Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если усреднить силу за промежуток времени, большой по сравнению с т„, но меньший т„то ей будет соответствовать определенная 335 % 3) втдуновское двнжкник скорость частицы о„. В методе Ланжевена предполагается, что эту усредненную силу можно рассматривать как гидродинамическую силу трения, направленную против скорости о„ и пропорциональную ей. Уравнение движения брауновской частицы в проекции на ось д приобретает вид лт —, = — — — +Р (!), Нах 1 Ых (3.9) где пс — масса частицы, 1/ — коэффициент в силе трения, которая пропорциональна о=с!хЫ(, Р (!) — случайная (стохастическая) сила, изображенная на рис.
68, в, среднее значение которой за промежуток времени, много больший т„, равно нулю. Таким образом, скорость частицы о= — „=В х(сила трения), ох (3.10) т. е. коэффициент В, называемый подвижностью, численно равен скорости частицы, которую она приобретает при действии единич. ной силы. Наименее обоснованным является здесь разделение единого взаимодействия молекул среды с частицей на силу трения, пропорциональную скорости частицы, и на стохастическую силу Р(Г).
Интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка (3.9) относительно о(Г)=сЫЙ, получим') о(!)ь о(0)е И и+ — ~е и ец и Р(з)с(з. (3.1!) о Если усреднить это равенство по множеству (ансамблю) независимых брауновских частиц и учесть, что среднее значение силы Р(з) равно нулю, то получим О (!) = о(0) е-имв, (3.12) т. е. средняя скорость затухает за время та=тВ, совпадающее с введенным нами выше временем релаксаций скорости. При ламинарном обтекании шарика радиуса а жидкостью с коэффициентом вязкости т) подвижность') В= —.
(3.13) В опытах Перрена использовались шарообразные частицы радиуса а=10 ' см и массы па=10 " г. Для воды при комнатной т) В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, т, )!. е) А, 3 о и и е р ф е л ь д, Механика деформируемых сред, ИЛ, М., )954, формула (35.20). ФЛУКТУАЦИИ И БРАУНОВС КОЕ ДВИЖЕНИЕ 336 [ГЛ. Х температуре т)=10 ' г/см сек, поэтому т т,=Вт= — ж 10 ' сек, бича (3.14) т. е. действительно мало по сравнению с любыми экспериментальными временами наблюдения. Формула Стокса (3.!3) справедлива только при ламинарном обтекании шара жидкостью.
Проверим критерий ламинарности для брауновской частицы. Число Рейнольдса') !хе = р1о!т), (3.15) где р и о — плотность и скорость жидкости, 1 — характерные линейные размеры системы. Для движения взвешенной брауновской частицы скорость ее по порядку величины равна о т7 'ЕТ)аер, а 1=о; если положить р=1, т)=10 ' и йТ=[0 "эрг, то Ке= 10 ь)'р'а, (3.16) откуда видно, что даже для частиц молекулярных размеров (а= 10 есм) !сей 0,1, т. е.
условие ламинарности выполнено. Умножим обе части уравнения (3.9) на х, тогда после эле- ментарных преобразований получим т а' Г а(хе)1 / Нх Хе ! И[хе) — — [ ~ — т [ — ) = — — — +хР(1). (3.17) 2 й1 й [ [й) 2В й Усредним это уравнение по множеству частиц, тогда ш е) [Ы1 ! Иве — — ~ ~— ~ ~— йт = — — —, 2й)й')2Вй так как, согласно теореме о равнораспределении энергии по ствпе- ням свободы, т(Г[х)с[1)е = то* = йТ и хг (1) = х.
Р (1) = 0 в силу стохастического характера силы г (1). Уравнение (3.18) легко интегрируется и дает — = 2ВттТ+ Се (3. 19) хе=2ВйТ1 = —, Зича ' что согласуется с (3.8). (3.20) т) А. 3 ем мер фел ьд, иит. выше, етр. !4б, где С вЂ” постоянная интегрирования. Как мы показали, время торможения т,=Вт чрезвычайно мало, поэтому вторым членом в (3.19) можно пренебречь даже для очень малых промежутков времени наблюдения. Отбрасывая в (3.19) второе слагаемое, получим (х) е —— О): 337 агахновскоз движение Формула (3.20) была впервые получена Эйнштейном и независимо от него М. Смолуховским. Она позволила Ж.
Перрену экспериментально определить постоянную Больцмана й, т. е. число Авогадро ()Г, = ЯГГ(, где )(( †газов постоянная. 4. Установим вагкную связь, которая существует между подвижностью В и коэффициентом диффузии Р. Уравнение диффузии в одномерном случае имеет вид дп(х, 0 дкп(х, 0 д( дхт где п(х, Г) — концентрация частиц в точке х в момент времени Г. Уравнение (3.21) имеет решение вида (х-к,)' п(х, Г)=- е Г' 4п)г( (3.22) в чем можно убедиться, если подставить (3.22) в (3.21). Решение (3.22) описывает «разбегание» А( частиц, сосредоточенных в момент времени (=О в плоскости х=х,. В этом можно убедиться, так как если Г О, то экспонента отлична от нуля только при х — х,.
Интегрируя (3.22) по всему пространству, получим О~ а (к-к,)р п(х, Г)йх= 1 е йх=))Г, )) 4пкг(,/ (3.23) как и должно быть. Лля вычисления интеграла мы воспользовались формулой (П3.1). Вычислим средний квадрат смещения частицы: (х — х,)'= — ) (х — х,)'п(х, Г)((х= р к( к Ю (к- «,Н ( Г р()( = (х — х )'е (Гх= 2РГ. (3.24) Из сравнения (3.24) с (3.20) следует, что') Р = ВГ(Т. (3.25) Эта связь между коэффициентом диффузии и подвижностью называется соотношением Эйнштейна.
Ввиду важности этого соотношения получим его еще одним способом. Рассмотрим статистически равновесное состояние эмульсии частиц в однородном поле силы тяжести. Если ось г направлена )) Даметим, рто а (3.20) хр — — О, ФЛУКТУАЦИИ И ВРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. х вертикально вверх, то на каждую частицу действует сила — т*л, где тп — масса частицы, исправленная на закон Архимеда, а и— ускорение силы тяжести. Под действием этой силы частица приоб- ретает скорость (3.26) о,= — Вт'и, где  — подвижность частицы. В состоянии равновесия результирующий поток, обусловленный полем тяжести и диффузией, равен нулю, т.
е. пп Ип по — Р— = — иВт'д — Р— = 0 Л ЛЕ ле (3.27) откуда — — пе. пп Вт~я п В Интегрируя, получим (3.28) - Вт~ег/о (3.29) где п, †концентрац частиц на уровне г = О. С другой стороны, распределение Больцмана для частиц в поле силы тяжести имеет вид п=п,е -т "Ег(АГ Сравнивая показатели экспоненты в (3.29) и (3.30), видим, что ВЮ=ИНТ, что совпадает с (3.25). Очевидно, что в этом выводе нигде не используется конкретный вид внешнего поля, действующего на частицы. С другой стороны, использование распределения Больцмана свидетельствует о том, что соотношение Эйнштейна в форме (3.25) справедливо только для классических систем.
(3.30) 94. Брауновское движение линейного гармонического осциллятора (Вибратора) 1. Изучение брауновского движения вибратора поучительно в двух отношениях. Во-первых, вибратор — простейшая физическая система, описывающая движение сложных физических систем вблизи положения их равновесия. Во-вторых, на примере брауновского движения вибратора можно весьма наглядно проследить переход от обратимых законов механики к необратимым законам термодинамики. Это было впервые сделано Смолуховским, на чем мы остановимся в конце параграфа. Рассмотрим брауновскую частицу с массой т, движущуюся вдоль оси х и притягивающуюся к началу координат с силой — ах (а— коэффициент квазиупругой связи). Если рассматривать задачу по методу Ланжевена, то уравнение движения такого брауновского 339 9 41 БРАуноВское диижение ВВБРАтОРА вибратора имеет вид лех 1 ак т —, = — сех — — + Р (!) Фа и й (4.1) н отличается от уравнения (3.9) только наличием силы — их.
Умножая (4.1) на х и производя преобразования, подобные (3.18), получим И«ха 1 8ха 2се — 2АТ вЂ” + — — + — х'= —. Фа Вт й л«т (4.2) Интегрируя это неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, получим ') — кт х'= — +С,е" '+С,е'«', а где корни характеристического уравнения т, и те определяются выражением — 2н 11 =р )7 1 — 8В'тга): (4.4) Из (4.3) следует, что при ! — Со х'= йТ(а.
Это является прямым следствием теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и совпадает с (1.41). Если 8В«ти ) 1, корень в (4.4) мнимый и величина х' имеет характер затухающих колебаний вблизи равновесного значения йТ(а. При 8В«та (1 корень в (4.4) вещественный и движение носит апериодический характер; если при этом 8В«ти((1, то можно положить т, = — 2аВ, те = — 1/Вт. (4.5) Прн всех разумных значениях параметров В, т и се имеем ) и, ) ((( у,1; таким образом, в (4.3) можно отбросить вторую экспоненту, тогда х'= — +С,е '"В'. (4.6) а Для сравнения отметим, что если в выражении (4.1) отсутствует стохастическая сила г (!), то оно превращается в обычное уравнение движения для вибратора с затуханием. При 4В«Них(<1 движение вибратора имеет апериодический характер и х С'а — «ВФ (4.7) откуда х'=С,г "В' (4.8) ') В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
