Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е. оно всегда ) О. Так как )тз,— о)о(б, и) ) О, то отсюда следует, что дн <О (3.18) Знаку равенства в этом выражении соответствует х=у или (3.1)„ а в этом случае, как мы видели, газ находится в равновесном состоянии и его функция распределения — максвелловская (3.9). Таким образом, если газ находится в неравновесном (по скоростям) состоянии, то в результате столкновений молекул функция Н(г) (3.13) с подавляющей вероятностью монотонно убывает, достигая наименьшего значения в равновесии. Отсюда следует, что условие (3.1) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы состояние газа было стационарным. В гл.
1Ч мы вывели выражение для энтропии идеального газа (1Ч; 3.16), выразив ее через числа заполнения ячеек р-пространства У„. Там же мы отметили, что Больцман, рассматривая величину Н (1Ч; 3.17), которая отличается от энтропии Я множителем — (еЧ, показал, что в случае неравновесного состояния газа столкновения между молекулами всегда ведут к уменьшению функции Н, т. е. к увеличению энтропии Я.
Покажем, что величина Н, определенная посредством (3.13), совпадает (с точностью до несущественного слагаемого) с выражением (1Ч; 3.17). '1 Такаи замена начальных скоростей е и е, конечными е и е, может быть интерпретирована как обратное движение системы во времени. В силу обратимости механических уравнений движения во времени она должна приводить к тому же Сечению рассеяния.
8 31 Н-теогемк и гьспгеделение мьксвелль — вольцмкнл 389 Числа заполнения У„=1(е„, 1) (Ле Ьг)„ (3.19) где и„— вектор скорости, конец которого лежит внутри ячейки (апаг),. Из (11Г; 3.17) следует Н = —,, ~Ч ' 7 (п„() (Ьп аг)„1п [)". (е„, г) (пп юг) '1 = а = —,',, ~'~(п„, ()1п~(п„, 1)(берг).+ д 1п(берг)~ЧГ 7(п„()х а а х (бе аг) = ~ 7" (и„, 1) 1п ~ (и„, 1) (Ьп)„+ — 1и (Ьтт7зг), (3.20) если воспользоваться условием нормировки (2.2) и считать все ячейки (Ьпбг)„имеющими одинаковый объем. Мы видим, что первое слагаемое правой части (3.20) совпадает с (3.13), а, следовательно, неравенство (3.18) эквивалентно неравенству 'Б >О (3.21) где 5 †энтроп газа. Таким образом, при приближении неравновесного газа к равновесию его энтропия, с подавляющей вероятностью, монотонно возрастает, достигая в равновесии максимального значения.
Можно было бы надеяться в (3.21) видеть доказательство второго начала термодинамики †зако возрастания энтропии. Однако такая интерпретация Н-теоремы Больцмана вызвала возражение ряда физиков. И. Лошмидт (1876 г.) выдвинул против Н-теоремы Больцмана возражение, получившее название парадокса обратимости (1Лпкепге(пиапд). Рассмотрим движение замкнутого неравновесного по скоростям газа, описываемого в Г-пространстве фазовой траекторией на поверхности постоянной энергии Я(д, р) =о'.
Состояние системы в последовательные моменты времени г, < г, < 1, « ... Г„, < 1„ (такие, что 1; < ГР если 1 < 1) изображается точками ЄЄЄ... ..., Р„„Р„, расположенными вдоль этой фазовой траектории. Этим точкам соответствуют определенные состояния системы и, следовательно, определенные значения Н-функции (3.13), удовлетворяющие, согласно Н-теореме (3.18), условию Н,>Н,>Н,» ...
Н„,>Н„. (3.22) Рассмотрим два состояния системы, изображаемые фазовыми точками Р, и Р',, причем второе отличается от первого только тем, что скорости всех частиц направлены прямо противоположно, и'; = — ес Из определения (3.13) видно, что такое изменение ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕ ССОВ [гл. х$ направлений скоростей эквивалентно замене переменных интегрирования в определенном интеграле, что не меняет величины Н-функции, т. е. Н,=Н;. Отсюда следует, что если мы в момент г= г„обратим скорости всех частиц на противоположные, то система пройдет через состояния Р„', Р„'„..., Р;„Р;, Р;, которые отличаются от состояний Р„, Р„„..., Р„Р,„Р, только тем, что скорости всех частиц имеют прямо противоположные направления.
Тогда состояниям Р„', Р„'„..., Р;, Р;, Р; соответствует та же последовательность значений Й (3.22), но взятая в обратном порядке. Таким образом, при движении системы ее Н-функция возрастает, т. е. Н „'= Н„< Н„',= Н„, «... Н; = Н, < Н; = Нх < Н,' = Н„(3.23) что противоречит Н-теореме (3.18) '). Как нам кажется, возражения, которые делались Больцману, носили двоякий характер.
Первое возражение обсуждалось уже кратко в начале 2!. Если состояние тела полностью определяется координатами и скоростями его молекул, то при обращении всех скоростей на противоположные тело пройдет в обратном порядке через ту же последовательность состояний, что неизбежно приводит нас к противоречию с законом возрастания энтропии. Говорят, что на это возражение Больцман ответил: «Ступайте, поверните их!» Поскольку сейчас имеется неоспоримое доказательство как закона возрастания энтропии, так и атомистической структуры материи, необходимо признать, что состояние тела, полученное из его естественного состояния посредством обращения скоростей всех его молекул на противоположно направленные, в высшей степени невероятно и практически никогда в природе не реализуется.
Для того чтобы сделать более наглядным утверждение о малой вероятности состояния системы с обращенными скоростями молекул, обратимся к примеру, рассмотренному в конце 2 1. Если обратить скорость частицы, влетевшей в большой сосуд А и испытавшей в нем малое число столкновений, на противоположную (рис. 72, стр. 373), то частица через короткий промежуток времени влетит обратно в малый сосуд В. Однако достаточно изменить направление обращенной скорости на малую величину (при этом состояние частицы кажется столь же «вероятным»), для того, чтобы частица осталась в большем сосуде А практически «навсегда».
Второе возражение, принадлежащее Лошмидту, сводилось к противоречию между (3.22) и (3.23), или к тому, что из обратимых законов механики не может вытекать необратимое неравенство (3.18), меняющее свой знак прн замене (- — й Отвечая на это возражение, ') Необходимо помнить, что в цепи неравенств (3.22) и (3.23) в обоих случаях время возрастает при переходе слева направо. б 31 Н-твогвма н глспгвдклвннн максвклла — вольцмана 391 Н(1) =) р!про(Г, (3.24) ') В велнколепной по своей лаконичности форме вта ситуация была выражена Гнльбертом н Суллнваном в виде диалога; — Зтого никогда не бывает? — Никогда! — Совсем ннкогда? — Ну, вряд ан когда-нибудь.
Больцман указал, что доказательство Н-теоремы основывается не только на законах механики, но и на выражениях для числа столкновений (2.37) и (2.40), имеющих статистический характер. Действительно, выражение (2.40) применимо только к таким физически бесконечно малым интервалам времени, в течение которых происходит большое число столкновений. При этом предполагается, что число (кг', е,')-столкновений в «данной точке» пространства г пропорционально произведению функций распределений 7(«»') 7(е,'), т.
е. что никакой корреляции скоростей молекул из-за столкновений не происходит. Иначе говоря, вероятность того, что молекула в «данной точке» пространства в момент 1 обладает скоростью «?', не связана с тем, какова вероятность другой молекуле в «той же точке» в тот же момент иметь скорость е'„что, вообще говоря, при наличии столкновений неправильно. Статистическое предположение, лежащее в основе выражений (2.37) и (2.40), получило название гипотеза молекулярного хаоса (ЯойхаЫапза1г). Если член столкновений обусловлен рассеянием частиц на примесях или колебаниях решетки (электроны проводимости в полупроводниках и металлах; см.
ниже), то его статистический характер связан с «хаотичностью» распределения примесей или поля колебаний кристалла. Таким образом, члены столкновений (2.37) и (2.40), а следовательно и кинетическое уравнение (2.43), основаны не только на законах механики, но и на существенно статистических соображениях. Поэтому необратимый характер Н-теоремы (3.18), полученной из кинетического уравнения, не находится в противоречии с обратимым характером законов механики. В соответствии с этим монотонное изменение Н-функции, следующее из (3.18), имеет место лишь с подавляющей вероятностью'). 3.
Возникает вопрос, нельзя ли доказать положение, аналогичное Н-теореме (3.!8), для произвольной физической системы (не идеального газа). Рассмотрим ансамбль систем с энергией, лежащей в очень узком интервале (к7, к7+М). В состоянии статистического равновесия такой ансамбль описывается микроканоническим распределением с постоянной плотностью внутри этого слоя р=р,=сопз1. Рассмотрим неравновесный ансамбль, описываемый плотностью р= =р(ч р г) Определим Н-функцию ансамбля аналогично выражению (3.13): 392 основы твогни няглвноввсных пноцнссов [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
