми направлениями поляризации (три упругие волны), в то время как фотон поляризован в плоскости, перпендикулярной к направлению его движения. 3.
При сравнении выражений (4.6) и (П1; 3.15) следует, что средняя энергия фотона (фонона) Н8„/д(ео) Йо равна средней энергии квантового осциллятора е — йло/2, отсчитываемой от уровня нулевой энергии. С одной стороны, это представляется вполне естественным, так как фотон (фонон) — квазичастица, соответствующая квантовому осциллятору. С другой стороны, на первый взгляд кажется, что при выводе (П1; 3.16) учитывалась только дискретность энергетических уровней квантового осциллятора, в то время как (4.6) следует из распределения Бозе, основанного на принципиальной неразличимости квантовых микрочастиц.
Для того чтобы показать связь, существующую между обоими подходами, вычислим статистическую сумму системы нормальных колебаний тем и другим способом. Если рассматривать нормальные колебания как невзаимодей. ствующие квантовые осцилляторы, то статистическая сумма 2= Пап (4.21) где Я; — статистическая сумма 1-го осциллятора с частотой ви так что ее (4.22) А"е! 1 е-АФ Мг Энергию нулевых колебаний осцилляторов мы опустили, так как отсчитываем энергию от нулевого уровня. Таким образом, г=Пге=П(1 —.-"'«'")- . (4.23) С другой стороны, энергия фотонного (фононного) идеального газа равна 8 (и„и„... ) = ~ч„"ифло,, (4.24) где и; †чис фотонов (фононов) с частотой в,.
Статистическая сумма всего газа равна $ 51 пгимянкннк статистики екгми к эляктгонам пговоднмостн 305 где суммирование ведется независимо по всем числам пг от 0 до оо. Из (4.25) и (4.24) следует: г-дт ... р~— р -лр'™ргег ~ — лрьеграг — ц (1 -граггаг) г (4 25) ар=в л,=о что совпадает с (4.23). Мы видим, что оба подхода приводят к одному и тому же значению статистической суммы; следовательно, они должны давать одни и те же выражения для всех термодинамических величин. Из-за того, что полное число фотонов не задано, выражение л (4.25) может интерпретироваться как большая статистическая сумма Д (Ч111; 1.22) с р=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
