Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(1.13) г ЛУ.~» Здесь ((=') ) — введенное нами по определению среднее откло- (, У„) пение чисел заполнения ЛУ„от равновесных значений У„а У = ~'.,У„ †полн число частиц газа. а Из (1.13) следует, что 1«(У„+ ЛУ„) = 1«(У„) ехр( — — ((=") ) У) . (1.14) Мы видим, что даже при очень малых отклонениях ЛУ„от равновесных значений У„если только (('~")') У >> 1, объем фазового пространства, соответствующий этому неравновесному состоянию, исчезающе мал по сравнению с объемом Й (У„) равновесного состояния. Таким образом, поскольку все точки энергетического слоя (й', ф»+Л8) в Г-пространстве равновероятны (гипотеза микро- канонического распределения), переход газа от неравновесного состояния в равновесное обусловлен просто тем, что рав- а новесному состоянию газа соответствует подавляющая часть доступного ему Г-пространства.
Существующая здесь ситуация может быть наглядно проиллюстрирована посредством следующей модели. На рис. 72 представлены два шарообразных сосуда А и В, соединенных между собою отверстием С, площадь которого сравнима с внутренней Рис. 72. поверхностью сосуда В. Радиус большого шара А в К раз больше радиуса шара В, причем К>) 1. Молекула, помещенная в «случайную» точку внутри сосуда В и имеющая «случайное» направление скорости, испытав несколько упругих отражений от его внутренней поверхности, вылетит через отверстие С в сосуд А. Так как поверхность сосуда А в К' раз больше поверхности сосуда В, а путь молекулы в сосуде А в среднем в К раз больше пути молекулы в сосуде В, то среднее время пребывания молекулы в А будет по порядку величины в К' раз 374 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ 1гл.
хг больше среднего времени ее пребывания в В. Пусть скорость молекулы равна 5 10' м)сек=5 10' сжlсек, а радиус сосуда В равен 1 слц тогда среднее время пребывания молекулы в В порядка 10 ' сек. Если радиус сосуда А равен 100 м=10«сж, то среднее время пребывания молекулы в сосуде А порядка 10 '(10')'=10' секжЗ года. Если же К = еаг, где У вЂ” число молекул газа'), то молекула практически «навсегда» остается в сосуде А, который в нашей модели изображает состояние термодинамического равновесия системы.
В такой механической модели необратимость перехода системы к состоянию статистического равновесия связана с введением априорных вероятностей положения и скорости молекулы в сосуде В'). Такое введение априорных вероятностей свидетельствует о том, что мы имеем дело не с чисто механическим решением задачи. То, что движение механической системы всегда обратимо, видно, в частности, и в рассматриваемой нами модели; в самом деле, если обратить скорость молекулы ег на противоположную ег'= — ег (см.
рис. 72), после того как молекула, влетев в сосуд А, испытала только пару упругих столкновений со стенкой, она через короткий промежуток времени перейдет в сосуд В, т. е. термодинамическая система перейдет из равновесного состояния в неравновесное. Следует отметить, что положение частицы и ее скорость должны быть при этом заданы абсолютно точно.
Лаже при очень малом изменении положения и скорости частицы она «запутается» в сосуде А и останется в нем практически навсегда. Можно, по-видимому, думать, что такое точное задание координат и скоростей (импульсов) частиц системы противоречит самому методу статистической физики. С другой стороны, ни рассуждения Больцмаиа, приводящие к соотношению (1.14), ни тем более наша схематическая модель не вскрывают полностью природы необратимых переходов в термодииамических системах. В следующих параграфах, после доказательства О-теоремы, мы вновь обратимся к этому вопросу. В 2. Кинетическое уравнение Больцмана 1. Рассмотрим идеальный газ из гт' одинаковых молекул массы т, микросостояние которого описывается заданием ЗУ координат и ЗУ составляющих скорости центров тяжести молекул.
Таким образом, мы будем интересоваться такими явлениями в газе, на которых не сказываются внутренние степени свободы молекул. Введем для такого газа неравновесную функцию рпспределснил 7 (х, у, г, п„, и, п„г) =1 (г, тг, г), ') Мы отвлекаемся от такой «мелочи», что радиус большего шара А в этом случае больше видимого радиуса Вселенной. ») Можно представить себе, что положение и скорость молекулы в шаре В выбраны так, что она, упруго отражаясь от его стенок, вообще не вылетит иэ В.
375 $21 кинвтичнскон угавивиив зальцмана имеющую тот смысл, что 1(х, У, г, о„, о, о„() г(хг(У«(г г(о„г(о„г(о» = 7 (г, тг, Г) с(ге(е (2.1) есть число молекул, для которых в момент времени г координаты центров тяжести молекул лежат в интервалах (х, х+ дх), (у, у+ с(у), (г, г+дг), а составляющие соответствующих скоростей — в интервалах (о„, о„+до„), (о„, о„+с(о„), (о„о,+с(оз). Можно также сказать, что для этих молекул концы векторов г и в лежат в элементарных объемах г)г=с(хз(уды и с(зз=г(о„з(о с(о, вблизи точки (г, чг) шестимерного пространства координат и скоростей ').
Такие молекулы мы будем для краткости называть (и, зз)-молекулами и будем говорить, что их координаты равны (х, у, г)= — г, а скорости (о„, о„, о,) = — в'). Из определения (2.1) следует, что ~Пг,, ) =Р7, (2. 2) где й( — полное число молекул. Физически бесконечно малые объемы с(г и с(в, с одной стороны, должны быть достаточно велики, для того, чтобы содержать много молекул (изображающих точек), с другой — достаточно малы, для того, чтобы можно было пренебречь изменениями функции распределения (2.1) в их пределах. Выражение (2.1) мы будем понимать как усредненную («сглаженную») функцию координат и скоростей, т.
е. будем пренебрегать флуктуациями функции распределения. Неравновесная функция распределения 7" (г, тг, г) является естественным обобщением равновесной функции распределения Максвелла — Больцмана (11; 4.6) '): -и рцьг -тз'/2»т (2.3) где и(г) — потенциальная энергия молекулы во внешнем поле, а нормировочная константа С, определяемая из условия (2.2), равна С = и ( т) '(~ е "'""'и (2.4) Если внешнее поле сводится только к бесконечным скачкам потенциала на границах сосуда объемом У, то '="( —.) ' где и = й(/У вЂ” концентрация газа. (2.5) з) Это шестимерное пространство отличается множителем тз от соответствующего фазового И-пространства. ') Иногда мы под (г, о)-молеиуламн будем понимать соответствующее число ,молекул на единицу объема (г, о)-пространства, т, е.
величину 1(г, о, Г). з) В этой главе мы равновесную функцию распределении будем обозначать через 7«. 376 ОСНОВЫ ТЕОРНН НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ (гл. х1 Пусть на молекулы газа действует внешняя сила г (г, () (напрнмер, сила тяжести, электрическое поле и т. п.). Выведем уравнение, которому удовлетворяет неравновесная функция распределения 7(г, и, 1).
Лля этого проследим за поведением группы (г, ВР)-молекул за физически бесконечно малый промежуток времена Ж. В данном случае мы под физически'бесконечно малым промежутком п( будем понимать такой интервал времени, в течение которого каждая молекула газа испытает много столкновений с другими молекулами, но функция распределения изменится мало, точнее + ) ~(' ' ) дс д( (2.6) 7'(х, у, г, и, г)йпс(ус(ЕО„й — 7(х+с(х, у, г, и, г)Нас(удеО„Ж= д( =- — д ах с(плуг(е О„Ж = — О„д— пг г(еРР(г, (2.7) д( где мы положили 7(х+ах, ...)=7'(х)+(д~!дх)с(х.
Увеличение числа (г, и)-молекул в объеме с(г за счет их движения сквозь все шесть граней объема с(г=дхдупг равно — (Π— +Π— +Π— )й с(пс(1 = — е — Н»НВРаг, (2.8) д( д( д(х д( "дх Уду сдг) дг где (дг/дг)= Ч,7 — градиент функции распределения 7' в обычном пространстве.
Будем вначале пренебрегать столкновениями молекул за промежуток времени Ж; тогда координаты молекул г меняются на величину ес(г, а скорости е — на величину а Й = (Р/гл) с(г, где а = =Р!т — ускорение, с которым молекула движется во внешнем поле. Рассмотрим изменение числа (», е7)-молекул за время с(1 в ре- дР( зультате их движения в обычном г-пространстве. На рис.73 представлен элемент объема г(г=с(хс(уг(г. х хэде Вычислим изменение числа (г, и)- х молекул внутри этого объема за РНС.
73. время с(1, за счет прихода молекул сквозь левую грань с(уйг и ухода их сквозь правую грань с(у с(г (мы предполагаем, что О„> 0). Согласно (П; 4.18) число (г, В7)-молекул, входящих за время Ш через левую грань, равно 7(х, у, г, е, 1)с(ппудгО„ЕЫ, а число (», е)-молекул, уходящих за время Ж через правую грань, равно 7(х+с(х, у, г, и, 1)санс(уйгО„Ж. Увеличение числа (г, е)-молекул в объеме с(г=с(хаус(е в результате этих процессов равно 377 в 21 кинетическое уРАВненне БольцнхнА Аналогично можно рассмотреть изменение числа (г, т!)-молекул за время «(! в объеме де!=!1о„«ЬР!(о, в результате их «движения» в е-пространстве со «скоростями» о„=а„=г"„/и, о„=ау=ру!т и Й,=а«=г,/Рп. Очевидно, это изменение равно — е! — пг о«» Й = — — — пг и«» Ш, в) Рд/ де т де (2.9) (2.10) где 6 пропорционально 7(», т!, 1).
Как мы покажем ниже, увеличение числа (г, т!)-молекул за время й за счет столкновений между собой молекул, обладающих другими скоростями, можно представить в виде а пг !1«» пг, (2.11) т. е, их число тоже пропорционально пг!(т!!1«'. Полное изменение числа (г, т!)-молекул за время Ж будет равно сумме изменений, обусловленных движением молекул в г- и е!-пространстве (2.8) и (2.9) и столкновениями молекул (2.10), (2.11); таким образом, д1!»гот»о! т!д !(г!«е'«(! г д !(гг(т»г(1+(а — Ь)«(го«»Ж.
(2.12) Сокращая (2.12) на огде!Ж, получим (2.13) где (д~/дт!) = р,г — градиент функции распределения 7 в т!-пространстве. число (г, е!)-молекул может изменяться не только за счет их движения в г- и е!-пространстве, но и в результате их столкновений друг с другом. Мы будем рассматривать газ столь разреженный, что в нем будет достаточно учитывать только двойные (бинарные) столкновения молекул и можно пренебрегать тройными, четверными и т. д. столкновениями. Для столкновения молекул необходимо, чтобы они обе находились в одном объеме ог.
Однако мы будем считать, что если одна из сталкивающихся молекул принадлежит объему «(«», то другая, с подавляющей вероятностью, принадлежит другому объему !(«»,. Каждая (г, т!)-молекула после столкновения резко меняет свою скорость и поэтому перестает принадлежать к этой группе молекул. Уменьшение числа (г, е)-молекул в результате их столкновений должно быть пропорционально их числу, поэтому за время «(1 оно равно 378 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ (гл. х! где дрейфовый член (2.14) а член столкновений ( — !) =а — Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
