Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 59
Текст из файла (страница 59)
2. Покажем на ряде простых примеров, как вычисляются флуктуации различных величин в системе, находящейся в статистическом равновесии. Рассмотрим флуктуации энергии малой подсистемы заданного объема в термостате, когда к ней применимо каноническое распределение (гл. П, $ 3, п. 3).
Как следует из (1; 4.31), квадратичная флуктуация энергии (Ле')' = 4" — 4' . (1.1) Средняя энергия 4 1! нльктнлцнн и птвлвл чувствнтвльности пгивогов 317 поэтому (1.11) (1.15) При очень низких температурах б„может стать заметным для макроскопического образца твердого тела. Например, при Т=10 "К для )т'=5 1О" (линейные размеры образца 10 'см), если То=200'К, относительная флуктуация 6 =0,02, что уже не очень малая величина. При понижении температуры величина 6и может стать порядка единицы, а в этом случае обычная термодинамика неприменима.
Рассмотрим флуктуации энергии в сильно вырожденном ферми- газе. Его тепловая энергия ') и теплоемкость согласно (1Х; 3.24, 5.2) равны — на (ЬТ)з яг = — У— (1.1 6) ма С "зуА (~т) (1.17) Отсюда и из формулы (1.11) получим (1.18) Мы видим, что относительная флуктуация тепловой энергии ферми-газа при понижении температуры аналогично (1.15) неограниченно возрастает. Для бозе-газа при низких температурах (в области конденсации) энергия и теплоемкость согласно (1Х; 3.12) равны 3= Ч(йт)' Г(-',) ~(-2), (1 10) С =(эт) = 2 вар(йТ) *Г(~) ь(2) .
(1.20) ') То есть та часть энергии, которая исчезает при температуре абсояготного нуля. Для твердого тела в дебаевском приближении при низких температурах согласно (Ч1; 2.25) О Зне йИТ' Зтз Мы не учитываем в еу энергии нулевых колебаний, так как интересуемся относительной флуктуацией энергии теплового возбуждения. Соответствующая энергии о- (1.13) теплоемкость равна (У1; 2.26) Гвпа НаТа (1.14) ктз В 318 (гл. х ФЛУКТУАЦИИ И БРАУИОВСКОК Двнжиинн (1.21) поэтому (1.26) что совпадает со вторым слагаемым в (1.23).
Эйнштейн получил выражение (1.26), рассматривая флуктуации интерференции волнового поля излучения, что дает более непосредственное доказательство волновой природы флуктуаций (1.26)'). з) Вычисления эти несколько громоздки, поэтому мы не приводим их здесь. Интересующиеся могут найти их в книге Г. А. Лорентца «Статистические теории в термодннамикез, ОНТИ, 1935, стр.
119. Таким образом, как это следует из (1.1!), 6 = 1/ 2Г (5/2) ~(5!2) рг у (йу) Л ' Мы видим, что относительная флуктуация энергии в бозе-газе при Т вЂ” 0 тоже стремится и бесконечности. Рассмотрим флуктуации энергии черного излучения в спект- ральном интервале (оз, в+Аю), заключенного в объеме (г (Эйн- штейн, 1912 г.). Мы воспользуемся для этого выражением (1.10). Выделенная нами энергия согласно (1Х; 4.6) равна зсз Ьо зт (1.22) е ~ — ! Отсюда и из (1.10) следует, что ее квадратичная флуктуация ( К(з )з дб Уйы~аы Йо е и)ат дГ лзсз ( йм)аг )з Если вычесть и прибавить к экспоненте в числителе единицу, получим (1.23) где использовано значение (1.22).
Выражение (1.23) чрезвычайно поучительно: первое слагаемое в нем соответствует квантовой корпускулярной природе излуче- ния, второе †классическ волновой природе. В самом деле, если в объеме (У имеется й( фотонов энергии гаго, то кг = А)йго и (Л8„)„', = (ЛА( Йго)з = (А)у)з (Йго)' =)() (йго)з = Йго8„, (1 24) где мы воспользовались тем, что для идеального газа (АА))з = А) (1; 4.66). Соотношение (1.24) совпадает с первым слагаемым в (1.23). Для классического поля излучения согласно (1Х; 4.10) (1.26) й !! ельктххции н пгвлзл чхвствитзльностя пгнвогов 319 (1.31) или )Г(ЛУ!' Уч ' (1.34) что совпадает с (1; 4.57).
Рассмотрим флуктуации числа частиц в определенном квантовом состоянии й для ферми- и бозе-газа, когда среднее число в нем пь может быть порядка единицы. 3. Для определения флуктуаций числа частиц в открытой подсистеме, находящейся в равновесии с большим резервуаром частиц, воспользуемся большим каноническим распределением. Из (Ч!11; !.38) и (Ч111; !.32) следует: Из (Ч111; 1.21) следует, что л,к если учесть выражение для Я (Ч!11; 1.22). Таким образом, квадратичная флуктуация числа частиц (ЛУ) =У вЂ” У =(й7) ~ —, ( — 8) — —, ® ~.
(1.29) С другой стороны, из (1.27) следует: (-) --~ ~-.) Сравнивая два последних выражения, видим, что (ЛУ) =йТ® Эта формула применима как к классическим, так и к квантовым системам. Поскольку большое каноническое распределение применимо к подсистемам с малым числом частиц, (1.31) справедливо и в случае У 1. Для того чтобы воспользоваться соотношением (1.3!), надо знать зависимость У от химического потенциала р. Для идеального одноатомного классического газа у (зятат) ~н кмг У=, е а (1.32) как это следует из (Ч111; 1.31) (У = пЧ). Подставляя (1.32) в (1.31), получим (ЛУ)'= У (1.33) 320 1гл.
х элгктгдцин я вгдтновское двяжвняа Из (1.31) и (1Х; 2.11) следует, что для ферми-газа (Ьпа)~ = пд (1 — пд). (1.35) Это выражение отлично от (1.33), так как здесь учитываются квантовая неразличимость частиц и принцип Паули. Из (1.35) следует, что )/ (апд) (1,36) Из (!.35) видно, что квадратичная флуктуация в вырожденном ферми-газе мала как для состояний с энергией, меньшей е„ (пд 1), так и для состояний с энергией, большей е„(пд жО). Для бозе-газа из (1.31) и (1Х; 2.9) следует, что (Лпа)' = пд (1 + пд), (1.37) откуда ')Г(апд)д (1.38) Интересной особенностью бозе-газа является то, что для него и при пд>) 1 относительная флуктуация порядка единицы. Это является следствием квантовой неразличимости бозе-частиц, 4. Покажем на простом примере пружинных весов, что флуктуации принципиально ограничивают точность отдельного измерения, т; е.
ставят естественный предел чувствительности прибора. Пусть х — координата, определяющая отклонение пружинных весов от положения равновесия х=О. Разложим потенциальную энергию весов Я(х) в ряд по степеням малого отклонения х: Я(х)=Я(0)+(эх) х+ э (а ) х +...ж э Ах'. (1.39) Мы положили Я(0)=0 и учли, что в равновесии (дЯ/дх),=0. Будем теперь рассматривать весы как подсистему, находящуюся в термодннамическом равновесии с окружающей средой. Тогда из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы (Ч; 3.9) следует, что 1 — 1 — Ах'.
— йТ, 2 ' 2 откуда квадратичная флуктуация х'= йТ!А. (1.41) 9 2! ФлУктУАЦНИ основных тевмодинАмическнх Величин 321 Очевидно, что производить отдельные отсчеты на весах с точностью, превышающей 1/ х*, невозможно. Потенциальной энергии (!.39) соответствует упругая сила дчг Х= — — = — Ах, дх (1.42) поэтому груз массы т вызывает отклонение х, = тй)/А, (1.43) где д» вЂ” ускорение силы тяжести. Для того чтобы можно было произвести отсчет показаний весов, необходимо, чтобы х, > Ух»; из этого неравенства и (1.41) и (1.43) следует, что предельная масса, которая может быть определена при отдельном взвешивании, равна т=)/АйТ/й, (1.44) и, следовательно, предельная относительная точность отдельного взвешивания массы М равна АМ $~ ААТ М Мп где ЛМ=т (1.44).
Из уравнения движения массы М под действием упругой силы (1.42) (массой колеблющейся пружины пренебрегаем) следует, что циклическая частота колебаний весов равна в=2»с/т=)' А/М, (1.46) где т — период колебания. Исключая А в (1.46) посредством (1.46), получим АМ 2п I ЛТ М т У Мп»' (1.47) Если 2«с/т= 10 сек ', 'ЛТ= 4. 10 '4 грг») и Мйе= 10» ерг/сед', что соответствует грузу порядка 1 мг, то ЛМ/М = 10 ', что в обычных условиях превышает чувствительность, обусловленную другими причинами. Е то же время следует отметить, что, например, флуктуации тока в цепи гальванометра могут быть обнаружены экспериментально и их измерение позволяет определить элементарный заряд электрона'). ») Это соответствует температуре +!8,4'С, т. е.
Т = 291,55 'К. ») Более подробно вопрос о влиянии флуктуаций на предел точности намерений освещен в статье Б. И. Давыдова в книге «Брауновское движение», Сборник статей А. Эйнштейна и М. Сиолуковского, ОНТИ, 1938, стр. 558. 322 ФлуктуАции и БРАуионскои движиннв (гл. х В 2. Теория флуктуаций основных термодинамических величин 1. Рассмотрим однородную замкнутую систему, для которой 8 и )г постоянны. Нас интересуют флуктуации различных термодннамических величин, относящихся к некоторой части системы. Энтропия системы в состоянии термодинамического равновесия согласно (1Ч; 3.7) равна') 3=/г!п (а(8) 68).
(2.1) Здесь л(8) 68 — объем фазового Г-пространства между поверхностямн эь" (д, р)=8 и Я~(д, р)=8+68, где Яь(д, р) — функция Гамильтона системы и 68 — физически бесконечно малое приращение энергии, фактически соответствующее условию 8=сопз1. В некоторых случаях удобно говорить о поверхности Я~(д, р) =8, понимая под этим объем физически бесконечно тонкого слоя Г- пространства д(8) 68. Рассмотрим микроканонический ансамбль систем (Я~ (д, р) = 8), ему соответствует равномерная плотность фазовых точек на поверхности Я(д, р)=8 (или равномерная плотность точек в объеме л(8) 68). Представим себе некоторую термодинамическую величину а, относящуюся к части системы (к подсистеме). Такой величиной может быть энергия 8, объем )г, температура Т, давление Р и т.
д. Очевидно. а= а(д, р), где д и р †координа и импульсы частиц подсистемы. Фиксированному значению а, т. е. условию а (д, р) = а=сопи(, соответствует на поверхности Я( ~(д, р) = 8 не- которая линия. Если з †чис степеней х свободы системы, то числа измерений Г-пространства, поверхности постоянной энергии и линии а(д, р)= сопз1 равны, соответственно: 2з, 2з — 1 и 2з — 2, а амла т. е. для макросистемы с аж 1бм это практически одно и то же число. лд Интервалу значений термодинамической величины (а, а+с(а) соответствует на поверхности постоянной энергии Рис. 66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
