Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 71
Текст из файла (страница 71)
По теореме Лиувилля дрй «1р,й, =с(р'дг'«1р', й'„где др = Цте) = т«(е и т. д., и так как столкновение происходит в «одной точке» пространства, то дг = й, =й" = с(г',. Таким образом, имеем: с(ес(е, = = де' де;. В результате (2.38) может быть записано в виде 1(е,') 1(е') о (б, и) а«1 ~ е, — е ~ с(е с(е,.
(2.39) Величина а (2.11), равная числу е-молекул, образующихся в 1 сек в единице объема в результате столкновений всех молекул, равна выражению (2.39), проинтегрированному по е, и б, т. е. а= ) де, ) с(««о(б, и)1е,— е)1(е')1(е',). (2.40) Из (2.37) и (2.40) следует, что член столкновений (2.15) равен ( —,) =а — Б= — ') де, ') с(ь«о(б, и)~е,— еЦ1,— 1'Г)1, (241) где введены следующие обозначения: 1(г, е, г)=1, 1(г, е', 1)=1', 1(г, е„г)— = 1„1(г, е'„г)=1;. (2.42) Из (2.!3), (2.14) и (2.41) следует интегро-дифференциальное уравнение для функции 1(г, е, 1): 37+ей + рз — —— ) с(е, ) а«ео(Т», и)1е — е,( 11'1« — 111; (2.43) оио называется кинетическим уравнением Бовьцмана. В интеграле (2.43) скорости е' и е,' являются функциями е, е, и 0 и сечение а(0, и) зависит, в общем случае, от и=)е,— е~. Если функция распределения 1(г, е) явно от времени не зависит (д1/дг=0), то средние значения величин, вычисленные посредством ее, тоже от времени не зависят.
Такое состояние газа называется стационарным. Примером неравновесного, но стационарного состояния газа является, например, стационарный поток тепла, текущий в газе, при наличии не зависящего от времени градиента температуры. Кинетическое уравнение (2.43) было выведено при учете только бинарных (двойных) столкновений молекул газа, для чего необхо- 384 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. х~ димо, чтобы последний был достаточно разрежен. Точные пределы применимости уравнения (2.43) могут быть получены только прн развитии более общей теории кинетических явлений в газах, учитывающей тройные, четверные н т. д.
столкновения молекул. Такая теория для плотных газов была развита Н. Н. Боголюбовым '). Мы не можем здесь останавливаться на этих весьма интересных исследованиях и заметим только, что в них используется разложение по малому параметру г,'п=г,' /О, где г, — радиус действия молекулярных сил, а П=1/Π— плотность молекул (Π— удельный объем на одну молекулу).
Так как средняя длина свободного пробега молекулы (см. далее 94, и. 1) 1ж 1/пге„то параметр разложения равен также г„/1. Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана (2.43) применимо, когда гап яи га (~ 1 о (2.44) Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для функция /(и, чг, /) может быть решено только при определенных упрощающих предположениях. В следующих параграфах мы рассмотрим некоторые важные следствия, вытекающие нз кинетического уравне, и ц и некоторые простые его приложения. 4. В полностью ионизированной плазме силы взаимодействия между электронами и ионами убывают настолько медленно (пропорционально 1/г'), что учитывать парные столкновения между ними в первом приближении непоследовательно. В первом приближении взаимодействие между электронами и ионами учитывается посредством самосогласованного поля, включаемого во внешнюю силу г.
В этом случае кинетическое уравнение (2.43) принимает следующую простую форму: д +ЧГд — + — /о~~ —— О. д/ д/ 1 д/ (2.45) Покажем, что это кинетическое уравнение, без члена столкнове- ний, следует из теоремы Лиувилля (!; 3.13), если под системой ансамбля понимать отдельную частицу идеального газа (электрон„ ион плазмы). В самом деле, в этом случае р (д, р, /) = /(г, в, /), Я~(д, р) = — (р„'+ ра+р*,)+Я(х, у, г), где потенциальная энергия %(х, у, г) включает в себя самосогласованное поле действия всех остальных заряженных частиц.
') Н. Н. Б о го люб о в, Проблемы дииамической теории а статистической фиаике, М.— Л., !946. $ 31 Н-ткоугмл и улспуедзлзнкк млксваллл — аольцмлнл 385 Из теоремы Лиувилля (1; 3.13) следует: ~/+(/ у) о (2.47) Раскрывая скобки Пуассона, получим д/ /д/ дЯ д/ дЯ д/ д,Р~ дЯ д/ — + ( — — '+ — — + — — ' дг (, дх дрк ду дру дг др» дх др» дЯ~ д/ дуг д/ '1 ду др дг др,/ Подставляя сюда выражение для функции Гамильтона уь (2.46) и учитывая, что сила г = — пгабЯ, получим + " + — + +Р„+р +р,— =О д/ Р» д/ Ру д/ Р» д/ д/ д/ д/ дг т дх т др т дг хдр» у дру *др, или — + — — +)о — =О, д/ Р д/ д/ дг т ду' д/у что совпадает с (2.45). й 3. Н-теорема н распределение Максвелла — Больцмана то интеграл становится равным нулю, и для пространственно однородного газа (д//дг=О) при отсутствии внешних сил (/Р=О) состояние газа будет стационарным, т.
е. д//д/=О. Логарифмируя (3.1), получим 1п /(о)+ 1п/(гу,) = 1п /(о')+ 1п /(е,'). (3.2) Это соотношение должно удовлетворяться одновременно с выполнением законов сохранения (2.26) и (2.27). Это может быть, только если 1п/ (о)» ао„+до +со,— ~(ог+оуг+о,')+С', (З.З) где а, д, с, р и С' — константы, не зависящие от компонент скорости о. В самом деле, только если функция /(о) имеет структуру (З.З), она удовлетворяет соотношению (3.2) при условии выполнения законов сохранения (2.26) и (2.27). 1. Мы можем теперь воспользоваться кинетическим уравнением Больцмана для того, чтобы на примере идеального газа более детально, чем это было сделано в $ 1, рассмотреть коллизию, которая существует между обратимостью уравнений механики и необратимостью второго начала термодинамики. Если в правой части уравнения (2.43) положить //,=//„ 386 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ [гл.
х~ Правую часть выражения (З.З) можно записать в другом, эквивалентном виде 1п ~ (и) = — [) [(΄— О,„)*+(Π— с, )'+(О,— О„)') + 1п С, (3.4) содержащем тоже пять констант О,„, О„„О„, р и С, просто в,ы- ражающихся через постоянные а, 5, с, р и С''). Из (3.4) следует, что 1(п) = С ехр [ — р [(О„ — О,„)' + (О„ — Оа )' + (О, — О„)'). (3.5) Легко показать, что О„„, О, и О„равны средним значениям составляющих скорости молекул. В самом деле, О„= — ) О 7(п)Й~„ЫО ЙО,а(хе(удг, где )'(ВР) равно (3.5), а У вЂ” полное число молекул. Рассмотрим интеграл по О„: Р т Е-В Ма-™а )' (О О ~ Е-В Ма-тЫ' ( (3.7) где мы положили О„=(΄— О,„)+О,„и воспользовались тем, что интеграл от нечетной функции равен нулю.
Подставляя (3.7) обратно в (3.6), получим О„=о,„у ~ ~(п) ПО.~ЬР ПО*~Ь (уЖВ =Оа», (3 8) если воспользоваться условием нормировки (2.2). Если газ как целое не движется, то О =О =О,=О и (3.5) приобретает вид 1(п) =7,(е) = Се-В" (3.9) — вид равновесного распределения по скоростям Максвелла. Постоянные С и р определяются из условия нормировки (2.2) и задания полной энергии газа е7, аналогично тому, как это было сделано в гл. 1Ч (р 3, п.З).
Таким образом, легко показать, что / т Ха/а т (ЗЛО) [ 2лиТ) если абсолютную температуру определить равенством йТ = 2е773п1. Подставляя (3.10) в (3.9), получим распределение Максвелла в виде (2.3), (2.5). Если на газ действует внешнее поле и потенциальная энергия молекулы в нем равна и(г), то сила, действующая на молекулу, гу= — —. ди дг ' (3.!1) а) Например, пе„— — а/2Р н т. д., С=ехр (С'). ф 31 Н-теоеемА и ехспгеделенне мАксВеллА — ВольцмАВА 387 Н(1)= ~7(е, 1) 1п7(е, 1)де.
(3.13) Отсюда (3.14) Очевидно, ~+~а= „~ ~~(е, 1) де= „~ Я =-О, (3.15) где У вЂ” полное число молекул газа, заключенных в объеме Из (2.43) следует, что в рассматриваемом нами случае (дНдг=О и г'=О) производная д~/дг=(дйд1)„. Из (3.14), (3.15) и (2.41) следует —,) = — ~Я,— 7711 1п7 (е,— е (о(О, и) е(й де, е(е. (3.16) Перепишем это уравнение три раза, произведя следую1цие замены переменных: 1) е е„е' е„'; 2) е е', е, е,' и 3) е е,', е, е'. При первом преобразовании 7 — .Г, и 7"' 7;, поэтому квадратная скобка под знаком интеграла остается без изменения, Можно показать, что в этом случае, если состояние газа стационарно, уравнение (2.43) удовлетворяется распределением Макс- нелла — Больцмана 7(е, г)=7, (е) Ае-"/Аг (3.12) где 7„(е) равно (3.9), А †нормировочн константа распределения Больцмана. В самом деле, если подставить (3.12) в левую часть уравнения (2.43) с д~/дГ = О и учесть (3.11), то получим — 7,(е) Ае-"гьг — (е — ) — 7,(е) Ае-"~ьг ° — (е г) =О.
Если же подставить (3.12) в правую часть уравнения, то множитель А ехр( — и!йТ) можно вынести за знак интеграла, а функция 7, (е) (3.9) превратит интеграл в нуль. Таким образом, мы показали, что равновесная функция распределения является решением кинетического уравнения (2.43) для стационарного состояния газа, 2. Покажем теперь, что если неравновесный по скоростям газ стремится в результате столкновений между молекулами к стационарному состоянию, то оно описывается максвелловским распределением скоростей.
Докажем для этого так называемую Н-теорему Больцмана. Рассмотрим пространственно однородный газ, описываемый неравновесной (по скоростям) функцией распределения г(е, 1). Определим функцию 388 ОснОВы теОРНН неРАВнОВесных пРОцессОВ 1гл. х~ 1п(" — 1п(„множитель !4т,— ез! О(б, и) остается без изменения, так как !е,— чу!=!и — чт,), наконец, дчзс(чт, тоже остается без изменения. При втором преобразовании квадратная скобка меняет знак, 1пг — 1п7', !е,— чз!О(б, и) остается без изменения, так как и=и' '), и с(пЫчт,=дега~в', в силу теоремы Лиувилля (см.
рассуждения, следующие за (2.38)). Наконец, при третьем преобразовании, которое является комбинацией двух первых, квадратная скобка меняет знак, 1п à — !и 7";, )тз,— е!О(б, и) остается без изменения н сЬдтз, =дтз',сЬ'. Если мы сложим (3.16) с тремя уравнениями, полученными в результате описанных выше преобразований, то получим —,= — 4~ !77,— '7(з1 (1П ((У вЂ” 1п (П;)) ) тз,— п) а(б, и) дИ с(тздчт,. (3.17) Произведение квадратной скобки на фигурную под знаком интеграла имеет вид 1х — у] (1пх — 1пу); это произведение, в силу монотонности логарифмической функции, не может быть отрицательным, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
