Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Эта связь используется при рассмотрении примера в следующем разделе. 4. Исследуем тепловые флуктуации тока в замкнутой цепи проводника, погруженного в термостат при заданной температуре Т. Из-за кулоновского взаимодействия электронов проводимости между собой и с положительными ионами проводника в каждой точке последнего поддерживается квазинейтральность. Таким образом, концентрация электронов проводимости л не флуктуирует и электрический ток 7(1) постоянен во все моменты времени в любом сечении замкнутой цепи '). 352 ФЛУКТУАЦИИ И БРАУИОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. х С полуфеноменологической точки зрения движение электрона проводимости при учете его взаимодействия с колебаниями (или примесями) решетки можно описать как движение при наличии силы трения †(1/В)е!= — т[)тг, где  †подвижнос электрона, т †е масса '), [) = 1/тВ и ег †скорос электрона.
При действии электрического поля Е носители тока приобретают постоянную ско ость р еЕ 'ое = —.— (5.42) где — еŠ— сила, приложенная к электрону ( — е — заряд электрона). Плотность тока аеа ./ = — ете = — Е. и!р (5.43) Здесь тр/пе' — удельное сопротивление проводника. Если проводник представляет собой проволоку длины Е и поперечного сечения Я, то его сопротивление (5.44) Рассмотрим флуктуации тока в замкнутой цепи такого проводника, обусловленные флуктуациями тепловых скоростей электронов проводимости.
Так как мы концентрацию носителей тока и считаем постоянной, то ток Х (1) в каждый момент времени постоянен во всех сечениях цепи. Имеем ,/ (1) = епВ <о (1)> = е — — ~ ог (1) = — ~', о!(1). (5.45) г=! с=! Здесь А/ †полн число носителей тока, поэтому концентрация 1 чч п=[Н//В, <о(1)> = — ~„ог(1) — средняя скорость электронов про!=! водимости, параллельная оси проводника в данный момент времени. В нашей модели скорость <о(1)> может быть направлена как в одном, так и в противоположном направлении, но при этом одинакова в каждый момент времени во всех сечениях проводника. Считая закон Ома применимым к мгновенным значениям тока (5.45), получим для мгновенного напряжения в цепи: $'(1) = /(1) В = /с — ~~',ог(Г).
(5.46) г=! Возвышая обе части этого равенства в квадрат и усредняя по а) Точнее — эффективная масса; см., например: А. И. А н с е л ь м, Введение в теорию полупроводников, Фиэматгиэ, 1962, гл. 1Н, 4 51 коггиляцнонная пункция для стохастнчпских величин 353 так как ог(!)оа(т)=0 (!Фй) из-за некоррелированности движения разных электронов проводимости; здесь по определению о ( ! ) ~ ~ ~ о ! ( ! ) !=! Перейдем в (5.47) к фурье-представлению, тогда (5.48) если заменить одно )с из (5.44) и положить !Ч=а(.5. Из (5.41) следует, что фурье-компонента квадрата скорости о = — „! о (г) о (! + т) соз сот с(т. а ! Р (5.49) Здесь функция корреляции скорости, согласно (5.21), равна о(!) о(Г+т) = — е-В!т!.
лт (5.50) Подставляя зто выражение в (5.49), получим М м о„= — е! е-Р!" сов!ото(т= — ~ е-и'соз оттЖ. 'лТ Р хаТ Р м о (5.51) Е сли интеграл взять дважды по частям (соз атот= (1!га) да!и отт), то легко показать, что е-Р' соз отт с(т = —. ()а+ ыа' Подставляя (5.51) и (5.52) в (5.48), получим г 2 ! )г„= — Кл г (5.53) Развиваемая нами теория применима только к случаю, когда го(<~= ))Вт, т. е.
для тех фурье-компонент У, которые соответствуют частоте, много меньшей обратного времени торможения электрона'). В самом деле, только в этом случае можно считать ') Это условие всегда выполняется, если выполнено условие кваанстационарности (см. примечание на стр. ЗЗ!). времени, получим У'(1)= Ре —,~ ~о~(!)о~(Г)= Йа —,~~~, о)(!)= Ра —,!!(ое(!), (5.47) г=! а=! ! 354 элткт»»цня и э»«»новское движение (гл.
х применимым закон Ома (5.46) к мгновенным значениям тока Х(г) и напряжения У(г); поэтому будет последовательным пренебречь в знаменателе (5.53) слагаемым (го/5)» по сравнению с единицей. Тогда У. =-„' ЬТ. (5.54) Это соотношение получило название формулы Найкаиста (1928). В технике обычно пользуются частотой ч = «»/2п, поэтому до»= 2«и(т и, следовательно, У» = 4Т«йТ.
(5.55) Наиболее характерным для выражений (5.54) или (5.55) является то, что фурье-компоненты спектра шумов не зависят от частоты и пропорциональны тепловой энергии АТ. Пропорциональность У~ сопротивлению 1«и температуре Т хорошо подтверждается на опыте. й 6. Принцип симметрии кинетических коэффициентов Оисагера 1. Если в адиабатически замкнутой системе протекают необратимые процессы, то энтропия ее возрастает (второе начало термодинамики). Пользуясь тем, что необратимые процессы и возрастание энтропии являются взаимосвязанными явлениями, можно в некотором условном смысле поменять местами «причину» и «следствие», утверждая, что в результате возрастания энтропии в системе в ней протекают необратимые процессы.
В $ 2 мы рассмотрели случай, когда энтропия замкнутой системы 5(а) зависит от одного или нескольких параметров (которые мы для удобства отсчитывали от их равновесных значений). Если в системе существует градиент температуры или концентрации, то в большинстве случаев система может быть разбита на части, каждая из которых находится в состоянии локального термодинамического равновесия. В этом случае температура, концентрация, энергия и т.
д. такой части является одним нз параметров а„определяющим энтропию системы, которая равна сумме энтропий ее локально равновесных частей. Скорость изменения энтропии такой замкнутой системы равна л — =Š—, лз аз ь, Ф да~й' (6.1) если имеется и параметров аи характеризующих состояние системы.
Рассматривая увеличение энтропии как «причину» возникновения необратимых процессов, назовем величины д5/да,=Х, тер'модинамичссками силами, а величины йа,/й( =,/» — термодинами- ф 61 пеинцип симмвтгии кянетичкских коэефицивнтов окслгява 355 ческими потоками. Выражение (6.1) может быть записано в виде л Ы =ХХг/г (6.2) 1=! Так как в состоянии термодинамического равновесия энтропия максимальна, то (д5/да,),=0. Очевидно, что потоки в равновесии тоже равны нулю, т. е. Хз =(да,/с(/),= О. Таким образом, естественно предположить, что при малых отклонениях от термодинамического равновесия стационарные потоки л ,/,= Х (.„х,, (6.3) т. е.
являются однородными линейными функциями термодинамнческнх сил. Величины Ьд, зависящие, вообще говоря, от температуры, концентрации, магнитного поля и т. д., называются кинетическими коэффициенлигми. Подставляя (6.3) в (6.2), получим 'е~ =~~',ч~;/.„Х;. (6.4) Для того чтобы, в соответствии со вторым началом термодинамини, сБ/с(/) О, необходимо, чтобы квадратичная форма (6.4) была существенно положительной. В 193! г. Л. Онсагер показал, что кинетические коэффициенты 1.м при отсутствии магнитного поля должны удовлетворять следующим условиям симметрии: /-и=/а. (6,5) а при наличии магнитного поля Н /;а(Н)=/ ( — Н)'). (6.6) Последнее означает, что коэффициент 1,;» — такая же функция Н, как /.е; — функция от — Н.
Если исходить из феноменологической связи (6.3), то не прн любом выборе потоков Х; и сил Ха выполняются соотношения (6.5) (или (6.6)); для того чтобы это имело место, необходимо, чтобы силы и потоки удовлетворяли равенству (6.2). 2. В качестве примера рассмотрим твердое тело, в котором имеется градиент температуры.
Локальную плотность энергии в нем з(е, г), зависящую от координат г(х, у, г) и времени, можно рассматривать как набор параметров аь определяющих энтропию '1 Таким же условаям удовлетворяют кинетические козффяцяеяты во вращающейся системе, еслв заменить О вектором угловой скоростк ьз. 356 [гл. х еликтчлцни н виалнонскон движения Закон сохранения энергнн в дифференциальной форме имеет внд уравнения неразрывности: д" + е[[ч чв О, (6.8) где тв(г, 1) — вектор плотности потока энергии. Учитывая, что (дз/де) = ЦТ н подставляя (6.8) в (6.7), получим -= — — б[ч а. дз 1 д! Т (6.9) Воспользуемся тождеством Й!ч ( — ) = — Йчтн+(тв ягаб ( — )), ~~+б[ч ® =та ага
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
